Включение конденсатора на синусоидальное напряжение
Исследуем переходной процесс, возникающий при подключении R , C – цепи (конденсатора) к источнику синусоидальной ЭДС (рисунок 6.8, а):
e = E m sin(ω t +ψ e ),
где E m , ω и ψ e — амплитуда, угловая частота и начальная фаза этой ЭДС. Как и в случае катушки индуктивности, величина ψ e зависит от момента включения синусоидального источника в R , C – цепь и также называется фазой включения.
135
а) б)
Рисунок 6.8 – Схема замещения цепи (а) и временная диаграмма токов и напряжений
3) конденсаторе (б) при подключении к источнику синусоидального напряжения
Дифференциальное уравнение для рассматриваемой цепи имеет вид
RC | du C | + u C = e . | (6.44) | |||||||||||||
| ||||||||||||||||
dt | ||||||||||||||||
Установившееся напряжение на ёмкости | π | |||||||||||||||
| ||||||||||||||||
u Cпр | = U Cm sin | ω t +ψ e | − ϕ − | , | (6.45) | |||||||||||
2 | ||||||||||||||||
где |
| |||||||||||||||
E m | X C | 1 | ||||||||||||||
U Cm = I m X C , I m = | , ϕ = −arctg | , | X C = |
| . | (6.46) | ||||||||||
R2+ X C2 | R | ω C | ||||||||||||||
Уравнение для свободного напряжения u Cсв | и его общее решение сохраняют тот |
же вид (6.33), (6.35), что и для цепи с источником постоянного напряжения:
− t
u Cсв = Ae τ ,
где постоянная времени τ = RC . На основании (6.45) и (6.46) получаем тогда следующее выражение для переходного напряжения на ёмкости:
− | t |
| π | |||||
u C = Ae τ | + U Cm sin | ω t +ψ e − ϕ − | . | (6.47) | ||||
2 |
Постоянная A в (6.47) определяется из начального условия, согласно которому должна быть задана величина напряжения на зажимах конденсатора u C (0− ) до включения цепи. Так как в докоммутационном режиме конденсатор не был заряжен, то u C (0−)=0и,следовательно,
(0 | )= u | (0 | )= A +U | π
| π | |||||||||||||||||||||||||||||
u | C | − | C | + | Cm | sin ψ | e | −ϕ − |
| = 0 | и A = −U | Cm | sin ψ | e | −ϕ − | . | ||||||||||||||||||
2 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, | t | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| π − | |||||||||||||||||||||||||||||||||
u | Cсв | =−U | Cm | sin ψ | e | −ϕ − | e τ | , | ||||||||||||||||||||||||||
2
|
136
ω t | ||
u C = U Cm sin | ||
π |
|
| π | − | t |
| ||||||||||||
+ψ | e | − ϕ − |
| −U | Cm | sin ψ | e | − ϕ − |
| e τ . | (6.48) | |||||||
2 | ||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||
Для тока в переходном процессе получаем | t | |||||||||||||||||||||||
du | sin(ω t | −ϕ )+ | U |
| π − |
| ||||||||||||||||||
C | Cm | |||||||||||||||||||||||
i = C | = I | m | +ψ | e | sin ψ | e | −ϕ | − |
| e τ . | (6.49) | |||||||||||||
dt | R
| 2 | ||||||||||||||||||||||
Графики изменения | величин | u Cпр , | u Cсв , | u C | и | e в | переходном | процессе, | ||||||||||||||||
построенные согласно формулам (6.45), (6.46) и (6.48), приведены на рисунке 6.8, б. Из анализа этих зависимостей следует , что, как и в случае индуктивной катушки, на характер переходного процесса в рассматриваемой цепи существенное влияние оказывает фаза включения ψ e . Так, если ψ e = ϕ ± π 2 , то согласно (6.48) u Cсв = 0 , т.е.
свободное напряжение при коммутации вообще не возникает и электрическая цепь сразу же переходит в стационарное состояние, при котором переходное напряжение на ёмкости равно установившемуся значению:
u C = U Cm sin ω t .
Если включение происходит при ψ e = ϕ , то свободное напряжение u Cсв будет наибольшее и в начальный момент времени равное амплитуде U Cm установившегося напряжения. Начальное значение свободного тока при этом будет (−U Cm R).Если R << X C ,то в начальный момент времени произойдет скачкообразное увеличение токав цепи, намного превосходящее амплитуду I m . Однако такой большой ток будет протекать незначительную часть периода, так как
6) = 2π τ << 1,
X C T
и, следовательно, τ << T . Максимальное значение напряжения u C в переходном процессе не превышает удвоенной амплитуды U Cm напряжения на ёмкости в установившемся режиме.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 224; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!