Выбор метода решения оптимизационной задачи
Nbsp; МИНОБРНАУКИ РОССИИ ____________________________________ Санкт–Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» _____________________________________ В. А. ЗУЕВ А. С. ВЕТЧИНКИН
ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Методические указания к курсовому расчету
Санкт–Петербург
2013
Курсовой расчет предназначен для ознакомления студентов с процессом проектирования алгоритма управления динамическим объектом на примере водоизмещающего судна.
Как известно [1] проектирование алгоритма управления состоит из следующих этапов:
- математическое описание объекта управления
- математическая формулировка цели управления
- выбор метода решения поставленной оптимизационной задачи
- оценка вариантов решения задачи
Описание объекта управления
Динамика судна, как и любого физического тела, подчиняется второму закону Ньютона. Силы и моменты, действующие на судно, в свою очередь, описываются законами гидродинамики. Соотношения между кинематическими параметрами движения ( 
- угол рыскания, 
- угловая скорость рыскания, 
- угол дрейфа, 
- угол перекладки руля) показаны на рисунке 1.
 |
Рис. 1
В общем случае, зависимость сил и моментов, действующих на судно от параметров движения носит нелинейный характер. Однако предположение о малых значениях угла дрейфа и угловой скорости рыскания и постоянстве линейной скорости движения судна позволяют линеаризовать эти зависимости и описать динамику в виде системы линейных дифференциальных уравнений относительно углов рыскания, дрейфа, угловой скорости рыскания, угла перекладки руля и одного нелинейного соотношения, отражающего тот факт, что руль не может поворачиваться на произвольный угол при произвольном сигнале управления. Для большинства современных судов максимальный угол перекладки руля равен 35°. Упомянутые соотношения, записанные относительно нормированного времени 
, имеют вид (1). При записи (1), кроме предположений о малости углов не учитывалось действие на судно ветро-волновых возмущений. т.е. математическая модель (1) соответствует движению судна на тихой воде.
|
|
|
(1)
где: 
- относительная скорость рыскания; - угол дрейфа; 
- угол перекладки руля.
Математическая модель судна в натуральном времени записывается в виде (2).
(2)
Соотношение между параметрами (1) и (2) имеет вид (3).
(3)
|
|
|
Значение нормирующей частоты 
вычисляется по данным таблицы П 1.1, содержащей варианты параметров математических моделей судов.
Математическая формулировка цели управления
При выполнении настоящей курсовой работы требуется спроектировать алгоритм управления рулем судна, который обеспечивает минимальное время устранения начального значения угла рыскания равного 10°.
Выбор метода решения оптимизационной задачи
В рамках настоящего курсового расчета студентам предлагается выполнить проектирование алгоритма управления четырьмя методами:
1. два прямых метода:
1.1 метод, основанный на теореме об N интервалах
1.2 метод параметрической оптимизации линейного закона управления
2. один из косвенных методов:
2.1 минимизация интегрального квадратичного функционала
2.2 метод стандартного полинома
Метод, основанный на теореме об N интервалах заключается в определении N-1 момента переключения знака управляющего воздействия и момента выключения управления, таких, которые обеспечивают перевод судна из начального состояния 
, 
, 
в конечное состояние 
, , к моменту времени выключения управления, где N - порядок дифференциального уравнения (или системы уравнений), описывающего объект управления.
|
|
|
В рассматриваемом случае теорема об N интервалах применима, т.к. система уравнений, описывающих судно имеет вещественные корни.
Задачу определения моментов переключения 
и момента выключения 
предлагается решать поисковым методом используя функцию FMINSEARCH из пакета MATLAB.
При выполнении расчетов необходимо учесть, что поисковые методы не могут обеспечить точное решение за конечное количество шагов. В связи с этим целесообразно смягчить поставленную задачу, потребовав минимизировать отклонение состояния объекта от требуемого в момент выключения управления.
Известно, что результат, получаемый с помощью поисковых методов, может существенно зависеть от выбора начальной точки поиска. В связи с этим при проектировании алгоритма управления на основе теоремы об N интервалах рекомендуется выполнять мероприятия, направленные на определение начальной комбинации искомых параметров.
Поскольку уравнения по угловой скорости рыскания и углу дрейфа для рассматриваемого объекта управления не зависят от угла рыскания, то первое приближение для набора искомых параметров можно определить с помощью решения промежуточной задачи пониженного порядка.
|
|
|
В качестве промежуточной удобно рассмотреть задачу перевода судна из состояния 
, 
в состояние , за счет выполнения двух переключений знака угла перекладки руля.
При выборе произвольного значения для первого момента переключения, соответствующие значения для второго переключения и момента выключения могут быть определены графическим методом на основе построения линии переключения в плоскости 
. В результате решения промежуточной задачи определяется набор параметров 
, которые соответствуют переводу судна из заданного начального состояния в состояние промежуточного финиша 
, которое отличается от заданного конечного состояния 
. Определение окончательного набора параметров может быть организовано в виде итеративной процедуры поиска минимума функции 
На каждом шаге итеративной процедуры в качестве начального набора параметров 
при поиске функции минимума 
используется результат предыдущего шага, а значение 
систематически приближается к заданному конечному значению угла рыскания 
В качестве примера применения теоремы об N интервалах рассмотрим задачу, приведенную в Приложении 4.
Метод параметрической оптимизации линейного закона управления заключается в поиске таких значений параметров линейного закона управления, которые обеспечивают перевод объекта управления в заданное состояние за минимальное время и последующее удержание объекта в этом состоянии.
Одним из достоинств этого метода является возможность включения в закон управления только тех переменных состояния, которые соответствуют достаточно точно измеряемым физическим величинам. В случае водоизмещающего судна наиболее точно из принятых в рассмотрение физических величин измеряются угол рыскания и угловая скорость рыскания.
С математической точки зрения задача параметрической оптимизации заключается в том, чтобы для алгоритма управления 
найти такие значения параметров 
и 
при которых время перевода судна из начальной точки в конечную происходит за минимальное время.
Поскольку в рассматриваемом случае изменение состояния судна вблизи целевой точки носит экспоненциальный характер, то теоретически время перехода в целевое состояние не ограничено. В связи с этим предлагается принимать за момент окончания процесса управления момент времени, после которого абсолютное значение угла рыскания не превышает 5% от начального значения
Очевидно, что для решения этой задачи удобно использовать MATLAB функцию FMINSEARCH, которая возвращает искомые значения параметров алгоритма управления в виде вектора, а в процессе поиска вызывает процедуру определения времени переходного процесса, соответствующего текущим значениям искомых параметров. В свою очередь реализация процедуры определения времени переходного процесса может быть основана на применении MATLAB функции ODE45, обеспечивающей получение решения дифференциальных уравнений замкнутой системы управления в виде массива значений 
. Кроме вызова функции ODE45 для определения длительности переходного процесса необходимо выполнить обработку массива значений 
. Примеры MATLAB-скриптов, выполняющих операцию определения времени переходного процесса рассмотрены в методических указаниях к лабораторным работам по дисциплине «Проектирование оптимальных систем управления».
Минимизация интегрального квадратичного функционала
в общем случае не эквивалентна минимизации времени переходного процесса. Однако можно показать, что переходные процессы в системах, оптимальных по интегральным квадратичным функционалам, ускоряются при увеличении значений весовых множителей. Следовательно, можно приблизиться к задаче максимального быстродействия, решив задачу поиска такой величины весового множителя при котором практическое время переходного процесса имеет минимальное значение.
Для вычисления параметров алгоритма управления целесообразно использовать MATLAB функцию LQR.
В том случае, когда объект управления описывается линейным матричным дифференциальным уравнением, имеющим вид:
где: 
- вектор состояния объекта управления; 
- вектор управляющих воздействий, а функционал качества имеет вид:
где 
и 
- весовые матрицы, и алгоритм управления имеет вид:
где: 
- искомая матрица параметров алгоритма управления, которая вычисляется путем выполнения следующей строки MATLAB скрипта:
Общий алгоритм решения задачи синтеза алгоритма управления, основанный на минимизации квадратичного функционала является процедурой одномерного поиска величины весового множителя и может быть реализован с помощью MATLAB функции FMINSEARCH.
Для обеспечения решения задачи FMINSEARCH должна ссылаться на функцию, которая по заданному значению весового множителя определяет время переходного процесса. Для вычисления времени переходного процесса первоначально с помощью LQR определяются параметры линейного алгоритма управления, соответствующие текущему значению весового множителя, затем формируется математическая модель замкнутой системы и с помощью ODE45 выполняется расчет массива значений, соответствующих переходному процессу по углу рыскания. Искомое значение времени переходного процесса определяется на основе обработки массива значений угла рыскания.
Следует отметить, что на этапе вычисления параметров алгоритма управления предполагается, что движение судна описывается полностью линейными уравнениями, а на этапе вычисления времени переходного процесса производится учет ограничения на величину перекладки руля.
Подобно минимизации интегрального квадратичного функционала задача назначения заданного расположения собственных чисел системы управления (задача модального управления) не эквивалентна задаче максимального быстродействия. Однако и в этом случае возможно приближение к основной задаче за счет поиска соответствующего значения нормирующей частоты выбранного стандартного полинома.
Таким образом, задача модального управления рассматривается как задача поиска такого значения нормирующей частоты выбранного стандартного полинома, которая соответствует минимуму времени переходного процесса по углу рыскания. Эта задача является задачей одномерной оптимизации и может быть решена с помощью MATLAB функции FMINSEARCH.
Для обеспечения решения задачи FMINSEARCH должна ссылаться на функцию, которая вычисляет время переходного процесса, соответствующее текущему значению нормирующей частоты стандартного полинома. Для вычисления времени переходного процесса первоначально вычисляются коэффициенты стандартного полинома, соответствующие текущему значению нормирующей частоты. Затем вычисляются корни полученного полинома, которые рассматриваются в дальнейшем как желаемые корни замкнутой системы управления. Операция вычисления корней может быть выполнена с помощью MATLAB функции ROOTS. Затем по известной математической модели объекта управления и желаемым корням характеристического уравнения замкнутой системы вычисляются параметры линейного алгоритма управления. Последняя операция может быть выполнена с помощью MATLAB функции ACKER. На последнем этапе с помощью ODE45 вычисляется массив значений угла рыскания и путем обработки массива значений угла рыскания определяется время переходного процесса.
Поскольку задача проектирования решается относительно приближенной математической модели объекта управления, представляется целесообразным проанализировать чувствительность полученных различными методами алгоритмов управления к изменению параметров объекта управления. Эту операцию предлагается выполнить методом моделирования.
Последним этапом курсового расчета является выбор одного из полученных алгоритмов для практической реализации путем сравнения по следующим показателям:
- степень достижения поставленной цели (время переходного процесса)
- сложность задач, решаемых на этапе проектирования
- сложность реализации алгоритма управления
- чувствительность основного показателя качества (времени переходного процесса) к изменению параметров математической модели объекта управления.
Дата добавления: 2019-03-09; просмотров: 141; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!