Диференціювання неявної функції та функції, заданої параметрично
Щоб продиференціювати функцію, яка задається виразом , необхідно цей вираз продиференціювати по х, вважаючи у функцією від х, і з одержаної рівності знайти .
Похідна функції
яка задана параметрично, обчислюється за формулою:
за умови, що диференційовні в точці функції, причому .
Приклад 1. Знайти похідну функції, яка задана неявно рівнянням .
Розв’язання. Диференціюючи, дістанемо:
відкіля
Приклад 2. Знайти похідну функції, яка задана неявно
.
Розв’язання. Диференціюючи, маємо
З цього рівняння знаходимо :
Приклад 3. Знайти , якщо .
Розв’язання.
Приклад 4. Знайти в точці похідну функції, яка задана параметрично:
Розв’язання. Застосовуючи формулу обчислення похідної функції, яка задана параметрично, маємо:
Таким чином,
Приклад 5. Знайти , якщо .
Розв’язання.
Тренувальні вправи
Знайти похідні функцій, які задані неявно:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. Знайти в точці М (1, 1), якщо .
10. Знайти при , якщо .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19*. .
20. .
Знайти похідну функції, яка задана параметрично:
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37*.
Логарифмічне диференціювання
Якщо маємо громіздкі вирази, що містять добутки, частки, степені, то перш, ніж знаходити похідну, вираз рекомендується прологарифмувати.
|
|
Приклад 1. Знайти похідну функції .
Розв’язання. Прологарифмуємо функцію:
Знайдемо похідну від лівої та правої частин:
звідки
Такий же спосіб використається для знаходження похідної так званої степенево-показникової функції
.
Приклад 2. Продиференціювати функцію:
Розв’язання. Цю функцію можна диференціювати як частку двох функцій, але це приведе до складних обчислень. Тому краще спочатку прологарифмувати функцію, а потім продиференціювати.
Дійсно,
Диференціюючи (у розглядаємо як складену функцію), маємо:
Тоді
Геометричний та фізичний зміст похідної
Похідна, особливо її геометричний та фізичний зміст, широко застосовуються при розв’язанні цілого ряду задач в різних галузях діяльності.
Геометричний зміст похідної
Похідна функції для кожного значення х дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка даної функції у відповідній точці, тобто
,
де – кут, який утворює дотична до графіка функції в точці з додатним напрямком осі .
На основі геометричного змісту похідної рівняння дотичної до графіка функції записується таким чином:
Якщо неперервна функція в точці має нескінченну похідну, тоді дотичною до графіка функції в точці буде пряма .
|
|
Для нормалі, тобто прямої, що проходить через точку дотику , перпендикулярно до дотичної (пряма ), рівняння має вигляд
У випадку нормаллю буде пряма ; якщо функція в точці має нескінченну похідну, тоді нормаллю до кривої буде пряма .
У деяких задачах потрібно знайти кут між кривими та в їх точці перетинання.
Кутом між кривими вважається величина кута між дотичними до даних кривих, в їх точці перетинання; обчислюється за формулою:
В задачах на застосування геометричного змісту похідної часто зустрічаються також такі поняття, як відрізок дотичної, відрізок нормалі, піддотична, піднормаль, довжини яких визначають за формулами:
а) відрізок дотичної :
б) відрізок нормалі :
в) піддотична ТК:
г) піднормаль :
Приклад 1. Знайти, під яким кутом функція перетинає вісь абсцис.
Розв’язання. Косинусоїда перетинає вісь абсцис в точках . Якщо , тоді
,
тобто кутовий коефіцієнт дотичної до косинусоїди дорівнює –1. Це означає, що в точках графік функції перетинає вісь абсцис під кутом .
Якщо , тоді . Тому в цих точках косинусоїда перетинає вісь під кутом .
Приклад 2. Записати рівняння дотичної до кривої
|
|
в точці .
Розв’язання. Згідно з формулою рівняння дотичної до графіку функції, для того, щоб скласти рівняння дотичної, треба обчислити значення функції та похідної функції в точці :
Отже, отримаємо рівняння дотичної:
або
Приклад 3. Знайти рівняння нормалі до кривої, яка задана параметрично: в точці .
Розв’язання. Рівняння нормалі має вигляд:
Значення та відповідають значенню :
Похідну знайдемо за формулою похідної, заданої параметрично:
.
В точці маємо . Таким чином, рівняння нормалі записується у вигляді
, або .
Приклад 4. Знайти рівняння дотичної й нормалі до кривої у точці .
Розв’язання. Значення похідної даної функції в точці А:
Рівняння дотичної:
Рівняння нормалі:
Фізичний зміст похідної
Під фізичним змістом похідної розуміють швидкість зміни функції в даній точці. Наприклад:
1) при русі тіла швидкість в даний момент часу є похідною від шляху :
2) при обертовому русі твердого тіла навколо осі кутова швидкість в даний момент часу є похідною від кута повороту :
3) при охолодженні тіла швидкість охолодження в момент часу є похідною від температури
4) теплоємність С для даної температури є похідною від кількості тепла :
|
|
5) при нагріванні стержня коефіцієнт лінійного розширення при даному значенні температури є похідною від довжини :
Приклад 1. Знайти швидкість точки, рух якої описується рівнянням , наприкінці третьої та десятої секунд.
Розв’язання. Швидкість визначається за формулою
Коли , маємо (м/с).
Коли , маємо (м/с).
Приклад 2. Знайти швидкість точки, яка рухається по колу радіуса , оббігаючи коло за час .
Розв’язання. Нехай точка починає рухатися з положення А проти годинникової стрілки. Нехай за час вона дійшла до положення .
Кут між її радіусом-вектором та віссю дорівнює в цей час , тому що точка проходить кут за час Т, кут – за одиницю часу і кут – за час .
Отже, в будь-який момент положення точки можна визначити через її дві координати:
Компоненти швидкості знаходимо з таких обчислень:
Тоді швидкість точки буде:
Диференціал функції
Диференціал функції, як і похідна, застосовується при розв’язанні ряду практичних задач, зокрема в наближених обчисленнях.
Диференціалом функції в точці х називається головна (лінійна відносно ) частина приросту диференційовної в точці х функції.
Диференціал дорівнює добутку похідної функції в точці х на приріст незалежної змінної, тобто
Зокрема, диференціалом незалежної змінної є ії приріст:
Тоді формула диференціала має вигляд
відкіля
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 356; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!