Теорема, обратная теореме Виета

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Если внимательно посмотреть на вторую формулировку теоремы Виета, то можно увидеть, что для корней x₁ и x₂приведенного квадратного уравнения будут справедливы соотношения x₁+x₂=−p, x₁⋅x₂=q. Из этих соотношений x₁+x₂=−p, x₁⋅x₂=q следует, что x₁ и x₂ – это корни квадратного уравнения . Так приходим к утверждению, которое является обратным теореме Виета.

Теорема 3

Если числа x₁ и x₂ таковы, что x₁+x₂=−p и x₁⋅x₂=q, то x₁ и x₂ являются корнями приведенного квадратного уравнения .

Доказательство 3

Замена коэффициентов p и q на их выражение через x₁ и x₂ позволяет преобразовать уравнение в равносильное ему .

Если в полученное уравнение подставить число x₁ вместо x, то мы получим равенство . Это равенство при любых x₁ и x₂ превращается в верное числовое равенство 0=0, так как . Это значит, что x₁ – корень уравнения , и что x₁ также является корнем равносильного ему уравнения ..

Подстановка в уравнение числа x₂вместо x позволяет получить равенство . Это равенство можно считать верным, так как . Получается, что x₂ является корнем уравнения , а значит, и уравнения .

Теорема, обратная теореме Виета, доказана.

Формулы Виета

Существует ряд формул, которые применимы для осуществления действий с корнями и коэффициентами не только квадратных, но также кубических и других видов уравнений. Их называют формулами Виета.

Для алгебраического уравнения степени n вида считается, что уравнение имеет n действительных корней , , …, , среди которых могут быть совпадающие:
,

x₁x₂+ +…+ = ,

+ +…+ =- ,

…

Получить формулы Виета помогают:

теорема о разложении многочлена на линейные множители;
определение равных многочленов через равенство всех их соответствующих коэффициентов.

Так, многочлен и его разложение на линейные множители вида равны.

Если раскрыть скобки в последнем произведении и приравнять соответствующие коэффициенты, то получим формулы Виета. Приняв n=2, получаем формулу Виета для квадратного уравнения: , .