Расстроенный врач и больной гений 1 страница
Спасибо, что скачали книгу в бесплатной электронной библиотеке Royallib.ru
Все книги автора
Эта же книга в других форматах
Приятного чтения!
Когда мы сгинем в будущем, как дым,
И снова скорбь людскую ранит грудь,
Ты скажешь поколениям иным:
«В прекрасном — правда, в правде — красота.
Вот знания земного смысл и суть».
Джон Китс
Ода греческой вазе
(Перевод В. Микушевича)
Предисловие
На календаре 13 мая 1832 года. В рассветной дымке два молодых француза стоят друг против друга с пистолетами в руках. Дуэль — из-за молодой женщины. Выстрел; один из юношей падает смертельно раненным на землю. Ему всего 21 год; перитонит убивает его через два дня, и его хоронят в общей могиле. Одна из наиболее важных идей в истории математики и науки едва не погибает вместе с ним.
Оставшийся в живых дуэлянт так и остался неизвестным; погибший же — Эварист Галуа, политический революционер, одержимый математикой. В полном собрании его работ едва наберется шестьдесят страниц, и тем не менее наследие Галуа произвело революцию в математике. Он изобрел язык, позволяющий описывать симметрии в математических структурах и выводить их следствия.
Сегодня этот язык, известный как «теория групп», используется во всей чистой и прикладной математике, причем отвечает за формирование закономерностей в физическом мире. Симметрия играет центральную роль на передовых рубежах физики, в квантовом мире сверхмалого и релятивистском мире сверхбольшого. Симметрия может даже проложить дорогу к долгожданной «Теории Всего» — математическому объединению двух ключевых направлений в современной физике. И все это началось с простого вопроса по алгебре — вопроса о решениях математических уравнений, то есть о нахождении «неизвестного» числа на основе нескольких математических подсказок.
|
|
|
Симметрия — это не число и не форма, но специальный вид преобразований , то есть некоторый способ «шевелить» объект. Если объект выглядит неизменным после преобразования, то данное преобразование представляет собой симметрию. Например, квадрат выглядит так же, как раньше, если его повернуть на прямой угол.
Эта идея — серьезно расширенная и усовершенствованная — лежит в основе того, как современная наука понимает вселенную и ее происхождение. Теория относительности Альберта Эйнштейна основана на принципе, согласно которому законы физики должны оставаться неизменными во всех точках пространства и с течением времени. Другими словами, законы должны быть симметричны относительно движений в пространстве и течения времени. Квантовая физика говорит нам, что все во вселенной состоит из набора очень маленьких «фундаментальных» частиц. Поведение этих частиц управляется математическими уравнениями — законами природы, и эти законы снова обладают симметриями. Частицу можно математически преобразовать в совсем другие частицы, и эти преобразования также оставляют законы физики неизменными.
|
|
|
Все эти концепции — как и самые последние, относящиеся к рубежам современной физики, — не были бы открыты без глубокого математического понимания симметрии. Такое понимание пришло из чистой математики; роль симметрии в физике проявилась позднее. Чрезвычайно полезные идеи могут возникать из чисто абстрактных рассуждений — нечто вроде того, что физик Юджин Вигнер назвал «непостижимой эффективностью математики в естественных науках». Когда дело касается математики, мы порой получаем на выходе больше, чем вкладывали изначально.
Начиная с писцов древнего Вавилона и заканчивая физиками двадцать первого столетия, «Почему в красоте правда» повествует, как математики наткнулись на концепцию симметрии и как казавшийся бесцельным поиск формул, которых, как выяснилось, вообще не существует, открыл новое окно во вселенную и произвел переворот в естественных науках и математике. Говоря более широко, история симметрии иллюстрирует, как культурное влияние и историческую непрерывность великих идей можно выпукло отразить на фоне как политических, так и научных сдвигов и переворотов.
|
|
|
Первая половина книги может на беглый взгляд показаться вовсе не имеющей отношения к симметрии и лишь вскользь относящейся к реальному физическому миру. Причина в том, что в качестве доминирующей идеи симметрия появилась не так, как можно было бы этого ожидать, — т.е. не через геометрию. Вместо этого глубинно прекрасная и жизненно необходимая концепция симметрии, которой сегодня пользуются математики и физики, пришла к нам из алгебры. Поэтому значительная часть данной книги описывает поиск решений алгебраических уравнений. Может показаться, что это сугубо технический момент, однако в действительности это поистине захватывающее приключение, многие из ключевых участников которого прожили необычные и драматические жизни. Математики — живые люди, пусть даже иногда они теряются за своими абстрактными размышлениями. Некоторые из них могут позволить логике слишком сильно вмешиваться в их жизнь, но мы снова и снова будем убеждаться, что нашим героям не чуждо ничто человеческое. Мы увидим, как они жили и умирали, прочтем об их любовных историях и дуэлях, жестоких спорах из-за приоритета, сексуальных скандалах, пьянстве и болезнях, а по ходу дела увидим, как пробивали себе дорогу их математические идеи, изменявшие мир.
|
|
|
Начиная с десятого столетия до Рождества Христова и вплоть до кульминации в начале XIX века, связанной с фигурой Галуа, повествование шаг за шагом поведет нас по пути завоевания уравнений — дороге, которая в конце концов зашла в тупик, когда математики попытались победить так называемую «квинтику» — уравнение, в которое входит пятая степень неизвестного. Перестали ли их методы работать из-за того, что в уравнении пятой степени крылись какие-то фундаментальные отличия? Или же можно было найти похожие, но более мощные методы, с помощью которых удалось бы получить формулы для его решения? Застряли ли математики из-за того, что встретили настоящую преграду, или им просто отказала сообразительность?
Важно понимать, что факт существования решений уравнений пятой степени был достоверно установлен. Вопрос состоял в том, всегда ли их можно представить алгебраической формулой. В 1821 году молодой норвежец Нильс Хенрик Абель доказал, что уравнение пятой степени нельзя решить алгебраическими средствами. Его доказательство, однако, было несколько таинственным и довольно непрямым. Он доказал, что никакого общего решения быть не может, но при этом оставалось непонятно почему.
Именно Галуа открыл, что невозможность решения уравнения пятой степени вытекает из симметрий этого уравнения. Если эти симметрии проходят, так сказать, тест Галуа (это означает, что они устроены некоторым очень специальным образом, который я не буду объяснять прямо сейчас), то уравнение можно решить с помощью алгебраической формулы. Если симметрии не проходят тест Галуа, то никакой такой формулы нет.
Общее уравнение пятой степени нельзя решить с помощью формулы, потому что у него неправильные симметрии.
Это эпического масштаба открытие составляет второй сюжет данной книги — сюжет группы, т.е. математического «исчисления симметрий». Галуа перенял древнюю математическую традицию — алгебру — и развил ее, создав новый инструмент для изучения симметрии.
Пусть пока что слова вроде «группы» останутся необъясненным специальным жаргоном. Когда значение таких слов станет важным для нашего рассказа, я приведу все необходимые пояснения. Но иногда нам будет требоваться всего лишь подходящий термин, чтобы иметь ориентиры в нашем рассказе. Если вы наткнетесь на что-то в этом роде — на то, что выглядит как профессиональный жаргон, но непосредственно не объясняется, — отнеситесь к этому просто как к указателю на нечто полезное, чей конкретный смысл пока не играет большой роли. Иногда это значение будет проясняться по мере дальнейшего чтения. «Группа» — как раз такой случай, но мы поймем, что это такое, не раньше, чем дойдем до середины книги.
Наш рассказ также затрагивает вопрос о любопытной значимости в математике некоторых конкретных чисел. Я говорю сейчас не о фундаментальных физических постоянных, а о математических постоянных, таких как π (греческая буква пи). Скорость света, например, могла бы в принципе иметь любое значение, но так случилось, что в нашей вселенной она составляет 300 000 метров в секунду. С другой стороны, число π имеет значение, немногим большее, чем 3,14159, и ничто в мире не может его изменить.
Неразрешимость уравнений пятой степени говорит нам, что, как и π , число 5 также довольно необычно. Это наименьшее число, для которого соответствующая группа симметрии не проходит тест Галуа. Другой занятный пример — это последовательность чисел 1, 2, 4, 8. Математики открыли серию расширений концепции обычных «вещественных» чисел — сначала строятся комплексные числа, а затем нечто, называемое кватернионами и, далее, октонионами. Они соответственно конструируются из двух экземпляров вещественных чисел, из четырех экземпляров и из восьми экземпляров. Кто же следующий? Естественная догадка — 16, но на самом деле дальнейших разумных расширений числовых систем нет. Это замечательный и глубокий факт. Он говорит нам, что число 8 — особенное, причем не в каком-нибудь поверхностном смысле, а в терминах глубинных структур самой математики.
Кроме чисел 5 и 8 в этой книге появятся некоторые другие, среди которых надо в первую очередь отметить 14, 52, 78, 133 и 248. Эти любопытные числа представляют собой размерности пяти «исключительных групп Ли», и их влияние пронизывает всю математику и значительную часть математической физики. Эти числа — главные действующие лица в математической драме, тогда как другие числа, с первого взгляда мало чем отличающиеся, — всего лишь статисты.
Математики открыли, насколько эти числа особенные, в конце девятнадцатого столетия, когда родилась современная абстрактная алгебра. Существенны не числа сами по себе, но роль, которую они играют в основаниях алгебры. С каждым из этих чисел связан математический объект, называемый группой Ли и обладающий уникальными и замечательными свойствами. Эти группы играют фундаментальную роль в современной физике, они связаны с глубокими структурами пространства, времени и материи.
Это и подводит нас к заключительному сюжету — фундаментальной физике. Физики давно задавались вопросом, почему пространство имеет три измерения, а время — одно; иными словами, почему мы живем в четырехмерном пространстве-времени? Теория суперструн — самая современная попытка объединить всю физику в единое целое, управляемое набором взаимосогласованных законов — привела физиков к вопросу, может ли пространство-время иметь дополнительные «скрытые» измерения. Идея может показаться бредовой, но у нее имеются неплохие исторические прецеденты. Из всех свойств теории суперструн присутствие дополнительных измерений вызывает, наверное, меньше всего возражений.
Куда больше вопросов вызывает другое свойство — вера в то, что формулировка новой теории пространства и времени зависит главным образом от той математики , на которой основаны теория относительности и квантовая теория — два столпа, на которых покоится современная физика. Объединение этих взаимно противоречащих теорий воспринимается как математическое упражнение, а не как процесс, требующий новых революционных экспериментов. Ожидается, что математическая красота сыграет роль необходимого предварительного условия для физической истины. Это допущение может таить в себе опасность. Важно не потерять из виду физический мир, так что, какая бы теория в конце концов ни родилась из современных построений и какой бы замечательной ни была ее математическая родословная, она не освобождается от проверки экспериментами и наблюдениями.
Как бы то ни было, на данный момент имеются веские причины придерживаться математического подхода. Одна такая причина состоит в том, что до тех пор, пока по-настоящему убедительная объединенная теория не сформулирована, никто не знает, какие эксперименты осуществлять. Другая причина в том, что математическая симметрия играет фундаментальную роль как в теории относительности, так и в квантовой теории — в двух областях, демонстрирующих значительный дефицит взаимно согласованных позиций, — так что особую ценность приобретают любые, пусть даже совсем небольшие области, в которых такой согласованности удается добиться. Возможные структуры пространства, времени и материи определяются своими симметриями, и некоторые из наиболее важных возможностей могут быть связаны с исключительными структурами в алгебре. Может быть, пространство-время обладает теми свойствами, которые мы наблюдаем, потому что математика допускает к участию в финальном туре только небольшое число специальных форм. Если так, то вполне разумно прислушиваться к тому, что говорит математика.
Почему вселенная выглядит столь математической? На этот вопрос предлагались разнообразные ответы, но ни один из них не кажется мне достаточно убедительным. Отношения симметрии между математическими идеями и физическим миром, равно как и симметрия между нашим чувством красоты и наиболее глубокими и важными математическими формами, представляют собой глубокую и, быть может, неразрешимую загадку. Никто из нас не знает, почему красота есть истина, а истина — красота. Все, что нам остается, — это созерцать бесконечное разнообразие их взаимоотношений.
Глава 1
Вавилонские писцы
Через земли, занимаемые сегодня Ираком, протекают две самые знаменитые в мире реки. Им обязаны своим существованием возникшие там замечательные цивилизации. Они берут исток в горах восточной Турции, пересекают сотни миль плодородных равнин и сливаются в единый поток, устье которого выходит в Персидский залив. С юго-запада эта область ограничена сухими пустынными землями Аравийского плато, а с северо-востока — негостеприимными грядами Анти-Тауруса и Загроса. Эти две реки — Тигр и Евфрат, протекающие сегодня практически тем же курсом, что и четыре тысячи лет назад, когда они пересекали древние земли Ассирии, Аккада и Шумера.
Археологам область между Тигром и Евфратом известна как Месопотамия, что по-гречески означает «междуречье». Про нее часто — и с полным правом — говорят как про колыбель цивилизации. Реки приносили воду на равнины, которые из-за этого становились плодородными. Обильная растительность привлекала стада овец и оленей, которые в свою очередь привлекали хищников, а среди них — первобытных охотников. Равнины Месопотамии были садами Эдема для охотников и собирателей, магнитом для кочевых племен.
Они в действительности оказались настолько плодородны, что образ жизни охотников и собирателей в конце концов уступил место гораздо более эффективной стратегии добывания пищи. Около 9000 года до Р.Х. холмы немного к северу от Плодородного Полумесяца стали свидетелями рождения революционной технологии — сельскохозяйственного производства. Почти немедленно за этим последовали два фундаментальных изменения в развитии человеческого общества: необходимость оставаться на одном и том же месте, чтобы ухаживать за посевами, и возможность прокормить значительное население. Сочетание этих факторов привело к созданию городов, и в Месопотамии археологи все еще находят останки некоторых древнейших в мире великих городов-государств: Ниневии, Нимруда, Ниппура, Урука, Лагаша, Эриду, Ура, а также превосходящего их всех Вавилона — города Висячих Садов и Вавилонской башни. Четыре тысячелетия назад сельскохозяйственная революция в этой части света с неизбежностью привела к возникновению организованного общества со всем набором сопутствующих ловушек — таких как правительство, бюрократия и армия. Между 2000 и 500 годами до Р.Х. на берегах Евфрата процветала цивилизация, которую нестрого именуют «вавилонской». Она берет свое название от главного города, но в широком смысле «вавилонская» культура включает также шумерскую и аккадскую. В действительности первое известное упоминание о Вавилоне найдено на глиняной табличке Саргона Аккадского, датируемой приблизительно 2250 годом до Р.Х., хотя корни вавилонян, весьма вероятно, восходят ко времени еще на две или три тысячи лет более раннему.
Нам очень мало известно об истоках «цивилизации» — слово это буквально означает организацию людей в устойчивые сообщества. Тем не менее похоже, что многими аспектами нашего сегодняшнего мира мы обязаны древним вавилонянам. В частности, они были специалистами в области астрономии, и есть свидетельства того, что именно к ним восходят двенадцать зодиакальных созвездий и деление окружности на 360 градусов, равно как и часа на шестьдесят минут, а минуты — на шестьдесят секунд. Подобные единицы измерения требовались вавилонянам для занятий астрономией, так что они поневоле стали специалистами и в освященной веками служанке астрономии — математике.
Подобно нам, они изучали математику в школе.
«Что у нас сегодня?» — спросил Набу, положив узелок с завтраком рядом со своим местом. Его мать всегда следила, чтобы на завтрак у него было достаточно хлеба и мяса (как правило, козлятины). Иногда для разнообразия она добавляла еще и сыр.
«Математика, — мрачно отозвался его друг Гамеш. — Жаль, что не право, — мне больше нравится право».
Набу, хорошо успевавший по математике, никогда не мог понять, почему его соученики считали этот предмет таким сложным: «Послушай, Гамеш, разве тебе не скучно переписывать и зазубривать все эти набившие оскомину юридические формулы?»
Гамеш, сильными сторонами которого были упорство и хорошая память, засмеялся: «Нет, это легко. Там не надо думать».
«Именно поэтому мне и скучно, — сказал его друг. — А вот математика — это…»
«Это ужас, — вступил в разговор Хумбаба, только что пришедший в Дом Табличек, как всегда, с опозданием. — Я хочу сказать, Набу, что мне с этим делать?» Он указал на свою глиняную табличку с домашним заданием: «Умножаем число само на себя и прибавляем это число, удвоенное. Получаем 24. Каково число?»
«Четыре», — ответил Набу. «Правда?» — спросил Гамеш. А Хумбаба сказал: «Сам знаю. Но как это получить?»
Набу скрупулезно растолковал приятелю процедуру, которую их учитель математики объяснял им на прошлой неделе: «Прибавь половину от 2 к 24, получишь 25. Извлеки квадратный корень, который равен 5…»
Сбитый столку Гамеш замахал руками: «Я никак не могу разобраться, что за штука эти квадратные корни, Набу».
«А! — сказал Набу. — Теперь понятно!» Оба его приятеля глядели на него как на сумасшедшего. «Твоя проблема не в решении уравнений, Гамеш. А в квадратных корнях!»
«И в том и в другом», — пробормотал Гамеш.
«Но сначала идут квадратные корни. Надо учить предмет шаг за шагом, как все время нам повторяет Отец-учитель в Доме Табличек».
«А еще он повторяет, чтобы мы не пачкали одежду, — запротестовал Хумбаба, — но мы же не обращаем на это внимания…»
«Это другое дело. Это…»
«Без толку! — завопил Гамеш. — Я никогда не стану писцом, и отец задаст мне такую трепку, что я не смогу сидеть, а мать будет, как всегда, жалобно смотреть на меня и говорить, чтобы я больше трудился и думал о семье. Но мне математика в голову не лезет! Вот законы я могу запомнить. Это весело! Смотри: „Если жена господина убьет своего мужа из-за другого мужчины, ее следует прямо на месте посадить на кол“. Вот это по мне. А всякие глупости типа квадратных корней — нет! — он остановился, чтобы глотнуть воздуха, и замахал руками, не в силах сдержать себя. — Уравнения, числа — нам-то что за дело?»
«От них есть польза, — возразил Хумбаба. — Помнишь все эти штуки про закон насчет отрезания ушей рабам?»
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 100; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!