Несинусоидальный ток и напряжение в пассивных элементах цепи. Основные закономерности

⇐ ПредыдущаяСтр 37 из 90Следующая ⇒

Рассмотрим некоторые особенности протекания периодических несинусоидальных токов в пассивных элементах цепи, полагая, что периодическое напряжение на зажимах элемента представлено рядом Фурье:

	∞
u = U₀+	∑	U _km sin(k ω t +ψ _uk ).	(4.30)
u = U₀+		U _km sin(k ω t +ψ _uk ).	(4.30)

k =1

Коэффициент искажения кривой напряжения тогда равен:

k _иu =	U₁	.	(4.31)
k _иu =	∞	.	(4.31)
	∑U _k²
	k =0

Несинусоидальный ток и напряжение в резистивном элементе

Ток и напряжение в резистивном элементе с сопротивлением R (рисунок 4.7, а)

связаны законом Ома вида
i(t )=	u(t )	.	(4.32)

	R

а) б)

Рисунок 4.7 – Резистивный элемент ( а) и соответствующая временная диаграмма тока и напряжения (б)

105

При периодическом несинусоидальном напряжении (4.30) сила тока согласно (4.32) равна

	∞
i = I₀+	∑	I _km sin(k ω t +ψ _ik ),	(4.33)
i = I₀+		I _km sin(k ω t +ψ _ik ),	(4.33)

о =1

где

I₀

U₀

^I km

^U km

ψ _ik =ψ _uk .

(4.34)

Коэффициент кривой тока (4.33), (4.34) равен

^k иi

I₁

^U1

(4.35)

∞

∑I _k²

∑U _k²

k =0

Сравнение (4.31) и (4.35) показывает, что k _иi = k _иu , т.е. на резистивном элементе

не наблюдается искажения кривой тока в сравнении с кривой напряжением, так что ток и напряжение совпадают по форме и подобны друг другу.На рисунке4.7,б дляпрямоугольного напряжения (4.29) с точностью до трех гармоник изображены кривые тока и напряжения.

Несинусоидальный ток и напряжение в индуктивном элементе

Ток и напряжение в индуктивном элементе с индуктивностью L (рисунок 4.8, а) связаны законом Ома вида

i(t )=	1	∫u(t )dt .	(4.36)
	L

а) б)

Рисунок 4.8 – Индуктивный элемент (а) и соответствующая временная диаграмма тока и напряжения (б)

При периодическом несинусоидальном напряжении (4.30) сила тока согласно (4.36) равна

	∞
i =	∑	I _km sin(k ω t +ψ _ik ),	(4.37)
i =		I _km sin(k ω t +ψ _ik ),	(4.37)

с=1

где

I _km =

^U km

ψ _ik =ψ _uk −

(4.38)

k ω L

106

Коэффициент кривой тока (4.37), (4.38) равен
k _иi =	^I1		=	U₁		.	(4.39)
k _иi =	∞		=	^∞ 1		.	(4.39)
	∞		2	^∞ 1		²
	∑	I			U
		I			U
			k	∑ k		k
	k =1			k =1	k _иi > k _иu ,т.е.
Сравнение (4.31) и (4.39) показывает, что					k _иi > k _иu ,т.е.		кривая напряжения

искажена больше, чем кривая тока, следовательно, катушка индуктивности является сглаживающим элементом для тока.На рисунке4.8,б для прямоугольного напряжения(4.29) с точностью до трех гармоник изображены кривые тока и напряжения.

Несинусоидальный ток и напряжение в ёмкостном элементе

Ток и напряжение в ёмкостном элементе с ёмкостью C (рисунок 4.9, а) связаны

законом Ома вида
i(t )= C	du(t)	.	(4.40)

	dt

а) б)

Рисунок 4.9 – Ёмкостной элемент (а) и соответствующая временная диаграмма тока и напряжения (б)

При периодическом несинусоидальном напряжении (4.30) сила тока согласно (4.40) равна

	∞
i =	∑	I _km sin(k ω t +ψ _ik ),	(4.41)
i =		I _km sin(k ω t +ψ _ik ),	(4.41)

и =1

где

I _km =(k ω C)U _km ,			^ψ ik	=ψ _uk +	π		.	(4.42)
						2
Коэффициент кривой тока (4.41), (4.42) равен

k _иi =	I₁	=		U₁	.			(4.43)
	∞		∞
	∑I _k²		∑(kU _k )²
	k=1		k =1	k _иi < k _иu ,
Сравнение (4.31) и (4.43) показывает,			что				т.е. кривая тока искажена

больше, чем кривая напряжения , следовательно, конденсатор, является сглаживающим элементом для напряжения.На рисунке4.9,б для прямоугольного напряжения(4.29)сточностью до трех гармоник изображены кривые тока и напряжения.

107

Методика расчета линейных электрических цепей при периодических несинусоидальных токах и напряжениях

Возможность разложения периодических несинусоидальных величин, т.е. токов, напряжений и ЭДС, в ряд Фурье позволяет свести расчет линейных электрических цепей при воздействии несинусоидальных ЭДС или токов источников к расчету цепей с постоянными и синусоидальными токами в отдельности для каждой гармоники. Мгновенные значения искомых токов и напряжений в таком случае определяются на основе принципа наложения путем суммирования найденных при расчете постоянных и гармонических составляющих тока или напряжения.

Пусть требуется определить ток в электрической цепи, к которой подключается периодическая несинусоидальная ЭДС:

	∞
e(t )= E₀+	∑	E _km sin(k ω t +ψ _ek ).	(4.44)
e(t )= E₀+		E _km sin(k ω t +ψ _ek ).	(4.44)

k =1

Если цепь линейная, т.е. величины R , L и C неизменны, то ток в цепи определится методом наложения путем суммирования токов, создаваемых каждой из составляющих ЭДС в отдельности:

					∞
i(t )= I₀+					∑		I _km sin(k ω t +ψ _ik ),		(4.45)
i(t )= I₀+							I _km sin(k ω t +ψ _ik ),		(4.45)
где					k =1
где		^E0				^E km
I₀=		^E0	,	^I km ⁼		^E km		, ψ _ik =ψ _uk − ϕ _k .	(4.46)
I₀=			,	^I km ⁼				, ψ _ik =ψ _uk − ϕ _k .	(4.46)
		Z₀					Z _k
Здесь Z₀ полное сопротивление цепи						при нулевой частоте ω , т.е.			сопротивление
постоянному току, Z _k —	полное			сопротивление при частоте k ω ,					угол ϕ _k равен

арктангенсу отношения реактивной составляющей сопротивления Z _k на частоте k ω к его активной составляющей.

в случае цепи с последовательным соединением элементов R , L и C указанные величины, к примеру, равны:

Z _k =	R	2			1	²
Z _k =	R		+ k ω L −
					k ω C
При этом сопротивление				Z₀=∞,		так

ϕ = kωL − 1 kωC

, _k arctg _R .

как последовательная цепь, содержащая

конденсатор, постоянный ток не пропускает.

Соотношения (4.44) – (4.46) могут быть представлены в комплексной форме:

	∞						∞
e(t )= E₀+ Im ∑E^&_km e ^jk ^ω ^t ,				i(t )= I₀+ Im ∑I^&_km e ^jk ^ω ^t ,				(4.47)
k =1							k =1
где
E^&	= E	km	e ^j ^ψ ek _,	I^&	= I	km	e ^j ^ψ ik _.	(4.48)
km		km		km		km

Из формул (4.47), (4.48) следует , что расчет периодических несинусоидальных токов, представленных в комплексной форме, сводится к определению комплексных амплитуд токов I^&_km , соответствующих комплексным амплитудам ЭДС E^&_km , для

различных порядков гармоник k . При этом комплексное сопротивление для данной частоты k ω (для данной гармоники) определяется выражением

108

Z	_k = Z _k e ^j ^ϕ k .	(4.49)

Рассмотрим, к примеру, электрическую цепь, изображенную на рисунке 4.10, и определим для нее ток i(t ) в ветви с источником ЭДС.

Рисунок 4.10 – Схема , иллюстрирующая применение метода наложения к расчету линейных цепей при периодических несинусоидальных ЭДС и токах

Так как при расчете спектр рассматриваемых гармонических составляющих всегда ограничивается, то вместо ряда (4.44) следует рассматривать его n - ю частичную сумму, т.е. функцию

	n
e(t )=	∑	E _km sin(k ω t +ψ _ek ).	(4.50)
e(t )=		E _km sin(k ω t +ψ _ek ).	(4.50)

ее =0

Для определения искомого тока i(t) исходную схему рисунка 4.10 представим

расчетными схемами, изображенными на рисунке 4.11. При этом на рисунке 4.11, а изображена расчетная схема, соответствующая постоянной составляющей или нулевой гармонике E₀ ; на рисунке 4.11, б — расчетная схема, соответствующая гармоническим

составляющим E _km sin(k ω t +ψ _ek ), k = 1,n .

а) б)

Рисунок 4.11 – Расчетные схемы для постоянной (а) и гармонических (б) составляющих

периодической несинусоидальной ЭДС

Величины X _Lk = k ω L и X _Ck =1 (k ω C) на рисунке 4.11, б определяют

соответственно реактивные сопротивления катушки и конденсатора для k -й

гармоники, E^&_km и I^&_km — комплексные амплитуды ЭДС и тока (аналогично соотношениям (4.48)).

Для схемы замещения на рисунке 4.11, а относительно постоянной составляющей тока находим

^I0	=		E₀	.	(4.51)
		^R1	+ R₂

109

Для схемы замещения на рисунке 4.11, б относительно гармонических

составляющих тока:

E^&_km

I^&

(4.52)

где полное комплексное сопротивление Z _k цепи для k - й гармоники ЭДС равно:

R₂(− jX _Ck )

= R + jX

(4.53)

R₂− jX _Ck

На основании (4.51) – (4.53) искомый ток i(t) изобразится n - й частичной суммой

вида

i(t )

= I₀+

∑

I _km sin(k ω t +ψ _ik ),

(4.54)

3=1

где амплитуда I _km k - й гармоники равна модулю комплексной амплитуды (4.52), а начальная фаза ψ _ik — ее аргументу:

^I km ⁼		I^&_km		, ψ _ik = arg I^&_km .	(4.55)

Соотношения (4.51) – (4.55) дают полное решение поставленной задачи, т.е. позволяют с точностью до n гармоник рассчитать мгновенное значение тока i(t) в

неразветвленной части цепи, изображенной на рисунке 4.10, при воздействии на нее периодической ЭДС (4.50). Обобщая эти результаты, можно сформулировать алгоритм расчета произвольной электрической цепи при периодических несинусоидальных ЭДС и токах.

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 554; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 32 33 34 35 363738 39 40 41 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!