Алгебраизация системы дифференциальных уравнений, описывающих переходной процесс, и составление характеристического уравнения на основе главного определителя этой системы

 

Поскольку характеристическое уравнение всегда составляется на основе однородного дифференциального уравнения, то его структура от действующих в цепи принуждающих сил — токов и ЭДС источников электрической энергии — никак не зависит. Это означает, что исходную систему дифференциальных уравнений для полных токов и напряжений i = i _св + i _пр , u = u _св + u _пр можно заменить эквивалентной системой

 

однородных уравнений для свободных токов и напряжений i _св , u _св . Например, система уравнений (6.75) для свободных токов запишется так:

i1св − i2св − i3св = 0 ;
i1св R1+ i2св R2=0;					(6.78)
− i2св R2 + i3св R3 + L3	di3св	1			∫i3св dt = 0 .
		+
	dt		C
		3

Известно, что решение однородного дифференциального уравнения можно записать в виде показательной функции Ae ^pt , где величина p , являющаяся корнем характеристического уравнения, может быть как вещественной, так и комплексной, т.е.

 

согласно

таблице 6.1  допустимы следующие

значения

p :

p = λ k = α

или

p = λ k

= α ± j β .Таким образом,уравнение для свободного тока можно представить в

виде i

= Ae pt ,причем постоянная интегрирования

A для каждого из токов i

,

i

св

,

св

своя, а показатель затухания p одинаков для

1св

2

i3свбудет

всех

свободных

токов.

Физически это объясняется тем, что вся линейная цепь охвачена единым переходным процессом, поэтому корни характеристического уравнения являются общими для всех

 

144

свободных составляющих токов и напряжений ветвей схемы, параметры которой и входят в это характеристическое уравнение.

 

Найдем производную и интеграл от свободного тока:

di

d

pt

)= pAe

pt

= pi св ,

∫i св dt =

∫ Ae

pt

dt =

Ae pt

=

i

,

dt

= dt ( Ae

p

p

св

св

следовательно,

производную от свободного тока можно заменить на

pi

, а свободное

напряжение на

индуктивности,

т.е. величину Ldi

dt

—

на

( pL)i

св

. Аналогично

св

св

интеграл от свободного тока может быть заменен величиной i _св  p ,а свободноенапряжение на конденсаторе — величиной i _св (pC ).

Произведем указанные замены в системе уравнений для свободных токов (6.78):

	i1св − i2св − i3св = 0 ;
	i1св R1+ i2св R2=0;				(6.79)
				1
− i2св R2		+ pL3	+
				pC
	+ R3				i3св = 0 .
				3

Уравнения (6.79) представляют собой систему алгебраических уравнений относительно i_1св , i_2св , i_3св и в отличие от исходной системы (6.78) не содержат

 

производных и интегралов.

 

Переход от системы линейных дифференциальных уравнений к системе уравнений алгебраических называется алгебраизацией системы дифференциальных уравнений для свободных токов.Система уравнений(6.79),таким образом,естьрезультат алгебраизации системы дифференциальных уравнений (6.78).

 

Правила перехода от исходной системы дифференциальных уравнений к алгебраизованной систематизированы в таблице 6.2.

 

Таблица 6.2 – Правила алгебраизации системы дифференциальных уравнений

 

Величина, подвергающаяся		Исходная математическая						Алгебраизованная
	алгебраизации		форма					математическая форма
u Rсв	— напряжение на			Ri св					Ri св
сопротивлении
u Lсв	— напряжение на		L		di св			( pL)i св
индуктивности						dt
u Cсв	— напряжение на		1			i dt
									1 i
						св				св
	ёмкости		C ∫
									pC

 

Число алгебраических уравнений в системе равно числу неизвестных свободных токов. Предположим, что p уже определено и решим систему (6.79) относительно i_1св ,

 

i_2св, i_3свметодом Крамера:

 

i

=

1

,

i

св

=

2

, i

=

3

,

(6.80)

1св

2

3св

где

— главный определитель

системы

уравнений

(6.79), 1 ,

2 и

3 —

определители, получаемые из

путем замены в нем соответственно 1-го, 2-го и 3-го

столбцов правой частью уравнений (6.79). В данном случае

 

145

	1	−1		−1
=	R1	R2		0			,	(6.81)
	0	− R	R + pL +		1
		2	3	3	pC3

 

а каждый из определителей ₁ , ₂ и ₃ равен нулю:

 

₁ = 0 ,     ₂ = 0 ,      ₃ = 0 ,                                                       (6.82)

 

так как все они содержат нулевой столбец, образованный правой частью уравнений (6.79), которая также состоит из одних нулей.

 

Из физических соображений ясно, что каждый из свободных токов не может быть равен нулю,так как при этом нарушаются законы коммутации,однако из(6.80)и(6.82) следует, что

 

i	=	0	,	i	=	0	,	i	=	0	,
1св				2св				3св

 

значит, свободные токи могут быть не равны нулю только в том случае, когда		= 0 .
Таким образом, определитель	алгебраизованной системы уравнений должен
равняться нулю.Уравнение	(p)=0	(6.83)

 

является характеристическим уравнением, полученным на основе алгебраизованной системы дифференциальных уравнений, и содержит единственную неизвестную величину p .

Покажем на примере рассматриваемой цепи, что алгебраическое уравнение (6.83) действительно является характеристическим, т.е. совпадает с уравнением (6.77), полученным непосредственно из однородного дифференциального уравнения (6.76).

Вычисляя определитель			системы согласно (6.81), получим
( p)= L			( R + R ) p +( R R + R R + R R )+									1	( R + R ),
		3	1	2	1	2	2	3		1	3	pC3	1	2
откуда на основании (6.83) приходим к уравнению
L C		(R + R )p2		+ C	(R R + R R + R R )p +(R + R )=0.										(6.84)
3	3	1	2	3	1	2	2	3	1	3		1	2

Это уравнение при p = λ идентично характеристическому уравнению (6.77).

 

---

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 257; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!