Основные правила дифференцирования.

Основные правила дифференцирования.

Обозначим f ( x ) = u , g ( x ) = v - функции, дифференцируемые в точке х.

1) ( u ± v ) ¢ = u ¢ ± v ¢

А)        

Б)        

2) ( u × v ) ¢ = u × v ¢ + u ¢ × v

3) , если v ¹ 0

4)

Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

Основные формулы дифференцирования.

Производные основных элементарных функций.

              1)С ¢ = 0;                                9)

              2)( x^m ) ¢ = mx^{m -1} ;     10)

              3)        11)

              4)                   12)

              5)                            13)

              6)                                14)

              7)                          15)

              8)                16)

Дифференциал функции и его геометрический смысл.

Дифференциал функции.

       Пусть функция y = f ( x ) имеет производную в точке х:

Тогда можно записать: , где a ® 0, при D х ® 0.

Следовательно: .

Величина a D x - бесконечно малая более высокого порядка, чем f ¢ ( x ) D x , т.е. f ¢ ( x ) D x - главная часть приращения D у.

       Определение. Дифференциалом функции f ( x ) в точке х называется главня линейная часть приращения функции. (или произведение производной этой функции на приращение независимой переменной).

Обозначается dy или df ( x ).

Из определения следует, что dy = f ¢ ( x ) D x или

dy = f ¢ ( x ) dx .

Можно также записать:

Геометрический смысл дифференциала.

                                                      y

F ( x )

K

Dy

M          D y

L

                                                                                        

A

                                                                             x x + D x       x

      

Из треугольника D MKL : KL = dy = tg a × D x = y ¢ × D x

Таким образом, дифференциал функции f ( x ) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

Свойства дифференциала и инвариантность его формулы. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Свойства дифференциала.

       Если u = f ( x ) и v = g ( x )- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

1) d(u ± v) = (u ± v) ¢ dx = u ¢ dx ± v ¢ dx = du ± dv

2) d(uv) = (uv) ¢ dx = (u ¢ v + v ¢ u)dx = vdu + udv

3) d(Cu) = Cdu

4)  

Дифференциал сложной функции.

Инвариантная форма записи дифференциала.

       Пусть y = f ( x ), x = g ( t ), т.е. у - сложная функция.

Тогда                   dy = f ¢ ( x ) g ¢ ( t ) dt = f ¢ ( x ) dx .

Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

Однако, если х - независимая переменная, то

dx = D x , но

если х зависит от t , то      D х ¹ dx .

Таким образом, форма записи dy = f ¢ ( x ) D x не является инвариантной.

       Пример. Найти производную функции .

Сначала преобразуем данную функцию:

Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

       Дифференциал функции y = f ( x ) зависит от D х и является главной частью приращения D х.

Также можно воспользоваться формулой

Предел 2х бесконечно малых функций равен 1, значит  - приращение функции эквивалентно дифференциалу. Это равенство и есть основа для приближенных вычислений.

Тогда абсолютная погрешность

Относительная погрешность

Формально дифференциал от производной отличается только сомножителем . Поэтому при практическом вычислении дифференциалов пользуются таблицами и правилами производных и формально приписывают сомножитель .

---

Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 206; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!