Приложения формул Тейлора и Маклорена.

Министерство образования и науки российской федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ

 

 

 

КУРС ЛЕКЦИЙ

По дисциплине «Математический анализ» 2 семестр

Для студентов очной формы обучения

Раздел №1 «Приложения производной»

Волгодонск

 

Теоремы о дифференцируемых функциях.

Теорема Ферма.

Пусть функция  определена и дифференцируема

на интервале (a;b) и в некоторой точке x₀ этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда .

Доказательство:

По определению производной:

.

Пусть для определенности в точке  функция  принимает набольшее значение. Тогда числитель .

Рассмотрим два случая:

1) .

По теореме о предельном переходе в неравенствах: предел дроби меньше нуля Þ .

2) .

.     

Ч.т.д.

Геометрический смысл теоремы Ферма:

Так как , то угловой коэффициент касательной равен нулю Þ касательная параллельна оси ОХ.

 

Теорема Ролля.

Пусть функция  определена и непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), причем на концах интервала принимает одинаковые значения . Тогда существует точка сÎ(a;b), значения производной в которой равно 0, т.е. .

Доказательство:

0

b

a

Т.к. функция  непрерывна на отрезке [a;b], то по II-й т. Вейерштрасса о непрерывных функциях  принимает на [a;b] наибольшее М и наименьшее m значения.           y

Возможны два случая:

1) М=m.                                                     

0

b

a

x

M

m

2) М m.  

                                         y

                

 

  

 

                

                

 

Хотя бы одна из точек, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения, находится внутри [a;b].

В этом случае в указанной точке выполняются условия теоремы Ферма и, следовательно, существует точка c, принадлежащая (a;b), в которой производная .

Ч.т.д.

Геометрический смысл теоремы Ролля:

 Þ К_кас=0 Þ касательная

в точке c параллельна оси ОX.

 

 

Теорема Лагранжа.

Пусть функция  определена и непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда существует точка cÎ(a;b), значение производной в которой равно .

Доказательство:

Введем вспомогательную функцию .

Эта функция непрерывна и дифференцируема как сумма непрерывных и дифференцируемых функций.

Итак, для F(x) выполняются все условия теоремы Ролля.

     

Þ существует точка сÎ(a;b) такая, что .

.

Ч.т.д.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа:

 

.

Существует точка cÎ(a;b), в которой угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту хорды, соединяющей граничные точки:

.

Найдется такая точка на графике, касательная в которой параллельна хорде, стягивающей концы отрезка [a;b].

 

Теорема Коши.

Пусть функции f(x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы на интервале (a;b), причем производная функции g(x) отлична от нуля, g¢(x)¹0. Тогда существует такая точка cÎ(a;b), для которой выполняется равенство: .

Доказательство:

Рассмотрим вспомогательную функцию:

.

 непрерывна и дифференцируема как сумма непрерывных и дифференцируемых функций.

Итак, для F(x) выполняются все условия теоремы Ролля.

     

Þ существует точка сÎ(a;b): .

; .

.

.

Ч.т.д.

 

 

Правило Лопиталя.

Теорема.

Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x₀, за исключением может быть самой точки x₀, и , . Тогда если существует предел отношения производных функций , то существует предел отношения самих функций , причем они равны между собой, т.е. .

Доказательство:

Доопределим f(x) и g(x) в точке x₀, положив

f(x₀) = g(x₀) = 0.

В окрестности точки x₀, т.е. на (x₀,х) для функций f(x) и g(x) выполняются условия теоремы Коши. Следовательно, существует точка сÎ(x₀, х) такая, что

, т.к. f(x₀) = g(x₀) = 0.

Перейдем к пределу при x x₀   с x₀:

.

Ч.т.д.

Замечание. На практике при раскрытии неопределенности типа  можно пользоваться правилом Лопиталя и в случаях, когда x®±¥, x®¥.

Для раскрытия неопределенностей типа  существует аналог правила Лопиталя.

Теорема.

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x₀, за исключением самой точки x₀, причем . Пусть , . Тогда если существует предел отношения производных функций , то существует предел отношения самих функций , причем они равны между собой, т.е. .

В дальнейшем это утверждение будем также называть правилом Лопиталя.   

Замечание 1. Правилом Лопиталя можно пользоваться при раскрытии неопределенностей вида (¥-¥), (0×¥), (1^¥), (¥⁰), (0⁰), сводя их к неопределенностям типа , .  

Замечание 2. Если после применения правила Лопиталя опять получаем неопределенность вида  или , то его можно применить повторно.

Пример: Вычислить пределы по правилу Лопиталя.

1. Чтобы применять правило Лопиталя при неопределенности вида  или , нужно продифференцировать отдельно числитель и знаменатель дроби, и вычислить полученный предел.

.

.

Вывод: показательная функция (y=aⁿ) всегда растет быстрее, чем степенная (у=xⁿ).

.

Вывод: логарифмическая функция (y=log_ax) растет медленнее, чем степенная.

 

2. Неопределенность вида (0×¥) нужно преобразовать в неопределенность вида  или , опустив один из множителей в знаменатель в отрицательной степени, и потом применять правило Лопиталя.

3. При показательной неопределенности: (0⁰), (1^¥), (¥⁰); прежде чем применять правило Лопиталя, нужно прологарифмировать этот предел по основанию e.

.

= = =(0×¥)= = =  =

=  =0;

Þ A=e⁰=1.

 

 

Формулы Тейлора и Маклорена.

 

Пусть функция  n раз дифференцируема в окрестности точки x₀.Найдем многочлен  степени не выше n-1, такой что

, , ,…, .    

Такой многочлен в некотором смысле «близок» к функции .

Будем искать этот многочлен в форме многочлена, разложенного по степеням , с неопределенными коэффициентами:

.

Неопределенные коэффициенты  определим так, чтобы выполнялись перечисленные выше условия.

Найдем производные от :

;

;…

.

Подставляя  вместо , находим:

, , , , … , . Отсюда

Þ , , , ,…, .

Искомый многочлен будет иметь вид:

, или

.

Этот многочлен мы будем называть многочленом Тейлора.

Теорема. Пусть функция  n раз дифференцируема в окрестности точки x₀. Тогда в этой окрестности для функции  справедлива следующая формула Тейлора:

+

+ .

Здесь  некоторая точка, заключенная между и  ( ), зависящая от , а = - остаточный член в форме Лагранжа.

Доказательство:

Обозначим через  многочлен

.

Ясно, что для каждого выбранного  существует такое число , для которого будет выполняться равенство:

.        (1)

Покажем, что это число  при уже выбранном  будет равно  при некотором  из промежутка .

Определим функцию

.

Ясно, что

Следовательно, доказательство мы закончим, если покажем, что в некоторой точке  ( ) будет выполняться равенство: .

Непосредственными вычислениями проверяется (см. многочлен Тейлора!), что для всех  выполняются равенства:

     (2)

Число выбрано таким образом, чтобы выполнялось равенство (1) и, следовательно, . Таким образом, для функции  на промежутке

[ ] выполняются все условия теоремы Ролля. Следовательно, на интервале ( ) существует такая точка , производная функции , в которой равна нулю, то есть . Но тогда с учетом (2) теорему Ролля можно применить к функции  на промежутке [ ] и так далее. Применяя, в конце концов, теорему Ролля к функции  на соответствующем промежутке, получим точку , для которой будет справедливо равенство . 

Утверждение доказано.

Если x₀=0, то формула Тейлора превращается в формулу Маклорена:

+   

    Заметим, что числа n могут выбираться различными, в зависимости и от наличия у функции производных соответствующего порядка, и от необходимой точности расчетов. Например, формула Тейлора для n=4 будет иметь вид:

 

 

Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.

 

1. .

   

Þ ,

где .       

 

2. .

   

 

Þ ,

где .   

 

3. .

   

,…

Þ ,

где .  

Пример:

Разложить функцию  по формуле Маклорена, взяв 4 слагаемых.

Воспользуемся формулой Маклорена для функции , заменив x на

(-x):

.

.

 

Приложения формул Тейлора и Маклорена.

 

    Формулы Тейлора и Маклорена имеют широчайшее применение, как для приближенного вычисления значений целого ряда табулированных функций таких, например, как , ,  и др., так и для замены сложных функций при решении практических задач многочленами.

В качестве примера приложения формулы Маклорена, определим количество членов в разложении функции  по указанной формуле для вычисления ее значения с точностью до 0.001 при любом x из промежутка [-1,1].

    Поскольку , то в остаточном члене  величина  удовлетворяет неравенству: . Следовательно,

.

Очевидно, что если мы заменим на промежутке [-1,1] функцию   соответствующим многочленом Тейлора, то значения этого многочлена на указанном промежутке будут отличаться от соответствующих значений функции на величину меньшую, чем . Выбирая n из условия <0.001, мы получим, что , поскольку ( ).

    Отметим, что формула Тейлора может использоваться и при вычислении пределов.

 

---

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 600; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!