Принадлежность точки поверхности
Мы выше уже отметили, что поверхность может считаться заданной в том случае, если мы в состоянии однозначно ответить на вопрос - принадлежит ли заданная точка этой поверхности или нет. При определении принадлежности точки данной поверхности следует исходить из следующего правила.
Точка принадлежит поверхности в том случае, если она лежит на линии, принадлежащей этой поверхности.
Как видим, это правило ничем не отличается от правила, которым мы определяли принадлежность точки плоскости (см. лекцию № 3). Следует только иметь в виду, что на плоскости в качестве такой линии мы всегда проводили прямую. При определении принадлежности точки кривой поверхности в качестве линии следует брать, если это возможно, простейшую - прямую или окружность. Если прямую или окружность на поверхности провести нельзя, следует строить более сложную линию.
Рассмотрим примеры. Пусть нам даны фронтальные проекции точек А, принадлежащих цилиндрической (рис. 10.1) и конической (рис.10.2) поверхностям. Требуется отыскать их горизонтальные проекции.
Для того, чтобы отыскать горизонтальные проекции точек, мы, в том и другом случаях, через точку А", в соответствии с требованием определителя, проводим фронтальную проекцию образующей - l", на которой должна лежать точка А. Эта образующая пересечет направляющую m в точке 1. Зная 1", находим 1', через которую проводим горизонтальную проекцию образующей - l '. Зная положение образующей, находим горизонтальную проекцию точки - А'.
|
|
|
Построив точку А, принадлежащую поверхности, мы можем утверждать, что данная поверхность на чертеже задана.
Отметим, что точка В не принадлежит поверхности цилиндра (рис.10.1), т.к. она не принадлежит образующей l 2 этого цилиндра.
При рассмотрении последующих разделов настоящей лекции мы еще не раз остановимся на вопросе принадлежности точки поверхности.
10.4
Очерк поверхности
Задание поверхности ее определителем не всегда обеспечивает наглядность чертежа, особенно необходимую при начальном изучении начертательной геометрии. Для обеспечения такой наглядности мы будем, как правило, задавать поверхность на чертеже ее очерком (очертанием).
 |  |
а б
Рис. 10.3
На рис.10.3,а представлена круговая коническая поверхность, заданная осью конуса i и образующей l, вращающейся вокруг прямой i. На рис.10.3,б та же поверхность задана своим очерком. Здесь коническая поверхность ограничена основанием конуса, за данного окружностью m . В обоих случаях точка А принадлежит поверхности конуса, т.к. она лежит на образующей l , принадлежащей поверхности конуса. Сравнивая эти два чертежа, видим, что с точки зрения наглядности изображения последний чертеж (рис.10.3,б) имеет несомненные преимущества перед первым, хотя с точки зрения определенности задания поверхности оба чертежа равноценны, т.к. в обоих случаях мы можем построить любое положение образующей конуса и, следовательно, решать любые относящиеся к его поверхности задачи.
|
|
|
Полный контур видимости конуса (рис.10.3,б) наносят на эпюр лишь для наглядности, чтобы подчеркнуть, что за пределами этого контура нет точек, принадлежащих конусу.
При этом следует помнить, что с точки зрения полноты изображения, задание поверхности ее очерком является графически избыточным, т.е. в целях наглядности мы вносим в эти изображения элементы, которые в геометрическом смысле являются излишними.
10.5
Второе замечание: задание поверхности ее очерком удобно и целесообразно лишь в том случае когда поверхность является замкнутой, а ее ось является прямой частного положения, лучше всего - проецирующей, т.е. прямой, перпендикулярной одной из плоскостей проекций.
+ + +
Мир поверхностей чрезвычайно широк и многообразен. Классификация их сложна и громоздка. Классификация поверхностей достаточно подробно изложена в учебнике С.А.Фролова (стр. 57-92). На лекциях мы остановимся лишь на поверхностях, нашедших наиболее широкое применение в технике. Мы рассмотрим только следующие поверхности:
|
|
|
а) цилиндрические,
б) конические,
в) вращения,
г) второго порядка.
Цилиндрическая поверхность
Образование цилиндрической поверхности мы уже рассмотрели. Цилиндрическая поверхность может быть неограниченно продолжена в обе стороны по направлению её образующих. На практике при построении изображений мы имеем дело всегда с ограниченными отрезками цилиндрической поверхности. Часть цилиндрической поверхности, заключенная между двумя плоскими параллельными, сечениями, называется, как известно из стереометрии, цилиндром, а сами сечения - его основаниями.
Сечение цилиндрической поверхности плоскостью, перпендикулярной к его образующим, называется нормальным.
В зависимости от формы нормального течения цилиндрические поверхности получают дополнительные, характеризующие их наименования. Если нормальным сечением является окружность, то цилиндр называют круговым. Только в круговой цилиндр можно вписать сферу. Поэтому круговую цилиндрическую поверхность определяют еще как геометрическое место параллельных прямых, касательных к сфере.
|
|
|
Если нормальное сечение есть эллипс, цилиндр называют эллиптическим, если парабола - параболическим, гипербола - гиперболическим.
10.6
Если нормальное сечение - геометрически неопределенная кривая, будем иметь цилиндр общего вида.
Параболический и гиперболический цилиндры являются разомкнутыми, или открытыми, поверхностями.
Если за основание цилиндра принимается его нормальное сечение, цилиндр называют прямым, если за основание принято какое-либо косое сечение, то цилиндр называют наклонным.
Цилиндрическая поверхность, как и плоскость, может быть проецирующей.
Проецирующей цилиндрической поверхностью мы будем называть такую цилиндрическую поверхность, образующие которой перпендикулярны к одной из плоскостей проекций.
 |  |
а б
Рис. 10.4
На рис.10.4,а показана горизонтально-проецирующая цилиндрическая поверхность общего вида j, образующие которой перпендикулярны к горизонтальной плоскости проекций Н.
На рис.10.4,б показано принятое изображение такой цилиндрической поверхности на комплексном чертеже.
На рис 10.5 изображен эллиптический цилиндр, за основания которого приняты наклонные сечения, представляющие собой окружности. Такой цилиндр иногда неправильно называют наклонным круговым цилиндром. Этот цилиндр не может быть круговым, т.к. в него нельзя вписать сферу.
Решим еще раз задачу на принадлежность точки поверхности. Пусть нам опять дана фронтальная проекция точки А, принадлежащей поверхности данного эллиптического цилиндра. Требуется найти горизонтальную проекцию точки А.
10.7
Рис. 10.5
Решить данную задачу (рис.10.5) можно двумя путями.
1. Исходя из условия, что точка А лежит на принадлежащей цилиндру образующей l, которая пересекает основание цилиндра в точке 1.
2. Исходя из условия, что точка А лежит на принадлежащей цилиндру окружности m, центр которой лежит на оси цилиндра.
Оба решения, естественно, дадут нам одно и то же положение горизонтальной проекции точки А.
10.6. Коническая поверхность
|
10.8
кой поверхности такой плоскостью может быть принято за основание конуса. Понятие о нормальном сечении в том виде, как мы установили его для цилиндрических поверхностей, неприменимо к коническим поверхностям, так как невозможно пересечь коническую поверхность перпендикулярно ко всем ее образующим.
Условимся называть нормальным сечением конической поверхности сечение, перпендикулярное к оси поверхности. Осью же конической поверхности будем называть линию пересечения ее плоскостей симметрии. Отсюда следует, что не все конические поверхности имеют ось, а только такие, у которых есть по крайней мере две плоскости симметрии. На рис.10.7 приведен конус не имеющий плоскостей симметрии и, следовательно, оси. К таким коническим поверхностям, не имеющих оси, понятие о нормальном сечении неприменимо и их называют коническими поверхностями общего вида. Точку А, принадлежащую такому конусу, можно построить из условия ее принадлежности образующей конуса l.
Рис. 10.7 Рис. 10.8
Конические поверхности, имеющие ось, следует именовать сообразно виду нормального сечения. Если нормальное сечение конической поверхности - окружность, она называется круговой. Если принять это нормальное сечение за основание конуса, получим прямой круговой конус, у которого высота совпадает с осью и проходит через центр основания (см. рис.10.3б).
10.9
Если же за основание принять какое-либо иное сечение круговой конической поверхности, мы будем иметь наклонный круговой конус. В последнем случае (рис.10.8) основание его не может иметь форму окружности (оно будет эллипсом), и ось конуса не будет проходить через центр основания.
В круговой конус, как прямой, так и наклонный, всегда можно вписать сферу (рис.10.8), и наоборот, конус, описанный вокруг сферы, является круговым. Поэтому круговую коническую поверхность можно еще определить как геометрическое место касательных к сфере, исходящих из одной точки.
Поверхности вращения
Поверхностью вращения общего вида называют поверхность, которая образуется произвольной кривой (плоской или пространственной) при ее вращении вокруг неподвижной оси.
В состав определителя поверхности вращения входит образующая a, ось вращения i, и условие [А] о том, что эта образующая вращается вокруг оси i (рис.10.9).
10.10
Каждая точка образующей - A,B,C,D (см.рис.10.9) при вращении вокруг оси i описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называют параллелями.
Наибольшую и наименьшую параллели называют соответственно экватором и горлом (шейкой).
Плоскости, проходящие через ось поверхности вращения, называют меридиональными, а линии, по которым они пересекают поверхность - меридианами.
Меридиональную плоскость, параллельную плоскости проекций, принято называть главной меридиональной плоскостью, а линию ее пересечения с поверхностью вращения - главным меридианом.
Возьмем в качестве образующей окружность. В зависимости от взаимного расположения окружности и оси вращения можно получить различные поверхности.
Если окружность m вращать вокруг оси i, принадлежащей плоскости этой окружности и не проходящей через ее центр, мы получим поверхность, называемую тором (рис.10.10).
Рис.10.10
В зависимости от взаимного расположения окружности и оси вращения поверхность тора подразделяют на:
открытый тор (или кольцо) - окружность не пересекает ось вращения (рис.10.10а),
закрытый тор - окружность пересекает ось вращения или касается ее (рис.10.10б).
Точка А, принадлежащая поверхности тора, строится как точка,
10.11
принадлежащая параллели этой поверхности.
Если окружность m вращается вокруг оси i , проходящей через центр этой окружности, то окружность m опишет в пространстве хорошо нам известную поверхность, называемую сферой (см.рис. 10.11).
Построение точки А, принадлежащей сфере, следует выполнять как построение точки, принадлежащей окружности этой сферы (см.рис 10.11).
Следует специально оговорить, что принадлежность точки любой произвольной поверхности вращения следует всегда определять как принадлежность точки параллели (окружности) этой поверхности (см. рис. 10.9 - 10.11).
|
Поверхности второго порядка
Поверхностью n-го порядка называют поверхность, уравнение которой есть алгебраическое уравнение степени n.
Плоскость, как известно, выражается уравнением первой степени, поэтому ее называют поверхностью первого порядка.
Поверхностью второго порядка мы будем называть поверхность, уравнение которой представляет собой уравнение 2-ой степени.
В начертательной геометрии мы не задаем поверхности их уравнениями. Этим занимается аналитическая геометрия.
Порядок поверхности в начертательной геометрии определяется максимальным количеством точек (действительных или мнимых), в которых прямая пересекает данную поверхность. Так плоскость - поверхность первого порядка, прямая может пересечь не более чем в одной точке. Сферу или круговой цилиндр, являющиеся одними из представителей поверхностей второго порядка, прямая будет пересекать в двух точках. Тор (круговое кольцо) есть поверхность 4-го порядка. Эту поверхность прямая может пересечь не более чем в 4-х точках.
Порядок поверхности можно определить руководствуясь следующим правилом.
Плоскость пересекает поверхность n-го порядка по кривой того же
10.12
n -го порядка.
Приведем примеры этого положения. Мы уже отмечали, что плоскость является поверхностью первого порядка. Мы знаем, что плоскость пересекает другую плоскость по прямой, т.е. по линии первого порядка. Любая плоскость пересечет сферу по окружности. Сфера есть одна из поверхностей второго порядка, ее сечение - окружность есть плоская кривая второго порядка.
Если эллипс, параболу, гиперболу, т.е. известные нам кривые 2-го порядка, вращать вокруг их осей, мы получим круговые поверхности 2-го порядка, которые будут соответственно называться эллипсоидом, параболоидом, гиперболоидом.
Гиперболу, кривую, состоящую из двух ветвей (рис.10.12а), мы можем вращать, как вокруг ее действительной - m, так и вокруг ее мнимой оси - m 1. В первом случае мы получим двуполостной гиперболоид (рис.10.12б), во втором - однополостный гиперболоид (рис.10.12в).
 |  |  |
а б в
Рис. 10.12
Если поверхности вращения второго порядка подвергнуть равномерному сжатию или растяжению, в направлении, перпендикулярном оси поверхности, эти поверхности, из круговых, превратятся в эллиптические. Эллипсоид вращения превратится в трехосный эллипсоид, а параболоид и гиперболоид вращения преобразуются, соответственно, в эллиптический параболоид и эллиптический гиперболоид.
Перечислим все возможные поверхности 2-го порядка. Ими являются только следующие поверхности:
1) цилиндры (круговой, эллиптический, параболический, гиперболический),
2) конусы (круговой, эллиптический),
3) эллипсоиды (вращения, трехосный), сферу можно рассматривать как частный случай эллипсоида, все оси которого равны,
10.13
4) параболоиды (вращения, эллиптический и гиперболический),
5) однополостныё гиперболоиды (вращения и эллиптический),
6) двуполостные гиперболоиды (вращения и эллиптический).
За исключением трех поверхностей: гиперболического и параболического цилиндров и гиперболического параболоида, все остальные могут пересекаться плоскостью по окружности. Таким образом, на всех поверхностях второго порядка, кроме трех указанных, можно расположить бесчисленное множество окружностей.
Материал лекции (не полностью) изложен в учебнике С.А.Фролова (изд.1978 г.) на стр. 51-57 , 86-90.
ЛЕКЦИЯ №11
Тема лекции
Дата добавления: 2019-03-09; просмотров: 1874; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!