Скорость и длина волны тока или напряжения в линии
Скорость перемещения прямой волны вдоль линии, называемая фазовой скоростью,определяется как скорость перемещения точки,фаза колебания которойостается постоянной. Это условие записывается для падающей волны тока и напряжения в виде
ω t − β x +ψ пр −θ = const , | ω t − β x +ψ пр = const , | (10.24) | |||||||||
откуда | |||||||||||
d | (ω t − β x +ψ пр −θ ) | = 0 , | d |
| (ω t − β x +ψ пр )=0. | ||||||
dt | dt | ||||||||||
Следовательно, выражение | dx | ω | |||||||||
v | = | = | (10.25) | ||||||||
ф | dt | β | |||||||||
определяет фазовую скорость прямой волны. Фазовая скорость обратной волны может быть рассчитана на основании соотношений аналогичных (10.24) . В таком случае из условия неизменности фазы для обратной волны тока и напряжения
ω t + β x +ψ обр −θ = const , ω t + β x +ψ обр = const | (10.26) |
следует выражение для фазовой скорости обратной волны:
v = | dx | = − | ω | , | (10.27) | |
ф | dt | β | ||||
где знак «–» указывает, что обратная волна движется в направлении, противоположном прямой волне.
|
|
Длиной волны λ называется расстояние между двумя ее ближайшими точками,различающимися по фазе на 2π рад. В соответствии с этим определением для фаз падающих волн тока и напряжения получаем:
(ω t − β x +ψ пр −θ )−(ω t − β (x + λ )+ψ пр −θ )=2π ,
(ω t − β x +ψ пр )−(ω t − β (x + λ )+ψ пр )=2π ,
откуда
λ = | 2π | . | (10.28) | |
β |
Равенство аналогичное (10.28) можно также получить, исходя из выражений для фаз отраженных волн тока и напряжения:
(ω t + β ( x + λ )+ψ обр −θ )−(ω t + β x +ψ обр −θ )=2π ,
(ω t + β ( x + λ )+ψ обр )−(ω t + β x +ψ обр )=2π .
На основании формул (10.25), (10.28) также запишем | ||||
λ = v T = | v ф | , | (10.29) | |
ф | f | |||
где T — период, f — частота колебаний. Из (10.29) следует, что за время, равное
одному периоду, падающая и отраженная волны перемещаются на расстояние, равное длине волны.
Используя понятие длины волны λ , можно установить правило, определяющее , в каком случае конкретную электрическую цепь следует рассматривать как цепь с распределенными параметрами. Считается, что линия, длина l которой соизмерима с
|
|
232
длиной волны λ , является линией с распределенными параметрами.Математическиуказанное условие записывают в виде следующего неравенства:
l >(0,05÷0,1)λ . (10.30)
Если неравенство (10.30) выполняется, цепь считают распределенной, если не
выполняется — сосредоточенной. Так, например, для f =50Гц и v ф =3⋅108м/с
(скорость распространения волны в линии близка к скорости света) согласно (10.29) и (10.30) получим, что линия с распределенными параметрами должна иметь
протяженность l > (300 ÷ 600)км. При частоте f = 108 Гц уже при l > (0,15 ÷ 0,3)м электрическую цепь следует рассматривать как линию с распределенными параметрами.
Решение уравнений линии с распределенными параметрами для граничных условий, заданных в начале и конце линии. Входное сопротивление линии
Постоянные интегрирования A&1 и A&2 , входящие в решение (10.14), (10.15), можно определить, если известны граничные условия.
Рисунок 10.3 – Схема, иллюстрирующая составление граничных условий для линии с распределенными параметрами
|
|
При анализе процессов в линии с распределенными параметрами граничные условия обычно задают в начале или в конце линии, т.е. при x = 0 или x = l , где l — длина всей линии (рисунок 10.3).
10.7.1 Граничные условия в начале линии | |||||||
Пусть заданы напряжение U&1 и ток I&1 | в начале линии ( x = 0 ): | ||||||
U& | x=0 = U&1 , | I& | x=0 = I&1 . | (10.31) | |||
Из (10.14) и (10.15) тогда при x = 0 получаем уравнения
233
A&1− A&2= I&1 Z в , A&1+ A&2= U&1,
решая которые, находим постоянные интегрирования:
& | = | 1 | & |
|
| + & | Z |
|
| & | = | 1 | & | − & | ||||||||||||||||||||||||||||||
A1 | 2 | (U1 |
|
| I1 | в ), | A2 | 2 | (U1 | I1 | Z | в ). | (10.32) | |||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Подставляя (10.32) в (10.14), (10.15), получим
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
| & | 1 | & |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I&= |
| U1 | + I& | e−γ x | − |
| U1 | − I& | e γ x | , | (10.33) | |||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | Z | 1 |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
| Z | в |
| 2 |
| в |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
& | = | 1 | & | + & | −γ x | + | 1 | & | − & | γ x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
U | 2 | (U1 | I1 | Z |
| в )e | 2 | (U1 | I1 | Z | в )e | . | (10.34) | |||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Группируя члены | в | правой части | выражений (10.33), (10.34) | и вводя |
гиперболические функции sh γ x и ch γ x , указанные соотношения преобразуем к виду
I&=− | U&1 | sh γ x + I& ch γ x , | U&=−I& | Z | в | sh γ x + U& ch γ x . | (10.35) | |||
| ||||||||||
Z | 1 | 1 | 1 | |||||||
в | ||||||||||
Формулы (10.33), (10.34) и (10.35) позволяют определить ток и напряжение в любой точке линии по их значениям в начале линии.
Граничные условия в конце линии
Пусть теперь заданы значения напряжения U& 2 и тока I&2 в конце линии ( x = l ),
т.е. задан режим нагрузки, а значит, и сопротивление Z 2 = U& 2 | I&2: | ||||||||
U& | x=l | = U&2 | , I& | x=l | = I&2. | (10.36) | |||
5) этом случае целесообразнее отсчитывать расстояние текущей точки от конца линии. Обозначая его через x′ , получим x = l − x′ и x′ = l − x (рисунок 10.3).
6) новой системе координат относительно x′ граничные условия (10.36) запишутся в виде:
U& | = U& | 2 , | I& |
| = I&2. | (10.37) | |||||||||||
x =0 | x =0 | ||||||||||||||||
Заменяя в уравнениях (10.14), (10.15) | x на(l − x′)и используя граничные условия | ||||||||||||||||
(10.37), при x′ = 0 получим уравнения | |||||||||||||||||
A& e−γl − A& | e γ l | = I& | Z | в | , | A& | e−γl + A& | e γ l = U& | , | ||||||||
1 | 2 | 2 | 1 | 2 | 2 | ||||||||||||
решая которые, найдем постоянные интегрирования:
& = | 1 | & | + & | γ l | & | = | 1 | & | − & | −γ l | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A1 | 2 | (U2 | I | 2 | Z | в )e | , | A2 | 2 | (U2 | I2 | Z | в )e | . | (10.38) | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Подставляя (10.38) в (10.14), (10.15), получим | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
| & | 1 | & |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I&= |
| U2 | + I& | e γ x′− |
|
| U2 |
| − I& | e−γ x′, | (10.39) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Z | 2 |
| 2 |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
| в |
| 2 |
|
| Z | в |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
& | = | 1 | & | + & | γ x′+ | 1 | & | − & | −γ x′ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| U | 2 | (U2 | I2 | Z | в )e | 2 | (U2 | I | 2 | Z | в )e | . | (10.40) | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Группируя члены в правой части выражений (10.39), (10.40) и вводя | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
гиперболические функции sh γ x′ | и ch γ x′ , указанные соотношения преобразуем к виду | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I&= | U&2 | sh γ x′+ I& | ch γ x′, | U&= I& Z | в | sh γ x′+U& | ch γ x′. | (10.41) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Z | в | 2 | 2 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
234
Формулы (10.39), (10.40) и (10.41) позволяют определить ток и напряжение в любой точке линии по их значениям в конце линии.
Входное сопротивление линии
Входным сопротивлением линии Z вх называется сосредоточенное сопротивление,
которым при гармоническом режиме можно заменить линию вместе с нагрузкой на ее конце, равное отношению напряжения к току в начале линии:
|
| Z | вх = | U&1 | . |
|
|
|
|
| (10.42) | |||||||||||||
I& | ||||||||||||||||||||||||
1 | ||||||||||||||||||||||||
Так как для линии с длиной l | и нагрузкой | Z | 2 | выполняется условие U& 2 | = I&2 | Z | 2 | |||||||||||||||||
(см. рисунок 10.3), то из (10.41), (10.42) при x′ = l получаем | ||||||||||||||||||||||||
Z | вх | = | Z | в |
| Z | 2 + |
| Z | в th γ l |
| , | (10.43) | |||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||
|
| Z | в + | Z | 2th γ l | |||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||
где th γ l = sh γ l ch γ l —гиперболический тангенс.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 234; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!