Лекция 6. Переходные процессы в линейных электрических цепях и методы их анализа 8 страница

⇐ ПредыдущаяСтр 24 из 35Следующая ⇒

6.14 Операторное сопротивление и операторная проводимость. Операторные схемы замещения пассивных элементов цепи

При анализе переходных процессов операторным методом токам, напряжениям и

ЭДС, действующим в цепи, т.е. функциям i(t ), u(t ) и e(t ), сопоставляются их

изображения I ( p), U ( p) и E( p), определяемые интегральными преобразованиями

Лапласа (6.107):

+¥ +¥ +¥

I ( p) = òi(t )e- pt dt ,

U ( p) = òu(t )e- pt dt ,

E( p) = òe(t )e- pt dt

или

i(t )G I ( p), u(t )GU ( p),

e(t )G E( p).

Представление функций i(t ), u(t ) и e(t ) их Лапласовыми образами I ( p), U ( p) и

E( p)

приводит к необходимости сопоставления указанных образов по величине для

одного и того же элемента цепи или ее части, рассматриваемой в целом как пассивный двухполюсник. Это сопоставление также проводят с помощью преобразований Лапласа.

6.14.1 Операторное сопротивление и операторная проводимость

Отношение изображения напряжения на зажимах двухполюсника к изображению тока в нем называется операторным сопротивлением:

( )

Z ( p) = U ( p) . (6.109)

I p

Величина, обратная сопротивлению, т.е. функция

( )

Y ( p) = I (p)

U p

(6.110)

называется операторной проводимостью.

Операторное сопротивление Z ( p)

и операторная проводимость

Y ( p),

определяемые формулами (6.109) и (6.110), позволяют сопоставить изображения токов и напряжений на зажимах двухполюсника с произвольной структурой. Наиболее просто указанное сопоставление может быть проведено для идеализированных пассивных элементов схем замещения: резистивного, индуктивного и ёмкостного.

6.14.2 Закон Ома и операторная схема замещения резистивного элемента

Ток и напряжение в резистивном элементе с сопротивлением R (рисунок 6.14, а) связаны компонентными соотношениями (законами Ома) вида

u(t ) = Ri(t ), i(t ) = gu(t ), (6.111)

где g = 1 R — проводимость.

а) б)

Рисунок 6.14 – Исходная (а) и операторная (б) схемы замещения резистивного элемента

На основании свойства линейности преобразования Лапласа формулы (6.111)

можно представить в операторной форме:

или

где коэффициенты

U ( p) = RI (p),

U ( p) = Z R ( p)I ( p),

I ( p) = gU ( p)

I ( p) = Y R ( p)U ( p), (6.112)

Z R (p) = R ,

Y R ( p) = g

(6.113)

представляют соответственно операторное сопротивление и операторную проводимость резистивного элемента. Соотношения (6.112) называются операторными законами Ома для резистивного элемента цепи. Этим соотношениям соответствует операторная схема замещения резистивного элемента, изображенная на рисунке 6.14, б.

6.14.3 Закон Ома и операторная схема замещения индуктивного элемента

Ток и напряжение в индуктивном элементе с индуктивностью L (рисунок 6.15, а) связаны компонентными соотношениями (законами Ома) вида

di(t ) 1 t

u(t ) = L ,

i(t ) = i L (0)+ L òu(t )dt . (6.114)

а) б) в)

Рисунок 6.15 – Исходная (а) и операторные схемы замещения индуктивного элемента с источником ЭДС (б) и источником тока (в)

На основании свойства линейности преобразования Лапласа и теорем дифференцирования и интегрирования оригинала формулы (6.114) можно представить в операторной форме:

U ( p) = -Li (0)+ pLI (p), I ( p) = i L (0) + 1 U ( p). (6.115)

L p pL

В отсутствие начального тока i L (0) в элементе выражения (6.115) принимают вид

U ( p) = Z L ( p)I ( p), I (p) = Y L ( p)U (p), (6.116)

где коэффициенты

Z L ( p) = pL ,

Y L ( p) =

(6.117)

представляют соответственно операторное сопротивление и операторную проводимость индуктивного элемента. Соотношения (6.115) и (6.116) называются операторными законами Ома для индуктивного элемента цепи. Этим соотношениям соответствуют две операторные схемы замещения индуктивного элемента,

изображенные на рисунках 6.15, б и 6.15, в.

В перовой схеме (рисунок 6.15, б) начальный ток i L (0) в индуктивности

учитывается с помощью дополнительного источника ЭДС (изображение ЭДС Li L (0)),

соединенного последовательно с индуктивным элементом и имеющего направление действия ЭДС, совпадающее с направлением начального тока.

Во второй схеме (рисунок 6.15, в) начальный ток учитывается источником тока

(изображение задающего тока i L (0) p ), включенным параллельно индуктивной

проводимости и направленным одинаково с начальным током.

6.14.4 Закон Ома и операторная схема замещения ёмкостного элемента

Ток и напряжение в ёмкостном элементе с ёмкостью C (рисунок 6.16, а) связаны компонентными соотношениями (законами Ома) вида

1 t du(t )

u(t ) = u C (0)+ C òi(t )dt ,

i(t ) = C

. (6.118)

а) б) в)

Рисунок 6.16 – Исходная (а) и операторные схемы замещения ёмкостного элемента с источником тока (б) и источником ЭДС (в)

На основании свойства линейности преобразования Лапласа и теорем дифференцирования и интегрирования оригинала формулы (6.118) можно представить в операторной форме:

U ( p) = u C (0) + 1 I (p), I ( p) = -Cu (0)+ pCU ( p). (6.119)

P pC C

В отсутствие начального напряжения u C (0) на элементе выражения (6.119)

принимают вид

U ( p) = Z C ( p)I ( p), I ( p) = Y C ( p)U ( p), (6.120)

где коэффициенты

Z C ( p) = ,

Y C ( p) = pC

(6.121)

представляют соответственно операторное сопротивление и операторную проводимость ёмкостного элемента. Соотношения (6.119) и (6.120) называются операторными законами Ома для ёмкостного элемента цепи. Этим соотношениям соответствуют две операторные схемы замещения ёмкостного элемента,

изображенные на рисунках 6.16, б и 6.16, в.

В первой схеме (рисунок 6.16, б) начальное напряжение u C (0) на ёмкости

учитывается с помощью дополнительного источника тока (изображение задающего тока

Cu C (0)), включенного параллельно ёмкостной проводимости и направленного

противоположно начальному току.

Во второй схеме (рисунок 6.16, в) начальное напряжение учитывается источником

ЭДС (изображение ЭДС u C (0) p ), соединенным последовательно с ёмкостным

элементом и имеющим направление действия ЭДС, противоположное направлению начального тока.

6.15 Закон Ома и законы Кирхгофа в операторной форме

Используя операторное представление тока, напряжения и ЭДС при переходном

процессе, т.е. функции I ( p), U ( p) и E( p), а также операторное сопротивление Z ( p) и

проводимость Y ( p), можно получить выражения для законов Ома и Кирхгофа в

операторной форме аналогичные их символическим представлениям (3.58), (3.70) и

(3.72) для цепи переменного синусоидального тока.

6.15.1 Закон Ома в операторной форме

Рассмотрим последовательный контур, содержащий элементы R , L и C , при

ненулевых начальных условиях i L (0) ¹ 0 и u C (0) ¹ 0 , на который воздействует ЭДС

e(t ) известной формы (рисунок 6.17, а).

а) б)

Рисунок 6.17 – Исходная (а) и операторная (б) схемы замещения последовательного контура

На основании 2-го закона Кирхгофа для мгновенных значений тока и напряжений в рассматриваемой цепи можно составить следующее уравнение:

u R (t )+ u L (t )+ u C (t ) = e(t )

или

di(t ) 1 t

Ri(t )+ L

+ u C (0)+ C òi(t )dt = e(t ), (6.122)

где u C (0) — начальное напряжение на конденсаторе.

Рассматривая заданную ЭДС e(t ) и искомый ток

i(t )

в качестве оригиналов,

положим, что им соответствуют изображения

I ( p) и

E( p), т.е. e(t )G E( p) и i(t )G I ( p).

На основании свойства линейности преобразования Лапласа и результатов, представленных в разделах 6.14.2 – 6.14.4, уравнение (6.122) можно записать в операторной форме:

RI ( p)- Li

(0)+ pLI (p)+ u C (0) + 1 I (p) = E(p),

L p pC

откуда после несложных преобразований получим уравнение

⎛ 1 ⎞

u C (0)

или

⎜ R + pL +

⎝

⎟I ( p) = E( p)+ Li L (0)-

pC ⎠ p

(6.123)

где коэффициент

Z (p)I ( p) = E * ( p), (6.124)

Z ( p) = R + pL + 1

(6.125)

называется операторным сопротивлением контура, а функция

E * ( p) = E( p)+ Li

— приведенной операторной ЭДС.

(0)- u C (0)

(6.126)

Приведенная операторная ЭДС

E * ( p) учитывает ненулевые начальные условия в

цепи: токи в индуктивностях и напряжения на ёмкостях в момент коммутации. При

нулевых начальных условиях, когда i L (0) = 0 и u C (0) = 0 , E ( p) = E( p), т. е.

приведенная ЭДС совпадает с изображением ЭДС источника, действующего в цепи.

Уравнению (6.123), полученному для схемы цепи, изображенной на рисунке 6.17, а, можно поставить в соответствие схему, приведенную на рисунке 6.17, б. Эту схему называют эквивалентной операторной схемой или схемой изображений.

Эквивалентная операторная схема может быть получена из исходной схемы цепи, если индуктивность L и ёмкость C в ней заменить операторными сопротивлениями

Z L ( p) = pL и Z C ( p) = 1 ( pC ), ток i(t ) и ЭДС e(t ) — их изображениями I ( p) и E( p), а

ненулевые начальные условия, соответствующие моменту коммутации t = 0 , учесть

путем введения в схему дополнительных источников ЭДС Li L (0) и u C (0) p .

Источники Li L (0) и u C (0) p в выражении (6.126) приведенной ЭДС

E * ( p)

называются внутренними (или расчетными) источниками, так как обусловлены запасом

энергии в магнитном поле катушки (источник Li L (0)) или в электрическом поле

конденсатора (источник u C (0) p ). ЭДС e(t ), а также ее изображение E( p), называются

внешними ЭДС.

Из операторного уравнения (6.124) следует, что

( ) = E * ( p)

( ) =

* ( ) ( )

I p Z ( p) , I p

E p Y

p . (6.127)

Соотношения (6.127) являются законами Ома в операторной форме. Функция

Y ( p), т.е. операторная проводимость, определяется равенством

Y ( p) =

Z ( p) =

1 . (6.128)

Примечание – Отметим, что при

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 196; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 19 20 21 22 232425 26 27 28 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!