Энергетический метод определения перемещений в упругих системах

Обозначение перемещений. Понятия о действительной и возможной работах

Рассмотрим некоторую упругую систему с двумя намеченными на ней точками 1 и 2 (рис. 9.11а). Упругую систему в дальнейшем будем загружать обобщенными силами, которые будут в ней вызывать обобщенные перемещения. В точке 1 приложим некоторую обобщенную силу первого состояния Р₁. Все точки упругой системы получат некоторые определенные перемещения Δ, которые будем обеспечивать двумя индексами. Первый индекс будет обозначать номер силы, в направлении которой происходит данное перемещение. Второй индекс будет указывать на номер силы, которая вызвала это перемещение. Так обозначение перемещения Δ₁₂ следует прочесть так: обобщенное перемещение по направлению обобщенной силы Р₁ вызвано действием обобщенной силы Р₂.(рис. 9.11б). Перемещение же Δ₂₂ происходит по направлению силы Р₂, за счет действия этой же силы.

Действующие обобщенные силы выполняют определенную работу на некоторых перемещениях. Так действующая сила Р₂, изменяющаяся статически от нуля до конечного значения будет совершать на собственном перемещении Δ₂₂ работу А₂₂=½Р₂Δ₂₂. В момент действия силы Р₂ величина приложенной силы Р₁ не изменяется. Поэтому сила Р₁ совершит работу А₁₂=Р₁Δ₁₂. Работа обобщенной силы на собственном перемещении называется действительной. Работа обобщенной силы на перемещении, вызванном другой силой, называется возможной или виртуальной.

Теоремы о взаимности работ (Бетти) и взаимности перемещений (Максвелл)

Сначала в первом состоянии загрузим упругую систему статически силой Р₁ (рис. 9.12а). Точки 1 и 2 этой системы получат перемещения Δ₁₁ и Δ₂₁. Поскольку сила Р₁ является переменной, то на собственном перемещении она совершит действительную работу А₁₁=½Р₁Δ₁₁. Затем во втором состоянии в точке 2 статически приложим силу Р₂ к деформированной системе. Точки 1 и 2 получат дополнительные перемещения Δ₁₂ Δ₂₂. Сила Р₁ ,сохраняя постоянное значение совершит, возможную работу на перемещении Δ₁₂ А₁₂=Р₁Δ₁₂. А сила Р₂ на перемещении Δ₂₂ совершит действительную работу А₂₂=½Р₂Δ₂₂. За весь процесс нагружения двумя силами Р₁ и Р₂ будет совершена работа в количестве

А=А₁₁+А₁₂+А₂₂=½Р₁Δ₁₁+Р₁Δ₁₂+½Р₂Δ₂₂ (а)

А теперь к упругой системе (рис. 9.12б) приложим одновременно силы Р₁ и Р₂ статически с теми же конечными значениями, что и ранее. Эти силы вызовут в конечном итоге, те же суммарные перемещения. Работа, совершенная этими двумя силами

А=½Р₁(Δ₁₁+Δ₁₂)+½Р2(Δ22+Δ₂₁) (б)

Приравнивая (а) и (б), получаем:

½Р₁Δ₁₁+Р₁Δ₁₂+½Р₂Δ₂₂=½Р₁(Δ₁₁+Δ₁₂)+½Р₂(Δ22+Δ₂₁)

После упрощения получим

Р₁Δ₁₂=Р₂Δ₂₁,(9.7)

или

А₁₂=А₂₁(9.8)

Формулы (9.7) и (9.8) выражают мысль о том, что виртуальная работа сил первого состояния на перемещениях по их направлению, вызванных действием сил второго состояния равна виртуальной работе сил второго состояния на перемещениях по их направлению, вызванных действием сил первого состояния. В этом заключается смысл теоремы Бетти о взаимности работ.

В частном случае, когда силы первого и второго состояния единичные, то есть Р₁=Р₂=1, тогда формула (9.7) принимает вид:

δ₁₂=δ₂₁ (9.9)

Формула (9.9) говорит о том, что перемещения по направлению сил первого состояния, вызванные действием сил второго состояния равны перемещениям по направлению сил второго состояния, вызванные действием первого состояния. Это положение носит название теоремы Максвелла.

Формулы (9.7) и (9.9) являются важными в строительной механике. Так на основании теоремы Бетти О. Мором была получена универсальная формула для определения перемещений в упругих системах. В дальнейшем эта формула будет рассматриваться применительно к плоским упругим системам.

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 345; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!