Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении

 

Найдем уравнение плоской волны, распространяющейся в на­правлении, образующем с осями координат x , y , z углы α, β, γ. Пусть колебания в плоскости, проходя­щей через начало координат (рис. 3.1), имеют вид

(3.1)

x = a cos ( wt + a )

(3.2)

υ

ω

Возьмем волновую поверхность (пло­скость), отстоящую от начала коорди­нат на расстояние l. Колебания в этой плоскости будут отставать от колебаний (3.1) на время τ =l/υ:

x = a cos [ w( t −   ) + a ] = a cos ( wt − kl + a ).

(k = ω/υ; см. формулу (2.7)).

 

Выразим l через радиус-вектор точек рассматриваемой поверх­ности. Для этого введем единичный вектор n нормали к волновой поверхности. Из рис. 3.1 видно, что скалярное произведение n на радиус-вектор r любой из точек поверхности равно l:

nr = rcos φ=l.

(3.3)

Заменим в (3.2) l через nr :

x = a cos ( wt − knr + a )

(3.4)

Вектор

k = kn ,                       

(3.5)

равный по модулю волновому числу k =2π/λ и имеющий направ­ление нормали к волновой поверхности, называется волно­вым вектором. Таким образом, уравнение (3.3) можно представить в виде

x ( r, t ) = a cos ( wt − kr + a )

Мы получили уравнение плоской незатухающей волны, распро­страняющейся в направлении, определяемом волновым векто­ром k. Для затухающей волны нужно добавить в уравнение мно­житель e^–γl = e^{–γ nr}.

Функция (3.5) дает отклонение от положения равновесия точ­ки с радиусом-вектором r в момент времени l (r оп­ределяет равновесное положение точки). Чтобы перейти от радиу­са-вектора точки к ее координатам х , у , z , выразим скалярное про­изведение kr через компоненты векторов по координатным осям:

kr = k_xx + k_yy + k_zz .

(3.7)

(3.6)

Тогда уравнение плоской волны примет вид

x (x , y , z, t ) = a cos ( wt − k_xx – k_yy – k_zz + a )

2π

λ

cos γ.

2π

λ

cos β,

cos α,

2π

Здесь

λ

Функция (3.6) дает отклонение точки с координатами х , у , z в мо­мент времени t. В случае, когда n совпадает с e_x, k_x = k, k_y = k_z = 0 (и уравнение (3.6) переходит в (2.8). Очень удобна запись урав­нения плоской волны в виде

x = Re ae^{i (ωt-kr+α)}

(3.10)

(3.8)

(3.9)

Знак Re обычно опускают, подразумевая, что берется только вещественная часть соответствующего выражения. Кроме того, вводят комплексное число

â = ae ^iα,

которое называют комплексной амплитудой. Модуль этого числа дает амплитуду, а аргумент – начальную фазу волны Таким образом, уравнение плоской незатухающей волны мож­но представить в виде

x = â e^{i (ωt-kr)}

Преимущества такой записи выяснятся в дальнейшем.

 

Волновое уравнение

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по координатам и времени от функции (3.6), описывающей плос­кую волну. Продифференцировав эту функцию дважды по каждой из переменных, получим

 

Сложение производных по координатам дает

 

 

Сопоставив эту сумму с производной по времени и заменив k²/ω² через 1/υ² (см. (2.7)), получим уравнение

 

 

Это и есть волновое уравнение. Его можно записать в виде

	υ

 

где Δ – оператор Лапласа.

Легко убедиться в том, что волновому уравнению удовлетворя­ет не только функция (3.6), но и любая функция вида

	f(x, y, z, t)=f(wt − kxx – kyy – kzz + a)

 

 

Действительно, обозначив выражение, стоящее в скобках в правой части (4.4), через ς, имеем

 

 

Аналогично

 

 

Подстановка выражений (4.5) и (4.6) в уравнение (4.2) приво­дит к выводу, что функция (4.4) удовлетворяет волновому урав­нению, если положить υ=ω/k.

Всякая функция, удовлетворяющая уравнению вида (4.2), описывает некоторую волну, причем корень квадратный из вели­чины, обратной коэффициенту при                , дает фазовую скорость этой волны.

Отметим, что для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х , волновое уравнение имеет вид

	υ

 

 

---

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 406; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!