Уравнение плоскопараллельного движения
Рассмотрим сечение S тела плоскостью Oxy, параллельной неподвижной плоскости П (рис. 3.15).
При плоском движении все точки тела, лежащие на прямой АА¢, перпендикулярной к сечение S и, следовательно, к плоскости П, движутся тождественно. Поэтому исследование плоскопараллельного движения твердого тела сводится к изучению движения сечения S в плоскости Оху. Плоскость Оху совмещают с плоскостью рисунка, а вместо всего твердого тела изображают его сечение S, которое называют плоской фигурой. Положение плоской фигуры S в плоскости Оху можно определить положением лежащего на ней некоторого отрезка АВ (рис. 3.16).
Положение же отрезка АВ определяется координатами хА, уА точки А и углом j, который отрезок АВ образует с осью Ох. Точку А называют полюсом. В качестве полюса можно выбрать любую точку плоской фигуры. При движении тела величины хА, уА, j будут изменяться. Выражения
xA = f1(t), yA = f2(t), j = f3(t) (3.35)
в любой момент времени определяют положение тела в пространстве при его плоском движении.
Зависимости (3.35), определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.
Определение скоростей точек плоской фигуры
Для определения скорости любой точки плоской фигуры применяют следующие методы.
1) С помощью теоремы о скоростях точек плоской фигуры (рис. 17).
Рисунок 17
Скорость любой точки плоской фигуры равняется геометрической сумме скорости полюса и скорости этой точки во вращательном движении плоской фигуры вокруг полюса, т.е.
|
|
|
.
В этом выражении 
– скорость полюса 
,
- скорость точки 
при вращении плоской фигуры вокруг полюса .
При этом скорость направлена перпендикулярно к отрезку 
и вычисляется по формуле 
.
Модуль и направление скорости 
определяются построением соответствующего параллелограмма (см. рис. 17).
2) С помощью теоремы о проекциях скоростей (рис. 18).
Рисунок 18
Проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, которая проходит через эти точки, уровни между собой , т.е..
,
Где α и β – углы наклона 
и 
к линии АB соответственно.
Эта теорема позволяет легко находит скорость данной точки тела, если известные направление скорости этой точки та скорость любой другой точки этого тела.
3) С помощью мгновенного центра скоростей.
Плоское движение в данный момент времени можно рассматривать как вращательное движение вокруг мгновенного центра вращения или мгновенного центра скоростей.
Мгновенным центром скоростей (м.ц.с.) называют связанную с плоской фигурой точку, скорость которой в данный момент времени равняется нулю.
Мгновенный центр скоростей (точка Р) находится (рис. 19) на линии, проведенной через некоторую точку А плоской фигуры перпендикулярно вектору скорости этой точки так, что угол 90° отложен в направлении угловой скорости ω плоской фигуры.При этом расстояние от точки
|
|
|
плоской фигуры до мгновенного центра скоростей равно частному от деления модуля скорости этой точки на угловую скорость, т.е.:
.
Рисунок 19
Исходя из этого, можно сделать вывод: угловая скорость плоской фигуры в данный момент времени равняется отношению скорости одной из ее точек к длине отрезка, который соединяет точку из м.ц.с., а скорости точек тела пропорциональны расстояниям от этих точек к м.ц.с.
Таким образом, зная величину скорости одной из точек плоской фигуры и положение её мгновенного центра скоростей, по зависимости
можно определить (рис.20) скорость любой точки и угловую скорость плоской фигуры.
|
| |
|
Рисунок 20
Существует несколько типичных приемов нахождения положения мгновенного центра скоростей.
1) Если известны скорость 
одной из точек плоской фигуры и ее угловая скорость 
, то м.ц.с. находится на перпендикуляре к вектору скорости точки, отложенному в направлении вращения плоской фигуры на расстоянии 
(см. рис.19).
|
|
|
2) Если известны направления скоростей двух точек плоской фигуры и векторы этих точек непараллельные между собой (рис. 21), то м.ц.с. находится на пересечении перпендикуляров к векторам скоростей этих точек.
Рисунок 21
3) Если скорости двух точек плоской фигуры параллельны между собой и перпендикулярны к отрезку, который соединяет эти точки, а модули этих скоростей известны и разные, то м.ц.с. лежит на пересечении общего перпендикуляра к векторам скоростей этих точек и линии, проведенной через концы этих векторов (рис.22).
а) б)
Рисунок 22
4) Если скорости двух точек параллельны между собой, а линия размещения этих точек не перпендикулярна к их скоростям (рис. 23), то м.ц.с. находится в бесконечности 
, а угловая скорость плоской фигуры 
. В этом случае тело осуществляет мгновенно поступательное движение, при котором скорости всех точек в данный момент времени уровни за величиной и одинаково направленные.
Рисунок 23
5) Если плоское движение осуществляется путем качения без скольжения одного тела неподвижной поверхностью другого (рис.24), то м.ц.с. находится в точке контакта тела с неподвижной поверхностью, так как при отсутствии скольжения скорость этой точки подвижного тела равняется нулю.
|
|
|
Рисунок 24
Мгновенный центр скоростей
В каждый момент времени при плоском движении тела, если 
,имеется единственная точка в плоскости его движения, скорость которой равна нулю.
Эту точку называют мгновенным центром скоростей (МЦС).Обозначим её Р. Для доказательства теоремы обратимся к теореме о сложении скоростей . На рис. точка О имеет скорость 
, а тело - угловую скорость 
заданного направления. Требуется найти такую точку Р, скорость которой равна нулю. Для этого запишем теорему, удовлетворяя заданное условие 
= 0. Равенство нулю этого выражения возможно в том случае, если векторы 
и 
будут в точке Р равныпо модулю и противоположны друг другу по направлению: 
. Если 
; 
, то 
.
Таким образом, точка Р – МЦС на рис. находится на перпендикуляре к вектору 
справа на расстоянии ОР. Именно в этой точке векторы 
и 
равны друг другу по модулю и противоположны по направлению, поэтому скорость точки Р равна нулю.
Если положение МЦС известно, то, приняв его за полюс Р, можно определить скорость, например, точки А следующим образом:
; 
; 
,
здесь AP – радиус, на котором вращается точка А относительно МЦС.
Скорость точки В вычислим аналогично:
; 
; 
.
Из полученных выражений для 
и 
имеем
или 
.
Следовательно, если положение МЦС известно, то скорости точек тела вычисляют так же, как и в случае вращения тела в плоскости вокруг МЦС с угловой скоростью 
. При этом скорости точек тела пропорциональны расстояниям от точек до МЦС. Таким образом, задача расчёта скоростей точек плоской фигуры упрощается, если известно положение мгновенного центра скоростей тела в любой момент времени.
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 314; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!