Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

 Если две плоскости (П₁ и П₂) заданы общими уравнениями вида:                        A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0, то очевидно, что угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами                              n₁ = (A₁, B₁, C₁) и n₂ = (A₂, B₂, C₂) (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Угол между плоскостями

 

Из формулы скалярного произведения получаем, что косинус угла между плоскостями П ₁ и П ₂ равен

                                           (3.23)

Условие параллельности плоскостей заключается в параллельности нормалей:

                                                                                  (3.24)

а условие перпендикулярности плоскостей – в перпендикулярности нормалей или равенстве нулю их скалярного произведения

                             A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.                                            (3.25)

 

Выведем еще несколько уравнений плоскости.

Пусть плоскость проходит через точки М₁(х₁, у₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂) и M₃(x₃, y₃, z₃), не лежащие на одной прямой.

Тогда векторы = (x₂– x₁, y₂– y₁, z₂– z₁), = (x₃– x₁, y₃– y₁, z₃– – z₁) и  = (x – x₁,y – y₁, z – z₁), где М(x,y,z) – произвольная точка плоскости, компланарны.

Следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Используя координатную запись смешанного произведения, получаем:

                                                        (3.26)

 

Это уравнение, которому удовлетворяют координаты х, у, z любой точки, лежащей на искомой плоскости, является уравнением плоскости, проходящей через три данные точки.

Способом аналогичным изложенному в предыдущем разделе расстояние от любой точки А пространства до данной плоскости определяется по формуле

           ,                                            (3.27)

где x ^* , y ^* , z ^* – координаты рассматриваемой точки М.

Взаимное расположение двух плоскостей.

Если две плоскости (П₁ и П ₂) заданы общими уравнениями вида:

A₁x +B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0, то

1) если , то плоскости совпадают;

2) если , то плоскости параллельны;

3) если  или  или , то плоскости пересекаются.

Прямая в пространстве.

Замечание. Прямую в пространстве невозможно задать одним уравнением. Для этого требуется система двух или более уравнений.

Первая возможность составить уравнения прямой в пространстве – представить эту прямую как пересечение двух непараллельных плоскостей, заданных уравнениями A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0, где коэффициенты A₁, B₁, C₁ и A₂, B₂, C₂ не пропорциональны:

 

     A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0,

     A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0.                                                   (3.28)

 

Однако при решении многих задач удобнее пользоваться другими уравнениями прямой, содержащими в явной форме некоторые ее геометрические характеристики.

Составим уравнения прямой, проходящей через точку М₀( x₀, y₀, z₀) параллельно вектору s=( m , n , p ).

Определение 3.3.5.1. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором.

Для любой точки М(x , y , z), лежащей на данной прямой, вектор

= (x – x₀, y – y₀, z – z₀) коллинеарен направляющему вектору s. Поэтому имеют место равенства

                                                                          (3.29)

называемые каноническими уравнениями  прямой в пространстве.

В частности, если требуется получить уравнения прямой, проходящей через две точки М₁(х₁, у₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), направляющим вектором такой прямой можно считать вектор = (x₂ – x₁, у₂ – y₁, z₂ – z₁}, и уравнения (3.28) принимают вид:

                                                              (3.30)

это уравнения прямой, проходящей через две данные точки.

 

Если же принять каждую из равных дробей в уравнениях (3.29) за некоторый параметр t, можно получить так называемые параметрические уравнения прямой:

                                                                                (3.31)

 

Для того чтобы перейти от уравнений (3.28) к каноническим или параметрическим уравнениям прямой, требуется найти направляющий вектор этой прямой и координаты любой точки, принадлежащей ей.

Направляющий вектор прямой ортогонален нормалям к обеим плоскостям, следовательно, он коллинеарен их векторному произведению. Поэтому в качестве направляющего вектора можно выбрать n₁´n₂ или любой вектор с пропорциональными координатами.

Чтобы найти точку, лежащую на данной прямой, можно задать одну ее координату произвольно (обычно z = 0), а две остальные найти из уравнений (3.28).

Пример 3.8.

Составить канонические уравнения прямой.

Решение.

Найдем n₁´n₂, n₁ = (2,1,–3), n₂ = (1,–5,4). Тогда n₁·n₂ = (–11, –11, –11). Следовательно, направляющим вектором прямой можно считать вектор (1,1,1).

Будем искать точку на прямой с координатой z₀ = 0. Для координат х₀ и у₀ получим систему уравнений  откуда х₀ = 2, у₀ = 1. Теперь можно составить канонические уравнения прямой

.

Параметрические уравнения той же прямой имеют вид

Замечание. Если какая–либо из координат направляющего вектора равна 0, то предполагается, что для любой точки прямой числитель соответствующей дроби в канонических уравнениях тоже равен 0.

 

---

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 375; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!