ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ И ПОРЯДКА. РАЗБИЕНИЕ МНОЖЕСТВА НА КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ.

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 16Следующая ⇒

Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пример. Рассмотрим отношение «х однокурсник у» на множестве студентов педфака. Оно обладает свойствами:

1) рефлексивности, т.к. каждый студент является однокурсником самому себе;

2) симметричности, т.к. если студент х является однокурсником студента у, то и студент у является однокурсником студента х;

3) транзитивности, т.к. если студент х - однокурсник у, а студент у – однокурсник z, то студент х будет однокурсником студента z.

Таким образом, данное отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, а значит, является отношением эквивалентности. При этом множество студентов педфака можно разбить на подмножества, состоящие из студентов, обучающихся на одном курсе. Получаем 5 подмножеств.

Теорема. Если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно разбивает это множество на попарно непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности).

Верно и обратное утверждение: если какое-либо отношение, заданное на множестве Х, порождает разбиение этого множества на классы, то оно является отношением эквивалентности.

Пример. На множестве Х = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Является ли оно отношением эквивалентности?

Данное отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, следовательно, является отношение эквивалентности и разбивает множество Х на классыэквивалентности. В каждом классе эквивалентности будут числа, которые при делении на 3 дают один и тот же остаток: Х₁ = {3; 6}, Х₂ = {1; 4; 7}, Х₃ = {2; 5; 8}.

Считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем, т.е. произвольным элементом этого класса. Так, класс равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому классу.

2.3. Функции, уравнения, неравенства

2.3.1. Понятие функции. Способы задания функций. Прямая и обратная пропорциональности.

Функцией называется такое соответствие между числовым множеством x и множеством R действительных чисел, при котором каждому числу из множества x сопостовляется единственное число из множества R. (тетрадь)

Функцией наз-ся такая зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению х соответсвует единственное значение у.

Способы задания функций:

1) Формула. Нарпимер: у=кх+в, где к, в – числа

2) График

3) Таблица

4) Граф.

Прямой пропорциональностью называют функцию, которая может быть задана с помощью формулы у=кх, где к ≠ 0, называемое коэффициентом пропорциональности.

Обратной пропорциональностью называют функцию, которая может быть задана с помощью формулы у = к , где к ≠ 0, называемое коэффициентом пропорциональности.

2.3.2. Понятие числового выражения и выражения с переменной. Числовые равенства, неравенства и их свойства.

Записи, 3+7, 424:8, 3*2-4, (25+3)*2-17 называются числовыми выражениями. Они конструируются из чисел, знаков действий и скобок. Считают, что каждое число также является числовым выражением.

В записи 2а+3 такая буква а называется переменной, а сама запись 2а+3 – выражением с переменной. Переменную можно обозн-ть любой буквой латинского алфавита. Таким образом, переменная – это знак (Символ), кот-ый разрешается заменять числами.

Пусть а и b – два числовых выражения. Соединим их знаком равенства. Получим предложение а=b, кот-ое наз-ют числовым равенством. Числовое рав-во истинно, если значения числовых выражений, стоящих в левой и правой частях рав-ва, совпадают.

Свойства истинных числовых рав-в:

1) Если к обеим частям истинного числового рав-ва а=b умножить на одно и то же числовое выражение с, имеющее смысл, то получим также истинное числовое рав-во a+c=b+c

a=b → a+c=b+c.

2) Если обе части истинного числового рав-ва a=b умножить на одно и то же числовое выражение с, имеющее смысл, то получим также истинное числовое рав-во ac=bc.

a=b → ac=bc.

Пусть а и b – два числовых выражения. Соединим их знаком «>» (или <). Получим предложение а>b (или a<b), к-ое называют числовым неравенством.

Свойства истинных чиловых неравенств:

1) Если к обеим частям истинного числового нерав-ва а>b прибавить одно и тоже числовое выражение с, имеющее смысл, то получим также истинное числовое нерав-во a+c>b+c.

2) Если обе части истинного числового неравенства a>b умножить на одно и то же числовое выражение с, имеющее смысл и принимающее полож-ое значение, то получим также истинное числовое нерав-во ac>bc.

3) Если обе части истинного числового неравенства a>b умн-ть на одно и то же числовое выражение с, имеющее смыл и примающее отриц-ое значение, то, чтобы получить истинное числовое нерав-во, необходимо знак нерав-ва поменять на противоп-ый, т.е. получить нерав-во ac<bc.

3. Натуральные числа и нуль

3.1. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

В качестве очновного понятия пр аксиоматичекском построении арифметики нат-ых чисел взято отношение «непосредственно следовать за», заданное на непустом множестве N. Элемент непоср-но следующий за элементом а, обозначают а’. Суть отношения «непоср-но следовать за» раскрывается в след-их аксиомах: (Пиано)

1) В множестве N существует элемент непоср-но не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей и обозначить символом 1.

2) Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а’, непосредственно следующий за а.

3) Для каждого элемента а из N сущ-ет не более одного элемента, за кот-ым неп-но следует а.

4) Всякое подмножество М мн-ва N, обладающая св-ми: 1 принадлежит М; из того, что а содержится в М, следует, что и а’содержится в М, из этого М равно N.

Мн-во N для элементов которого устан-но отношение «неп-но следовать за», удовлет-ее аксиоме Пиано, наз-ся мн-ом нат-ых чисел, а его элементы – нат-ми числами. (теория дедуктивна)

При аксиом-ом постр-ии какой-либо нат-ой теории собл-ся опред-ые правила:

1) Нек-ые понятия теории выбир-ся в кач-ве основных и приним-ся без опред-ия;

2) Каждому понятию терии, к-ое не сод-ся в списке основных дается опред-ие.

3) Форм-ся аксиомы – предл-ия, к-ые в данной теории приним-ся без док-ва, в них раскрываются св-ва основных понятий;

4) Каждое пред-ие теории, к-ая не сод-ся в списке аксиом, должно быть доказано, такие предл-ия наз-ся теоремами и доказ-ют на основе аксиом и теорем.

Требования к системе аксиом: она должна быть непротиворечивой и независимой:

А) система аксиом наз-ся непротивор-ой, если из нее нельзя лог-ки вынести два взаимно исключающих друг друга предл-ия.

Б) непротивор-ая система аксиом наз-ся независимом, если никакая из аксиом этой системы не яв-ся следствием других аксиом этой системы.

3.1.1. СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ В АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ. ИХ ЗАКОНЫ.

Сложение

Сложением нат-ых чисел наз-ся алгебр-ая операция, обладающая свойствами:

1) Для любого (Ɐ) а € N а+1=а˝

2) Ɐ а, в € N а+b’= (а+b)’

а+b – сумма; а и b – слагаемое

Теорема: Сложение нат-ых чисел сущ-ет и оно единственное.

Законы:

1) Св-ва ассоциативности, закон сочетательный - Ɐ а, в, с € N а+(в+с)=(а+в)+с=а+в+с.

2) Св-ва коммутативности, закон переместительный - Ɐ а, в € N а+в=в+а

3) Ɐ а, в € N а+в≠в

Умножение

Умножением натур-ых чисел наз-ся аглгебр-ая операция, обладающая св-ми:

1) Ɐ а € N а*1=а

2) Ɐ а, в € N а*в’ = а*в+а

а*в – произведение; а, в – множители

1) Св-ва дистрибутивности справа Ɐ а, в, с € N (а+в) * с=а*с+в*с

2) дистрибутивности слева Ɐ а, в, с € N с*(а+в)=с*а+с*в

3) Ассоциативности (соч-ый з) (а*в) * с=а* (в*с)=а*в*с

4) Коммутативности (перемест-ый з) а*в=в*а

3.1.2. ВЫЧИТАНИЕ И ДЕЛЕНИЕ В АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ.

ВЫЧИТАНИЕ

Вычитанием нат-ых чисел наз-ся операция, удовл-я условию: а-в=с → а=в+с.

Теорема 1: Разность нат. Чисел а и в сущ-ет тогда и тогда, когда а-в ↔ а >b

Теорема 2: Ɐ а, в, с € N

1) a>c, то (а+в)-с=(а-с)+в;

2) в>с, то (а+в)-с=а+(в-с);

3) а>с и в>с, то справ-во либо 1) или 2)

Правила выч-я числа из суммы: Чтобы вычислить число из суммы достаточно вычесть это число из одного из слаг-х и к получ-му рез-ту прибавить другое слагаемое.

Теорема 3: Ɐ а,в,с € N если а>в+с, то а-(в=с)=(а-в)-с=(а-с)-в.

Правила вычисления из числа суммы чисел: Чтобы вычесть из числа суммы чисел дост-но вычесть из этого числа послед-но каждое слагаемое одно за другим.

Деление

Делением нат. чисел наз-ся операция, удовл-я условию: а:в=с ↔ а=в*с

Теорема 1: Для того чтобы сущ-ло частное двух нат-х чисел а и в, необ-мо, чтобы в<а

Теорема 2: Если частное N а, в сущ-ет, то оно единственно.

Правила деления суммы на число: (а+в):с=а:с+в:с. Чтобы разделить сумму на число дост-то разделить на это число каждое слагаемое и получившиеся рез-ты сложить.

Правило деления разности на число: а:с, в:с, а>в (а-в):с → а:с-в:с → Для того чтобы разделить разность на число, дост-но разделить на это число уменьшаемое и вычитание и из первого частного вычесть второе.

3.2. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и операций над

ними.

Количественное натуральное число а получается в результате счета элементов конечного множества А: а = n(А). Это же число а может быть получено и при пересчете элементов другого множества, например, В. Но если а = п(В), то множества А и В равномощны, поскольку содержат поровну элементов.

Так как любому непустому конечному множеству соответствует только одно натуральное число, то вся совокупность конечных множеств разбивается на классы равномощных множеств. В одном классе будут содержаться все одноэлементные множества, в другом - двухэлементные и т. д. Множества одного класса различны по своей природе, но все они содержат одинаковое число элементов. И это число можно рассматривать как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Таким образом, с теоретико-множественной точки зрения, натуральное число - это общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Каждому классу соответсвует одно и только одно натуральное число, каждому нат-му числу – один и только один класс равномощных конечных мн-в.

Каждому конечному мн-ву А соотв-ет одно и только нат-ое число а=n(А), но каждому нат-му числу а соотв-ют различные равномощные мн-ва одного класса эквивалентности.

Так как каждый класс равномощных конечных множеств однозначно определяется выбором какого-нибудь его представителя, то о натуральном числе «три» можно сказать, что это общее свойство класса множеств, равномощных, например, множеству сторон треугольника, а о натуральном числе «четыре», что это общее свойство класса множеств, равномощных, например, множеству вершин квадрата.

Число «нуль» с теоретико-множественных позиций рассматривается как число элементов пустого множества: 0 = п(0).

Итак, натуральное число а как характеристику количества можно рассматривать с двух позиций:

1) как число элементов в множестве А, получаемое при счете, т.е.
а = п(А), причем А ~ Nа;

2) как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

3.2.1. Теоретико-множественный смысл суммы двух целых неотрицательных чисел. Законы сложения.

Суммой целых неотриц-ых чисел a и b наз-ют число элементов в обьединении неперескающихся множеств А и В, таких, что n (А)=а, n (В)=b. Т.е. а+в= n (A) + n (В) = n (АUВ). А пересекается В = пустое мн-во.

Законы сложения: переместительный и сочетательный.

1. Переместительный закон (коммутативность): Для любых целые неотриц-ых а и b выпол-ся рав-во a + b = b + a .

2. Сочеательный закон (ассоциативность): Для любых целых неотриц-ых чисел а, b, c вып-ся рав-во (а+ b )+ c = a + ( b + c )

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 3684; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!