Глава 6. Геометрический метод
(с использованием циркуля и измерительной линейки с прямым углом или угольника)
Прежде всего стоит заметить, что использование этого метода обещает значительные погрешности, которые могут зависеть и от чистоты построения чертежей, и от точности измерительных инструментов.
Этот метод предполагает знание двух теорем геометрии :
а) Нахождение высоты прямоугольного треугольника, опущенной из прямого угла ( h = )
, но если , то |
А подробнее это можно описать так: Положите перед собой чистый лист, циркуль и карандаш с линейкой. Попробуем геометрическим способом извлечь квадратный корень числа 7. Работаем в сантиметрах.
Начертим отрезок АС = АН + НС, то есть АС = 1+ 7 = 8(см)
Найдём середину АС – точку О (АО = ОС) и при помощи циркуля построим окружность с центром О и радиусом ОС и отметим точку Н на отрезке АС так, что АН = 1 см , построим перпендикуляр НВ в точке Н к отрезку АС.
Измерим длину полученного отрезка ВН. Получили 2 см и 6 мм.
Этот результат и будет примерно равен .
Вывод: геометрическим способом нашли результат ≈ 2,6
Минусы этого способа сразу понятны: неточность в измерениях и построении, однако его можно применять в ситуациях недоступности калькулятора и отсутствия клеточной бумаги, что тоже иногда может спасти ситуацию.
|
|
Глава 7. Графический метод.
Графический метод извлечения квадратных корней наш учитель математики предлагает использовать для маленьких чисел, когда под рукой нет таблицы квадратов. Он полностью основан на графическом решении уравнения b = х² , полученном из = х путём возведения в квадрат первого. С алгоритмом решения этого уравнения знаком каждый школьник: Построим на клеточной бумаге в одной системе координат два графика функций у = b и у = х². Найдём точку пересечения в первой четверти системы координат. Абсцисса этой точки и будет соответствовать значению квадратного корня из числа b .
Например, поработаем с . Решим графически уравнение 11= х². у =11 – прямая, параллельная оси абсцисс, а у = х² - классическая парабола. При построении на клеточной бумаге х = 3,3, а точное вычисление МК = 3,3166. |
Какие же неудобства и трудности испытывают при применении такого способа решения данной проблемы:
1)предварительная подготовка – построение графика параболы;
2) ограничение размером тетрадного листа (о чём сразу предупреждали), поэтому невозможно извлечение чисел, больших 40, так как длина тетрадного листа 40 клеток;
|
|
3) неточность в построении кривых линий и получение больших погрешностей, в отличие от других методов.
Глава 8. Канадский метод
Этот быстрый метод был открыт молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в 20 веке. Его точность : не более двух – трёх знаков после запятой. Вот их формула:
= + , где X - число, из которого необходимо извлечь квадратный корень, а S - число ближайшего точного квадрата.
Давайте попробуем извлечь квадратный корень из 75
X = 75, S = 81. Это означает, что = 9.
Просчитаем по этой формуле :
= 9 + = 9 – = 9 – 0,333 = 8,667
При детальном изучении этого метода легко можно доказать его сходство с вавилонским и поспорить за авторские права изобретения этой формулы, если такие есть в действительности. Метод несложный и удобный.
Глава 9. Метод вычетов нечётного числа
Этот способ предлагает преподаватель математики одной из школ Вашингтона миссис Бруксбанк своим ученикам. Он заключается в том, чтобы последовательно вычитать нечётные числа 1,3,5,7 и т.д. пока не дойдете до нуля, а затем подсчитать число вычитаний. Это и будет ответ.
Например, чтобы получить квадратный корень из 36 и 121 это:
|
|
36 – 1 = 35 – 3 = 32 – 5 = 27 – 7 = 20 – 9 = 11 – 11 = 0
Общее количество вычитаний = 6, поэтому = 6.
121 – 1 = 120 – 3 = 117 – 5 = 112 – 7 = 105 – 9 = 96 – 11 = 85 – 13 =
=72 – 15 = 57 – 17 = 40 – 19 = 21 – 21 = 0
Общее количество вычитаний = 11, поэтому = 11.
Российские учёные называют этот метод арифметическим извлечением квадратного корня, а за глаза «методом черепахи» из-за его медлительности.
Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня. Попробуйте извлечь квадратный корень из числа, например, 5963364 этим способом и вы поймёте, что он «работает», безусловно, без погрешностей для точных корней, но очень длинный в решении.
Глава 10. Другие методы
В ходе моего исследования я отыскала ещё несколько способов решения моей проблемы. Это метод степенных рядов высших степеней и метод определения путём составления таблицы. Изучив эти алгоритмы, я оценила их сложность и в некоторых местах непонимание, поэтому не стала глубоко изучать эти методы, понимая, что это уровень высшей математики или даже научной диссертации.
|
|
Если метод степенных рядов сложен в вычислении и запоминании огромной формулы, то метод таблицы так запутан, что его сложно даже пересказать, а тем более овладеть для практики.
Заключение
Во время работы я нашла не один, а нескольких способов извлечения квадратных корней. В ходе исследования было выявлено, что современной науке известно много таких способов, начиная со способа математиков Древнего Вавилона и заканчивая способом степенных рядов сложных степеней из разделов высшей математики. Мною были изучены, описаны и отработаны на практике 9 способов. Работа по данной теме меня так увлекла, что я решила продолжить свои исследования уже за рамками своего проекта. В учебнике алгебры автор знакомит восьмиклассников с корнями третьей степени и других степеней, предлагая подождать с их изучением до 11 класса. Но мне стало очень интересно узнать и про эту новую для меня тему в математике. И в продолжение моего исследования я хочу разобрать те способы, которые пока мне сложно разобрать, и выяснить, существуют ли способы извлечения корня третьей степени без калькулятора.
Таким образом, хочу подвести итог проделанной работы и сделать вывод. На основании результатов данного исследования доказано, что науке известно много способов извлечения квадратного корня без калькулятора. У всех способов различные алгоритмы и степень сложности вычислений, но не один из них не входит в школьный курс, так как относится к разделу высшей или прикладной математики. В ходе исследования были отработаны 9 способов, а их практическое применение доказало все недостатки и преимущества каждого из методов.
В ходе работы было доказано на практике, что умение извлекать корни без калькулятора не только полезно и актуально, но и очень увлекательно.
Список использованной литературы и сайты Интернета:
1. Мордкович А.Г. Алгебра, 8 класс, учебник - Москва, Мнемозина, 2005г
2. Пичугин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7- 9 классов средней школы. – Москва, Просвещение, 1990 г.
3. Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 8 класса учебных заведений. – Москва, Просвещение, 1994г.
4. http://festival.1september.ru
5. http://ru.wikipedia.ord /wiki /teorema/
Приложение 1
Этот способ нахождения хорошо известен как российским учёным, так и зарубежной общественности. Убедиться в этом легко, зайдя на любой научный или образовательный форум. Ссылки на этот способ почти во всех комментариях студентов и школьников. О нём пишут учёные и исследователи СНГ, Канады, Великобритании и Америки. Я разобрала несколько десятков примеров по этому способу, поэтому недостатка материала в изучении не испытывала. Предлагаю несколько примеров:
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 244; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!