Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.
det A ¹ 0;
Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.
Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными
в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:
xi = D i / D , где
D = det A , а D i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi .
D i =
При D = 0 система имеет бесконечное множество решений.
Решение систем линейных уравнений матричным методом.
Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.
Метод удобен для решения систем невысокого порядка.
Метод основан на применении обратной матрицы.
Пусть дана система уравнений :
Составим матрицы: A = ; B = ; X = .
Систему уравнений можно записать:
A × X = B .
Сделаем следующее преобразование: A -1 × A × X = A -1 × B ,
т.к. А-1 × А = Е, то Е × Х = А-1 × В
Х = А-1 × В
Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.
Пример. Решить систему уравнений:
|
|
Х = , B = , A =
Найдем обратную матрицу А-1.
D = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.
M 11 = = -5; M 21 = = 1; M 31 = = -1;
M 12 = M 22 = M 32 =
M 13 = M 23 = M 33 =
A -1 = ;
Находим матрицу Х.
Х = = А-1В = × = .
Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.
Метод Гаусса. Однородные системы линейных уравнений и их решение.
Метод Гаусса.
В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.
Рассмотрим систему линейных уравнений:
Разделим обе части 1–го уравнения на a 11 ¹ 0, затем:
1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения
2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения
И т.д.
Получим:
, где d 1 j = a 1 j / a 11 , j = 2, 3, …, n +1.
dij = aij – ai1d1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.
Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.
3 вывода: 1. решение одно
Система несовместна
Решений бесчисленное множество
Однородные системы линейных уравнений
|
|
Если правая часть каждого уравнения в системе линейных уравнений нулевая, то система называется однородной.
Однородная система всегда совместна, т.к. имеет нулевое решение. Это решение называется тривиальным.
Теорема. Для того, чтобы однородная система имела нулевое решение необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был меньше числа неизвестных.
Следствие. Однородная система с матрицей имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен 0.
Некоторые свойства решений однородных систем:
· Если набор неизвестных – решение однородной системы, то коэффициент любой также является решением.
· Если и какие-то решения однородной системы, то + - также является решением этой системы.
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 209; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!