Тема 3. История развития науки о числе.
Сложность цивилизации, как в зеркале отражается в сложности используемых ею чисел. Две с половиной тысячи лет назад вавилоняне довольствовались натуральными числами, подсчитывая принадлежащие им несколько овец, сегодня экономисты пользуются метрической алгеброй для описания взаимосвязей сотен предприятий.
Числовые системы, применяемые в математике, могут быть расчленены на пять главных ступеней: 1) множество целых положительных чисел – натуральное множество N 2) относительные числа, включающие положительные числа, отрицательные числа и нуль; 3) рациональные числа, в которые входят целые числа и дроби; 4) действительные числа, включая иррациональные числа, т.е. числа, которые можно представить бесконечной непериодической десятичной дробью, такие как π , 
, 
и т.д. 5) комплексные числа, вводящие в рассмотрение «мнимое число» 
.
История развития числа от целого числа до иррационального знакома нам по школьному курсу.
С эпохи Возрождения математики стали использовать числа вида z = x+iy для решения квадратных уравнений, дискриминант у которых отрицателен, где
i = , i² = –1, х и у – вещественные числа
Само число z = x + i y называется комплексным, а i = , мнимой единицей. Нельзя назвать число i ни положительным ни отрицательным.
«Мнимые числа – поразительный полет духа божьего» – писал Лейбниц в 1702 году. Сегодня комплексные числа прочно вошли в математический аппарат. Языком комплексных чисел написаны многие труды по математике, физике, технике.
|
|
|
Пример. Найти корни уравнения х²+x+1=0.
1) Находим дискриминант Д= 1 – 4 = –3 < 0; 2) Находим корни уравнения х 
= (-1+ 
)/2 = (-1+i 
)/2;
х 
= (-1- 
)/2 = (-1-i 
)/2;
Это уравнение имеет комплексные корни, где i = 
.
Итак, число z = x + i y называется комплексным числом. x = Rez - называется вещественной частной числа, y = Im z - называется мнимой частного числа, х и у - вещественные числа.
Например, 1) z = 2 + 3i, Rez = 2 - вещественная часть числа, Im z = 3 мнимая часть числа.
2) z = -15 + i, Rez = -15 - ввещественная часть числа, Im z =1 - мнимая часть числа.
Свойства комплексных чисел
1. Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда равны нулю его вещественная и мнимая части, т.е. z = 0 <=> Rez = х=0, Im z =у=0.
(<=> - знак эквивалентности, или можно заменить слова «тогда и только тогда», необходимо и достаточно).
2. Если мнимая часть числа Im z =у=0, то z = х есть вещественное число, т.е. вещественные числа являются частью комплексных чисел.
Например, . z = 5+i0 = 5. Мнимая часть числа 5 равна 0.
3. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их вещественные и мнимые части. Пусть. z 
= х +iy , z 
= х +iy , z = z если х = х и y = y .
|
|
|
4. Множество комплексных чисел неупорядоченное множество, т.е. из двух комплексных чисел нельзя указать последующее и предыдущее. Между двумя комплексными числами нельзя поставить знаки неравенства >или<.
Например, z = 10+15i, z = 2-100i. Нельзя сказать которое из двух чисел больше.
Определение. Числа z = x + i y и 
= x - i y называются комплексно сопряженными.
Например, z = -2 + 3i, = -2 - 3i
z = 1 – i, = 1 + i
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 193; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!