Тригонометрические подстановки.

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 6Следующая ⇒

Интегралы , , приводятся к интегралам от рациональных функций относительно и с помощью следующих тригонометрических подстановок:

для интеграла : ;

для интеграла : .

Пример. .

Решение. Это интеграл второго типа. Поэтому применим подстановку .

Тогда .

Следовательно,

, где .

Пример . .

Решение. Этот интеграл первого типа и поэтому применим подстановку .

Тогда , .

Следовательно,

, где .

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Если — некоторая первообразная функции , непрерывной на отрезке , то определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница:

Пример. .

Решение.

Задание 8. Замена переменной.

Пусть выполняются следующие условия:

1) функция непрерывна на отрезке ;

2) функция непрерывна вместе со своей производной на отрезке ;

3) , ;

4) функция определена и непрерывна на отрезке .

Тогда .

Пример. .

Решение.

Задание 9. Интегрирование по частям.

Определенный интеграл по частям вычисляется по формуле:

где — непрерывно дифференцируемые функции на отрезке . Случаи, в которых следует применять интегрирование по частям, такие же, как в неопределенном интеграле.

Пример. .

Решение.

Задание 10. Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными в декартовых координатах.

В декартовой системе координат элементарной фигурой является криволинейная трапеция (рис.1), ограниченная линиями , , , , площадь которой вычисляется по формуле:

Рис.1

Площадь фигуры (рис.2) вычисляется по формуле:

Рис.2

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение. Построим чертеж к задаче (рис. 3).

— это парабола (ветви направлены вверх, вершина находится в точке с координатами (0;-2));

— прямая, проходящая через начало координат.

Найдем точки пересечения кривых. Для этого решим систему уравнений: .

Отсюда

Площадь фигуры вычислим по формуле:

(кв.ед.).

Рис. 3

Задание 11. Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрическими уравнениями.

Если фигура ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями, то площадь вычисляется по формуле:

Пример. Вычислить площадь эллипса, заданного параметрическими уравнениями: .

Решение. Дан эллипс с полуосями: большая — , малая — . Сделаем чертеж к задаче (рис.4).

Рис. 4

В силу симметричности фигуры вычислим площади. Найдем пределы интегрирования:

так как , то ;

Следовательно, площадь (кв.ед.).

Задание 12. Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах.

В полярной системе координат элементарной фигурой является криволинейный сектор (рис.5), площадь которого вычисляется по формуле:

Рис. 5

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линией

Решение. Так как определяет расстояние до соответствующей точки, то . Следовательно, область определения функции определяется неравенством . Общее решение этого неравенства имеет вид:

где .

Отсюда . Так как в полярной системе координат выполняются ограничения на область изменения , то область допустимых значений функции в полярной системе координат состоит из трех промежутков, описывающихся соответствующими неравенствами: