Найти критические точки функции.
Найти значения функции в критических точках.
Найти значения функции на концах отрезка.
Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.
Исследование функции на экстремум с помощью
Производных высших порядков.
Пусть в точке х = х1 f ¢ ( x 1 ) = 0 и f ¢¢ ( x 1 ) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х1.
Теорема. Если f ¢ ( x 1 ) = 0, то функция f ( x ) в точке х = х1 имеет максимум, если f ¢¢ ( x 1 )<0 и минимум, если f ¢¢ ( x 1 )>0.
Выпуклость и вогнутость кривой.
Точки перегиба.
Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b ), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.
у
X
На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.
Теорема 1. Если во всех точках интервала ( a , b ) вторая производная функции f ( x ) отрицательна, то кривая y = f ( x ) обращена выпуклостью вверх (выпукла).
Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.
Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.
Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f ( x ). Если вторая производная f ¢¢ ( a ) = 0 или f ¢¢ ( a ) не существует и при переходе через точку х = а f ¢¢ ( x ) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.
|
|
Асимптоты.
При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.
Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.
Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.
Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота у = х.
Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.
Вертикальные асимптоты.
Из определения асимптоты следует, что если или или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f ( x ).
Например, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.
|
|
Наклонные асимптоты.
Предположим, что кривая y = f ( x ) имеет наклонную асимптоту y = kx + b .
M
J
N
J P
Q
Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим j . Перпендикуляр М Q к оси Ох пересекает асимптоту в точке N .
Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ = - ордината точки N на асимптоте.
По условию: , Ð NMP = j , .
Угол j - постоянный и не равный 900, тогда
Тогда .
Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b .
В полученном выражении выносим за скобки х:
Т.к. х ® ¥ , то , т.к. b = const , то .
Тогда , следовательно,
.
Т.к. , то , следовательно,
Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.
Пример. Найти асимптоты и построить график функции .
1) Вертикальные асимптоты: y ® + ¥ x ® 0-0: y ® - ¥ x ® 0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.
2) Наклонные асимптоты :
|
|
Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.
Схема исследования функций
Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 340; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!