Властивості нескінченно малих

1. Функцію можна подати у вигляді , де – стале число; — нескінченно мала при , тоді і тільки тоді, коли .

2. Якщо , то .

3. Алгебраїчна сума довільного скінченого числа нескінченно малих функцій є функція нескінченно мала (у самому граничному переході).

4. Добуток нескінченно малої на обмежену функцію є величина нескінченно мала.

5. Добуток скінченого числа нескінченно малих є величина нескінченно мала.

6. Добуток нескінченно малої на постійну є величина нескінченно мала.

7. Частка від ділення нескінченно малої при на функцію, границя якої відмінна від нуля, тобто , є величина нескінченно мала.

При обчисленні границь необхідно знати такі теореми:

3. Якщо і існують, то

4. Для всіх основних елементарних функцій у довільній точці їх визначення справедлива рівність

5. Якщо то

якщо то

6. Якщо то

7. Якщо

то

8. Якщо при , то

9. Якщо при , то

10. Якщо змінна величина зростаюча при і обмежена при , то вона має границю .

Порівняння двох нескінченно малих функцій одного й того самого аргументу х при характеризується наступними означеннями й теоремами.

Нескінченно малі функції і називаються нескінченно малими одного порядку при , якщо дорівнює кінцевому числу .

Якщо , то називається нескінченно малою більш високого порядку в порівнянні з .

Якщо , то і називаються еквівалентними нескінченно малими, й пишуть .

Якщо то називається нескін-ченно малою порядку Р у порівнянні з нескінченно малою .

Теореми про еквівалентні нескінчено малі

1. Границя відношення двох нескінченно малих функцій не зміниться, якщо ці нескінченно малі замінити величинами, їм екві-валентними.

2. Щоб дві нескінченно малі функції були еквівалентними, необхідно й достатньо, щоб їх різниця була нескінченно малою більш високого порядку в порівнянні з кожною з них.

Якщо при , то справедливі такі еквівалентності:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

При обчисленні границь найчастіше використовують деякі важливі формули:

— перша важлива границя;

; — друга важлива границя,

де е — ірраціональне число, е = 2,718281...

Наслідки з важливих границь

1. 2.

3. 4.

5. 6.

Розкриття невизначеностей

Обчислення границь зводиться до підстановки в даний вираз граничного значення аргументу. Якщо при цьому одержуємо неви-значені вирази вигляду то знаходження границь у цих випадках називається розкриттям невизначеності.

Для розкриття невизначеності, перш ніж перейти до границі, необхідно перетворити даний вираз.

Невизначеність виду

Щоб розкрити невизначеність виду , треба чисельник та знаменник дробу поділити почленно на найвищий степінь змінної.

Приклад 1. Знайти границю:

а) .

б) .

в) .

г)

Невизначеність виду

Якщо чисельник та знаменник дробу поліном, що перетворюється в нуль при , для розкриття невизначеності чисельник та знаменник треба поділити на .

Приклад 3. Обчислити:

а) .

б)

Приклад 4. Знайти границі:

Розв’язання. Безпосередня підстановка числа під знак границі приводить до невизначеності 0/0. Перетворимо вираз, розклавши чисельник і знаменник на множники і скоротивши на :