ГЛАВА II . ЗАДАЧА УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТРУБЫ
Механическая постановка задачи
Рассмотрим упругопластическое состояние трубы радиусов 
, находящейся под действием внутреннего давления 
, в случае плоской деформации.
Цель данной задачи – определить выражения для компонент напряжений, скоростей перемещений и скоростей деформации.
Методом решения задачи является метод малого параметра, в качестве которого выбирается величина 
, характеризующая возмущения границ трубы.
Приведем основные обозначения:
- компоненты напряжений,
- компоненты деформаций,
- радиальное и тангенциальное перемещения,
- внутренний и внешний радиусы осесимметричной трубы,
- полярный радиус,
- полярный угол,
- полярный радиус границы пластической зоны,
- модуль сдвига.
Индекс 
указывает на принадлежность компонента к пластической зоне, индекс 
- к упругой.
Все величины, имеющие размерность напряжения, отнесём к величине предела текучести 
, величины, имеющие размерность длины, - к внешнему радиусу 
.
Обозначим:
- внешний радиус;
Математическая постановка задачи
Предположим, что искомое решение зависит от некоторого параметра 
. Будем искать решение в виде рядов по степеням этого параметра
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
. (2.2.1)
Линеаризация по параметру заключается в разложении всех исходных соотношений: уравнений равновесия, граничных условий и т.п. в ряды по этому параметру. Далее выделяются члены разложения при одинаковых степенях этого параметра, которые определяют систему уравнений, позволяющую развить метод последовательных приближений, если решение при 
является известным.
|
|
|
Уравнения равновесия линейны относительно компонент напряжений, поэтому они имеют место для любого приближения. Соотношения связи между компонентами перемещений и деформаций также линейны относительно компонент деформаций и перемещений, поэтому они сохраняют свой вид для любого приближения.
Рассмотрим граничные условия в напряжениях. Ограничимся случаем, когда граничные условия заданы на контуре 
в плоскости двух переменных 
, 
. Пусть на границе заданы нормальные и касательные усилия
, 
на . (2.2.2)
Уравнение границы представим в виде
, 
. (2.2.3)
Подставляя в (2.2.2) разложение и учитывая, что для компонент 
, 
справедливы разложения, аналогичные (2.2.1), получим при 
разложение
(2.2.4)
Ограничиваясь четвертым приближением, из (2.2.4) получим, что при имеет место
(2.2.5)
Совершенно аналогично записываются выражения линеаризованных граничных условий для 
: чтобы получить линеаризованные граничные условия для , надо в (2.2.5) заменить 
на .
|
|
|
В линеаризованных задачах теории пластичности необходимо уметь записывать граничные условия (2.2.2) через компоненты основной системы координат. Для этого следует учесть угол поворота напряжений при переносе их на исходную окружность ( 
).
Рассмотрим рис 1.8. Угол 
, образован нормалью к контуру 
;
- угол поворота напряжений при переносе их на исходный контур. Из известных формул теории упругости будем иметь
(2.2.6)
Если уравнение границы тела 
записать в виде 
, то
(2.2.7)
Согласно (2.2.3) можно записать
(2.2.8)
Учитывая, что
(2.2.9)
Из (2.2.9), (2.2.7), (2.2.8) получим
(2.2.10)
Обозначая 
, найдем
(2.2.11)
(2.2.12)
Используя (2.2.1), (2.2.5), (2.2.6), (2.2.11), (2.2.12), получим искомые линеаризованные граничные условия: при должно иметь место
(2.2.13)
Перейдем к условиям сопряжения решений. На 
- границе упругой и пластической областей, должно иметь место
(2.2.14)
Уравнение контура 
запишется в виде
(2.2.15)
Учитывая разложение (2.2.1), подставляя в (2.2.14) выражение (2.2.15), получим исходное линеаризованное условие сопряжения. Очевидно, что условия сопряжения могут быть получены из (2.2.5), если заключить левые части в квадратные скобки, поменять в них 
на 
, …, а 
на 
.
|
|
|
Выпишем условия сопряжения для компоненты 
:
(2.2.16)
Условие сопряжения для компонент 
имеют вид, вполне аналогичный (2.2.16).
Рассмотрим граничные условия в перемещениях:
на 
.
Уравнение границы 
представим в виде (2.2.3). Учитывая, что для компонент 
справедливы разложения, аналогичные (2.2.3), получим при разложения, аналогичные (2.2.4), (2.2.5).
Распишем основные соотношения, используемые для решения задачи:
Уравнения равновесия
(2.2.17)
Формулы Коши
(2.2.18)
Условие пластичности
(2.2.19)
Закон Гука
(2.2.20)
Граничные условия:
, 
,
при 
; (2.2.21)
при 
;
при 
.
Решение будем искать в виде:
(2.2.22)
Уравнения равновесия (2.2.17) удовлетворяются, если ввести некоторую функцию 
, называемую функцией напряжений. Это функция 
связана с компонентами напряжения следующими зависимостями:
(2.2.23)
Решение задачи
Осесимметричное (невозмущенное) состояние
Пластичность
Определим компоненты напряжений в пластичной области 
.
|
|
|
Так как материал трубы считается несжимаемым, то имеет место условие несжимаемости:
. (2.3.1)
Труба осесимметрическая, следовательно компоненты и напряжения, и перемещения от 
не зависят:
, 
,
, 
.
Условие пластичности (2.2.19) в начальном состоянии имеет вид:
. (2.3.2)
Из условий равновесий (2.2.17) вытекает:
.
Получили дифференциальное уравнение:
.
Решим:
Из граничных условий (2.2.21) имеем
.
Тогда
(2.3.3)
Определим компоненты перемещений.
Из формул Коши (2.2.18) следует:
При 
из граничных условий (2.2.21) следует
Упругость
Найдем компоненты деформации в упругой области 
.
Из закона Гука (2.2.20) вытекает
(2.3.4)
Формулы Коши (2.2.18) примут вид:
Из уравнений равновесий (2.2.17):
Решим:
Из граничных условий (2.2.21) 
при
Тогда
(2.3.5)
Радиус пластической зоны
При 
и 
(2.3.6)
Получили неявное уравнение для нахождения радиуса пластической зоны 
.
Возмущенное состояние
Пластичность
Решение будем искать в виде:
где 
(2.3.7)
Из условия пластичности (2.3.7) следует:
.
.
.
Формулы (2.2.23) примут вид:
(2.3.8)
Из условия пластичности (2.2.19) и формул (2.3.8) получим:
. 
Функцию 
будем искать в виде:
.
Подставим
Пусть
Тогда
Следовательно
Или
.
Тогда функция 
примет вид:
. (2.3.9)
Найдем частные производные по 
и по 
.
По формулам (2.3.8) при подстановке имеем:
Из этих соотношений найдём 
Составим систему уравнений и решим её.
Введём обозначения: 
(2.3.11)
Упругость
Закон Гука:
(2.3.12)
Формулы Коши:
(2.3.13)
Уравнения равновесия:
(2.3.14)
Условие несжимаемости:
(2.3.15)
Закон Гука можно переписать в виде:
Сложим уравнения системы:
(2.3.12)
можно записать так:
(2.3.16)
Условие несжимаемости (2.3.15) в силу (2.3.13) примет вид:
Положим
Тогда (2.3.16) запишется в виде:
(2.3.17)
Подставим (2.3.17) в (2.3.14):
Первое выражение продифференцируем по 
, второе - по 
, вычтем из первого выражения второе и разделим на 
. Тогда
Умножим на 
.
Функцию 
будем искать в виде:
Подставим в (2.3.18) и разделим на 
.
Решение будем искать в виде 
.
Или
Тогда
Тогда компоненты напряжений имеют вид:
Получили систему уравнений для нахождения коэффициентов 
Решим её методом Крамера.
Тогда
Тогда
Тогда
Тогда
Тогда
Найдём выражения для компонент деформации.
ВЫВОДЫ
Задача решена путём приведения к линеаризованному виду. На первом этапе получено решение осесимметричного (невозмущенного) состояния трубы в напряжениях, деформациях и перемещениях – формулы(2.3.3), (2.3.5), а также неоднородное нелинейное уравнение для нахождения радиуса пластической зоны (2.3.6).
Исследуя осесимметричную деформацию трубы, получено решение задачи в общем случае (n>1). Решение записано в виде (2.3.10), где коэффициенты имеют вид (2.3.11) – это в пластической зоне. В упругой зоне – это формулы (2.3.20), а коэффициенты – (2.3.21).
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. – М.: Высшая школа, 1990.– 400 с.
2. Бородин Н.А. Сопротивление материалов. – М.: Машиностроение, 1992. – 224 с.
3. Вульман С.А. О решении осесимметричных упругопластических задач методом малого параметра. – Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1969, №3.
4. Ершов Л.В., Ивлев Д.Д. Упругопластическое состояние конической трубы, находящейся под действием внутреннего давления. – Вестник МГУ, 1957, №2.
5. Ершов Л.В., Ивлев Д.Д. Упругопластическое состояние эллиптической трубы, находящейся под действием внутреннего давления. – Изв. АН СССР, 1957, №9.
6. Ивлев Д.Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела. – М.:Наука, 1978. – 208 с.
7. Ивлев Д.Д. Приближенное решение упругопластических задач теории идеальной пластичности. – Докл. АН СССР, 1957, т.113, №2.
8. Ивлев Д.Д. Приближенное решение плоских упругопластических задач теории идеальной пластичности. – Вестник МГУ, 1957, №5.
9. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. – М.: Высшее образование, 1982. – 264 с.
10. Тимошенко С.П. , Гудгер Дж. Теория упругости. – М.: Наука, 1979. – 560 с.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 203; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!