Интегрирование функций комплексного переменного.
Задача 55. Вычислить по отрезку от 0 до .
Решение. = = =
а это уже 2 криволинейных интеграла второго рода от различных векторных полей. Причём на вертикальном отрезке, соединяющем 0 с точкой , фиксировано , а значит и , т.е. исчезают все слагаемые, где есть или .
При этом . Итак, = = = = .
Ответ. .
Задача 56. Вычислить по окружности радиуса .
Решение. Изначально преобразование с раскрытием скобок точно такое же, как и в прошлой задаче: = = = .
Дальше, криволинейные интегралы вычисляются иначе из-за того, что другая кривая. На окружности наилучший способ задать точку - параметрически: , . При этом .
Также вычислим дифференциалы: , .
= = = .
Ответ. .
Задача 57. Вычислить по отрезку от 0 до .
Решение. Способ 1. Без формулы Ньютона-Лейбница.
= =
=
Далее используем явное выражение , так как отрезок соединяет точки (0,0) и (1,2). При этом , .
=
= = .
Способ 2. По формуле Ньютона-Лейбница.
Заметив, что функция аналитическая, т.е. для неё выполняются условия Коши-Римана, можно не раскрывать скобки предыдущим способом, а вычислить первообразную по в начальной и конечной точке.
= = , а дальше всё сводится просто к вычислению степени комплексного числа.
= , тогда
= .
Ответ.
Задача 58. Вычислить по участку единичной окружности в 1-й четверти от 1 до .
Решение. Здесь тоже можно вычислять как без, так и по формуле Ньютона-Лейбница. Но разница в объёме вычислений будет огромная, в несколько раз в данном случае.
|
|
Способ 1. = =
, далее используем параметрические выражения , , где .
=
здесь в двух слагаемых из 4 можно применить подведение под знак дифференциала, а в двух других, где третья степень - замену (при нечётной степени косинуса замена , при нечётной степени синуса ).
Итак, =
=
=
=
= =
= .
Способ 2. Так как функция аналитическая, нам не важно, соединены точки по дуге окружности или по какой-то другой линии, на самом деле результат зависит только от первообразной в начальной и конечной точках.
= = = = .
Ответ. .
Задача 59. Вычислить по отрезку от 0 до .
Решение. Так как , то функция не аналитическая, т.к. частные производные от будут какие-то функции, а от нулевые, и точно не не будет совпадений, которые нужны для условий Коши-Римана. Поэтому формулу Ньютона-Лейбница здесь применить нельзя, а только универсальный способ с разложением на . Отрезок от (0,0) до (1,3), он характеризуется явным уравнением , при этом , .
= = =
= =
= .
Ответ. .
Задача 60. Вычислить .
Решение. Здесь сумма степенных функций, они являются аналитическими. Поэтому используем формулу Ньютона-Лейбница.
|
|
= = .
Отдельно вычислим ,
.
Тогда = .
Ответ. .
Задача 61. Вычислить .
Решение. = = .
Вычислим квадрат и куб этого числа. ,
= .
Тогда = =
.
Ответ. .
Задача 62. Вычислить .
Решение. Можно применять формулу Ньютона-Лейбница, так как функция аналитическая.
, тогда:
, .
= = = = =
= .
Ответ. .
Практика № 8. 22 и 25.10.2018
Интегральная формула Коши.
Следующая серия задач решается с помощью формул Коши:
и .
Здесь будут комбинированные задачи, состоящие из нескольких подзадач, где контур проводится сначала вокруг той или иной точки разрыва, а затем вокруг всех этих точек.
Задача 63. Вычислить , где контур :
А) Б) В) .
Решение. В знаменателе разложим на множители, и станет видно, что корни многочлена там 2 и .
= .
Если контур радиуса 0,5 окружает одну из точек, то надо применить интегральную формулу Коши, где точка одна из них, а именно, в первом пункте , а во втором . Надо убрать из знаменателя соответствующую скобку, и присвоить конкретное вместо в оставшейся части функции.
А) = = = = = .
Б) = = = = = .
В) В третьем пункте, где контур окружает уже обе точки, достаточно будет воспользоваться теоремой Коши и суммировать результаты двух предыдущих пунктов. Получится .
|
|
Ответы. А) Б) В) .
Задача 64. Вычислить , где контур :
А) Б) В) .
Решение. В 1 пункте здесь корень 2 соответствует , а во втором корень 0, но он имеет кратность 2, поэтому надо будет сделать по обобщённой интегральной формуле Коши, то есть с помощью производной.
А) = = = .
Б) Здесь корень 0, он соответствует множителю , который, впрочем, можно было бы записать в виде скобки .
Конкретизируем обобщённую формулу Коши для 2 степени:
, при n=1:
Тогда = = =
= = .
В) Здесь внутри контура обе особые точки, рассмотренные в предыдущих пунктах. По интегральной теореме Коши просто складываем результаты, полученные в 2 предыдущих пунктах. Получаем .
Ответы. А) Б) В) .
Задача 65. Вычислить , где контур :
А) Б) В) Г) .
Решение. В каждом случае применяем интегральную формулу Коши к той или иной точке разрыва функции, 2, 3 и 5. Убирая соответствующий множитель из знаменателя, затем подставляем в оставшуюся часть функции это число.
А) = = .
Б) = = .
В) = = .
Г) + = 0 .
Ответы. А) Б) В) Г) 0.
Задача 66. Вычислить , где контур :
|
|
А) Б) В) .
Решение.
А) = = = .
Б) В этом случае корень знаменателя имеет кратность 3, так что придётся считать с помощью 2-й производной.
Конкретизируем обобщённую формулу Коши для 3 степени:
, при n=2: . Тогда = =
= = = = = = .
В) = 0 .
Ответы. А) Б) В) 0 .
Задача 67. Вычислить , где контур :
А) Б) В) .
Решение.
А) = = = 0.
Б) = = = = .
В) 0+ = .
Ответы. А) 0 Б) В) .
Задача 68. Вычислить , где контур :
А) Б) В) Г) .
Решение. Так как здесь в интеграле уже изначально есть множитель , то домножать на в правой части не нужно.
А) = = .
Б) = = .
В) В отличие от двух первых точек, здесь в знаменателе корень 2-го порядка, поэтому подставляем не сразу, а после вычисления производной.
= = = = = = .
Г) По интегральной теореме Коши, сумма интегралов по трём предыдущим контурам: + = 0 .
Ответы. А) Б) В) Г) 0.
Повторение и самостоятельная работа по задачам:
1) Разложение в виде и проверка условий Коши-Римана.
2) Восстановление аналитической функции по одной её части
(u или v).
Практика № 9. 29.10.2018
Завершение темы «интегрирование» и самостоятельная:
1) Интеграл по незамкнутой кривой (как в задачах 55-59).
2) Интеграл по замкнутой кривой (как в задачах 63-68).
Задача 69. Вычислить .
Решение. Несмотря на то, что здесь интеграл по замкнутому контуру, применять интегральную формулу Коши нельзя, ведь функция не аналитическая, т.е. аналитичность нарушена не в изолированных точках, а во всей плоскости.
Сделаем разложение функции на Re и Im.
= = = =
.
После этого введём обычную для такой единичной окружности параметризацию через : , где .
При этом . После того, как выразим через , получается такое выражение, записанное в две строки:
+
.
Если привести подобные, то:
=
далее в действительной части используем формулу понижения степени, а в мнимой части подведение под знак дифференциала.
=
=
в мнимой части все интегралы окажутся 0, так как на верхнем и нижнем пределе 0 и , а тригонометрические функции совпадают в точках, отличающихся на , значит, формула Ньютона-Лейбница приведёт к 0.
=
= .
Ответ. .
Задача 70. Вычислить , где АВ - участок кубической параболы от (0,0) до (1,1).
Решение. = =
= .
Теперь сведём все получившиеся криволинейные интегралы к одной лишь переменной , заменяя и , где .
=
= =
= .
Ответ. .
Задача 71. Вычислить .
Решение. = . Здесь две особые точки, это , они являются полюсами 1 порядка. Тогда в каждой из этих точек применим интегральную формулу Коши.
= =
= .
Ответ. 0.
Задача 72. Вычислить .
Решение. Здесь две особые точки, полюс 1-го порядка и полюс 2-го порядка. Для 2-й точки надо применять обобщённую формулу Коши (с производной).
= =
= =
.
Ответ. 0.
Задача 73. Вычислить .
Решение. Внутри окружности радиуса 2 лежат 2 из 3 особых точек, а именно, 0 и 1, точка 3 снаружи.
Поэтому интегральную формулу Коши применяем только к двум точкам.
= .
Предварительно вычислим производную.
= = = .
Далее, =
= =
= .
Ответ. .
Практика № 10. 12.11.2018
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 612; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!