Векторы и линейные операции над ними

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

В геометрии вектором называют направленный отрезок с начальной А и конечной В точками, который можно перемещать параллельно самому себе. Длиной (или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.

Векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными (рис.1).

Рис.1

Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными (рис.2).

Рис.2

Если вектор изображается направленным отрезком , то вектор, изображаемый направленным отрезком , называется вектором, противоположным вектору и обозначается - (рис.3).

Рис.3

Если в прямоугольной системе координат точки А и В имеют координаты и , то координаты вектора находятся как разности соответствующих координат конца В и начала А этого вектора, т.е.

а модуль его определяется как расстояние между двумя точками:

Для векторов вводятся следующие линейные операции: сложения и умножения на число. Если векторы заданы своими координатами и , то:

1) при сложении двух векторов их соответствующие координаты складываются: ;

2) при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число: .

Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: , где - угол между векторами и (рис.4).

Рис.4

Пусть заданы два вектора в координатной форме и

Скалярное произведение двух ненулевых векторов в координатной форме равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов: .

Косинус угла между векторами вычисляется по формуле: .

Условием перпендикулярности ненулевых векторов и является равенство нулю их скалярного произведения:

Векторным произведением двух векторов и называется вектор , который:

1) имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, построенного на векторах и : ;

2) перпендикулярен к плоскости этого параллелограмма;

3) направлен в такую сторону, с которой кратчайший поворот от к рассматривается совершающимся против часовой стрелки (такое расположение векторов , и называется правой тройкой векторов) (рис.5).

Рис.5

Векторное произведение ненулевых векторов вычисляется через координаты данных векторов и

следующим образом:

Равенство нулю векторного произведения двух ненулевых векторов является условием их коллинеарности, т.е. ½½ .

Смешанное произведение трех векторов , и , которое обозначается или , есть скаляр, абсолютная величина которого равна объему параллелепипеда, построенного на векторах , и , как на ребрах.

Смешанное произведение трех векторов вычисляется в координатной форме по формуле:

Равенство нулю смешанного произведения трех ненулевых векторов является условием их компланарности: .

Задача. Определить внутренние углы и треугольника c вершинами в точках

Решение . Внутренний угол - это угол между векторами и , который вычисляется через скалярное произведение векторов по формуле:

Координаты векторов: .

Отсюда,

Аналогично, находя предварительно , получим

Отсюда

Задача. Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках и высоту (рис.6).

Решение .

Рис.6

Найдем координаты векторов Площадь треугольника вычисляется через векторное произведение векторов по формуле: .

Векторное произведение

Тогда .

С другой стороны , отсюда высота .

Так как ,

то высота .

Задача. Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках и высоту, опущенную из точки на основание (рис.7).

Решение .

Рис.7

Найдем координаты векторов : .

Объем пирамиды вычисляется через смешанное произведение векторов по формуле: .

Смешанное произведение векторов

Следовательно,

С другой стороны . Откуда высота пирамиды , где площадь треугольника

Векторное произведение

Тогда,

Следовательно, высота пирамиды =

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Уравнения плоскости

Пусть задан вектор , перпендикулярный к плоскости (вектор нормали) и точка - произвольная фиксированная точка плоскости. Возьмем на плоскости произвольную нефиксированную точку - (текущая точка) (рис.8).

Рис.8

Вектор , лежащий в плоскости , перпендикулярен вектору нормали , значит их скалярное произведение , следовательно

Полученное уравнение – уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно вектору .

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярно вектору , если , (рис.9).

Решение. Пусть - текущая точка искомой плоскости . Найдем координаты векторов

Вектор принадлежит плоскости и перпендикулярен вектору , значит их скалярное произведение

- уравнение плоскости .

Рис.9

Рассмотрим плоскость, проходящую через три точки, не лежащие на одной прямой: - (рис.10). Точка - текущая точка плоскости.

Рис.10

Три вектора:

лежат в одной плоскости, значит компланарны, и их смешанное произведение равно нулю:

Запишем смешанное произведение в координатной форме, получим:

- уравнение плоскости, проходящей

через три точки.

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки

(рис.11).

Рис.11

Решение. Пусть точка - текущая точка плоскости. Найдем координаты трех компланарных векторов: , , .

Смешанное произведение векторов равно нулю:

- уравнение плоскости .

Пусть плоскость задана общим уравнением .

Расстояние от точки до плоскости (рис12) вычисляют по формуле .

Рис.12

Пример. Найти расстояние от точки до плоскости .

Решение. Воспользуемся формулой расстояния от точки до плоскости, получим:

Угол между плоскостями равен углу между их векторами нормалей (рис.13).

Пусть даны две плоскости:

плоскость с нормалью

Рис.13

Косинус угла между плоскостями вычисляется по формуле:

Пример. Найти угол между плоскостями

;

Решение. Векторы нормалей имеют координаты:

Отсюда,

Уравнения прямой в пространстве

Рассмотрим в пространстве прямую a, проходящую через точку параллельно вектору , который называется направляющим вектором прямой а (рис.14).

Рис.14

Пусть точка - текущая точка прямой. Вектор лежит на прямой и коллинеарен вектору . Из условия коллинеарности двух векторов, имеем:

Эти уравнения - канонические уравнения прямой в пространстве.

Если в канонических уравнениях ввести параметр t : , получим параметрические уравнения прямой:

Прямую можно задать как линию пересечения двух плоскостей (рис.15):

Рис.15

- общие уравнения прямой в пространстве.

Уравнения прямой, проходящей через две точки и :

Угол между прямыми равен острому углу между их направляющими векторами (рис.16) и вычисляется по формуле:

Рис.16

Пример. Прямая задана общими уравнениями

а) Написать для этой прямой канонические и параметрические уравнения;

б) Найти угол между прямой и прямой ,заданной уравнениями

Решение.

а)Выберем одну из точек, через которую пройдет указанная прямая, заданная пересечением плоскостей. Исходная система имеет бесчисленное множество решений, одно из которых получим придавая одной из переменных конкретное значение. Пусть , тогда значения других неизвестных находим из системы

Решением этой системы является пара чисел .

В результате получим точку , через которую проходит искомая прямая. В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор , где , - нормальные векторы плоскостей, линией пересечения которых является прямая. Таким образом,

Запишем канонические уравнения прямой :

Получим из канонических параметрические уравнения прямой:

б) Направляющий вектор прямой , направляющий вектор прямой Угол между прямыми и равен острому углу между их направляющими векторами:

Угол между прямой и плоскостью

Пусть заданы прямая a и плоскость (рис.17):

Прямая c направляющим вектором

Плоскость с вектором нормали

Рис.17

Угол между прямой а и плоскостью вычисляется по формуле:

Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, нужно параметрические уравнения прямой подставить в уравнение плоскости и найти параметр , соответствующий точке пересечения.