Описание обработки результата измерений по графику
Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Международный государственный экологический университет им. А.Д. Сахарова Факультет мониторинга окружающей среды Кафедра физики и высшей математики
Лабораторная работа № 3
ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ
Минск
2013
Изучение колебаний струны
Цель работы: исследовать колебания гибкой однородной струны, натянутой между двумя неподвижными точками, определить массу одного метра струны, определить среднеквадратичную погрешность величины, найденной по графику.
Приборы и оборудование: металлическая рейка с блоком, стальная струна, жестко закрепленная с одной стороны; комплект грузов; электромагнит; генератор переменного тока, рулетка.
1. Теоретическая часть:
Колебания струны
Если в натянутой и закрепленной с обеих сторон струне возбудить колебания, то по струне побегут волны, которые отражаются от точек крепления и, складываясь друг с другом, создают сложную картину колебаний. Рассмотрим, как распространяются волны по струне. Для этого оттянем струну с одной стороны и затем отпустим. Созданное нами возмущение передвигается по струне, не меняя своей формы. Такое перемещающееся возмущение называется бегущей волной. В нашем случае отклонение частиц струны происходит в направлении, перпендикулярном направлению движения волны (направлению струны). Такие волны называются поперечными.
|
|
|
Скорость, с которой передвигается возмущение по струне, называется скоростью волны. Мы будем обозначать ее буквой 
. Эта скорость не имеет ничего общего со скоростью u, которую приобретают частицы струны в процессе прохождения волны. Эти две скорости в поперечной волне перпендикулярны друг другу. Не равны и их численные значения. Скорость u зависит от того, насколько сильно была оттянута струна перед тем, как ее отпустили. Эта скорость непрерывно меняется во времени и меняет знак, когда частицы струны изменяют направление своего движения. Скорость волны определяется только плотностью струны и ее натяжением.
Рассмотрим два положения волны: начальное и последующее.
Обозначим через Dt время смещения волны, а через Dx – расстояние между аналогичными точками на обеих кривых (поскольку форма возмущения при передвижении струны не меняется, величина Dx не зависит от выбора этих точек). Ясно, что
. (1)
Как уже отмечалось, картина колебаний в струне создается наложенными друг на друга бегущими в разные стороны многократно отраженными волнами и, вообще говоря, нерегулярна и сложна. Можно, однако, заметить, что при определенном натяжении струны картина стабилизируется – в струне возбуждаются стоячие волны. Они нас и будут интересовать.
|
|
|
Гармонически зависящие от времени бегущие волны описываются уравнениями типа
(2)
(3)
В этих формулах y1 и y2 – смещения точек струны из положения равновесия, A и B – амплитуды, w – круговая частота волны, 
– скорость перемещения волны. (Знак минус в формуле (3) не обязателен. Преимущество, возникающее от его введения, выяснится позднее.) Легко видеть, что волна (2) передвигается в сторону увеличения, а волна (3) – в сторону уменьшения x.
Рассмотрим результирующее волновое движение, составленное из волн (2) и (3):
Перепишем y в виде
(4)
Преобразуем выражение, стоящее в фигурных скобках, по формуле для разности синусов двух углов ( 
):
(5)
При A = B в выражении (5) остается только первый член, описывающий стоячую волну. В стоячей волне все точки колеблются в одной фазе, а их амплитуда зависит от x по синусоидальному закону. Форма, которую принимает струна, в любой момент времени представляет собой синусоиду.
|
|
|
Размах этой синусоиды зависит от времени.
В стоячей волне различают узлы колебаний – точки, в которых смещение отсутствует (т.е. 
), и пучности – точки, в которых амплитуда колебаний максимальна (т.е. 
). При x = 0, у закрепленного конца струны, всегда располагается узел стоячей волны. Если бы в формуле (3) не был поставлен знак минус, то вместо выражения 
мы получили бы 
, что соответствовало бы отсчету координат не от узла, а от пучности волны.
Второй член в (5) описывает бегущую волну. Он появляется при неравных амплитудах A и B. Бегущая волна вызывает колебательное движение в узлах стоячей волны.
Найдем координаты узлов стоячей волны. Из условия 
, получим 
где n – любое целое число. Введем в эту формулу вместо 
длину волны колебаний, определяемую формулой
, (7)
где f – частота колебаний (выраженная в герцах); имеем:
.
. (8)
Последовательные узлы колебаний отстоят друг от друга на половину длины волны.
Точки крепления струны обеспечивает ее неподвижность. Следовательно, они отстоят друг от друга на целое число полуволн. Таким образом, стоячие волны могут возбуждаться только на таких частотах, при которых на длине струны L укладывается целое число полуволн.
|
|
|
или 
(9)
Колебание, при котором на длине струны укладывается одна полуволна, называется основным тоном. Все остальные стоячие волны носят название обертонов.
С учетом (7) формула (5) может быть записана в виде
(10)
Все точки стоячей волны, заключенные между двумя последовательными узлами, колеблются в одной и той же фазе, но с разными амплитудами. При переходе через узел амплитуда волны меняет знак (или, что одно и то же, фаза меняется на p).
Как мы уже отмечали, в отсутствие второго члена в (5) или (10) узлы колебаний неподвижны. Поэтому через них не может перетекать энергия. В реальных условиях всегда существуют те или иные потери энергии, которые компенсируются источником. Это означает, что второй член в (5) и (10) в реальных условиях не может обратиться в нуль: при колебаниях наряду со стоячей волной всегда присутствует бегущая волна, переносящая энергию от источника по всей колеблющейся струне.
Обратимся теперь к зависимости длины стоячих волн от натяжения струны. Пусть при некотором натяжении и некоторой частоте генератора в струне возбудились стоячие волны. Найдем зависимость скорости бегущей волны от натяжения струны.
Представим себе веревку, натянутую от источника волн S до дерева, находящегося на очень большом расстоянии. Веревка туго натянута, натяжение в ней равно Т ньютон. Предположим, что S внезапно начинает поднимать конец веревки с вертикальной скоростью u и этот подъем продолжается неопределенно долго. В результате образуется излом, который перемещается по веревке со скоростью 
.
Любое возмущение, распространяющееся по веревке, можно представить как суперпозицию множества следующих один за другим изломов. Поэтому, вычислив скорость 
, с которой распространяется излом можно найти скорость распространения вдоль веревки волны любой формы.
Рассмотрим две фотографии веревки, сделанные через время 
. За это время левый конец веревки переместится на расстояние 
вверх, а излом – на расстояние 
вправо. Если веревка нерастяжима, то незакрепленный конец должен перемещаться также и в горизонтальном направлении. Однако будем считать, что угол излома α небольшой, и вертикальное перемещение пренебрежимо мало.
Рассмотрим силы, приложенные к веревке. Со стороны дерева на веревку действует сила Т, со стороны источника – сила 
. Поскольку веревка в горизонтальном направлении не перемещается, то горизонтальная составляющая силы 
должна быть равна Т
. (11)
При малых углах α получим, что 
.
Действие вертикальной составляющей силы : 
, приводит к тому, что все новые и новые участки веревки приходят в движение со скоростью u. За время 
в движение вовлекается участок длиной 
и массой 
, где 
– линейная плотность (масса 1 м) веревки. Импульс участка равен 
, и получен он в результате действия импульса силы 
. С учетом (11) запишем
.
Скорость движения излома 
. Поэтому
.
Принимая во внимание, что 
, получим
(12)
Подставляя это выражение в (9), получим окончательно:
. (13)
Определяемые формулой (13) частоты не зависят от модуля Юнга материала струны. Такой на первый взгляд парадоксальный результат является следствием того, что мы пренебрегли изменением натяжения струны при колебаниях.
Если струну привести в движение, а потом предоставить ее самой себе, то она будет совершать одно из колебаний, когда на длине струны укладывается целое число длин полуволн, либо это будет смесь нескольких таких колебаний. Эти колебания называются собственными колебаниями.
При действии на струну силы, изменяющейся по гармоническому закону, амплитуда колебаний струны значительно увеличивается, когда сила действует с частотой, близкой к частоте собственных колебаний, определяемой выражением (13). Это явление называется резонансом.
В отличие от простейших колебательных систем, таких как математический маятник или пружинный маятник, в которых резонанс наблюдается на одной частоте, струна является системой с целым набором собственных частот.
При колебаниях реальной струны всегда происходят потери энергии (часть энергии теряется вследствие трения о воздух; другая часть уходит через концы струны, и т.д.), приводящие, как уже говорилось, к появлению бегущей волны. Если потери энергии за период малы по сравнению с запасом колебательной энергии в системе, то влияние бегущей волны невелико и развитая выше теория хорошо работает.
Так как энергия волны пропорциональна квадрату амплитуды, то наше условие может быть переписано в виде
a2<< 
, (14)
где a – амплитуда бегущей волны (которую следует измерять по размытию узла), а y0 – амплитуда стоячей волны (определяемая, естественно, в пучности, ближайшей к узлу).
Описание установки
В работе исследуются колебания гибкой струны, изготовленной из стального троса, заключенного в пластиковую оболочку.
Схема установки представлена на рис.5.
На металлической рейке установлены два упора, которые задают длину колеблющейся части струны. Один конец струны жестко прикреплен к рейке. Другой конец переброшен через блок, и к нему крепится груз. За счет изменения количества дополнительных грузов изменяется сила натяжения струны.
Рейка крепится к столу при помощи струбцин.
Струна приводится в движение за счет притяжения к электромагниту, установленному вблизи струны. Расстояние между электромагнитом и струной может регулироваться. Частота колебаний струны равна частоте колебаний напряжения, подаваемого на электромагнит от генератора.
Описание обработки результата измерений по графику
Результаты экспериментов обычно представляют не только в виде таблиц, но и в графической форме. Для графиков следует использовать специальную бумагу (миллиметровую, логарифмическую или полулогарифмическую). При построении графиков следует разумно выбирать масштабы, чтобы измеренные точки располагались на всей площади, листа. Графическое представление результатов позволяет быстро понять основные характерные черты наблюдаемой зависимости и обнаружить ошибочные результаты.
Точки, наносимые на графики, должны изображаться четко и ясно. Их следует отмечать карандашом, так как иначе ошибочно нанесенную точку нельзя удалить с графика, не испортив его. Способ изображения на графике экспериментальных результатов зависит от того, известна ли их погрешность. Если она неизвестна (что чаще всего и бывает), то результаты изображаются точками, а если известна, то лучше изображать их не точками, а крестами. Полуразмер креста по горизонтали должен быть равен стандартной погрешности по оси абсцисс, а его вертикальный полуразмер – погрешности по оси ординат. Оси графика должны иметь ясные, четкие обозначения. Рядом сделениями – на удобных расстояниях – должны быть нанесены цифры, позволяющие установить значения, соответствующие делениям шкалы. Цифры принято располагать по краям сетки.
Через экспериментальные точки всегда следует проводить самую, простую кривую, совместимую с этими точками, т. е. кривую, от которой экспериментальные данные отступают, как правило (в 2/3 случаев), не более чем на стандартную ошибку. При проведении кривой нужно следить за тем, чтобы на каждом достаточно большом ее участке экспериментальные точки располагались как выше, так и ниже кривой. При графической обработке результатов следует помнить, что на глаз можно точно провести через экспериментальные точки только прямую линию. Поэтому при построении графика следует стремиться к тому, чтобы ожидаемая зависимость имела вид прямой линии.
Задача о проведении наилучшей прямой сводится в этом случае к подбору параметра в формуле
(15)
Приведем правила для определения погрешностей, которые следует приписывать графически найденным параметрам прямой линии. Пусть прямая описывается формулой (15).
Чтобы найти погрешность в определении параметра а, нужно смещать прямую вниз параллельно самой себе, пока выше нее не окажется вдвое больше точек, чем снизу.(Нижняя пунктирная линия на рисунке 6) Затем следует сместить ее вверх, пока снизу не окажется вдвое больше точек, чем сверху. (Верхняя пунктирная линия на рис.6)
Наилучшей прямой будет средняя прямая, между проведенными по правилам.
Пусть смещение между этими прямыми равно 
(см. рис. 6). Погрешность в определении а равна
(16)
где п – полное число точек на графике.
Погрешность в определении параметра b находится аналогичным образом (рис. 7). «Рабочий участок» оси абсцисс (участок, на котором расположены экспериментальные точки) делится на три равные части. Средний участок в дальнейшей работе не участвует. Для определения σb прямая поворачивается так, чтобы на левом участке выше нее оказалось вдвое больше точек, чем под ней, а на правом участке – наоборот. Затем кривая поворачивается так, чтобы на левом участке 2/3 точек лежали ниже прямой, а на правом – выше нее. Обозначим разницу в угловых коэффициентах этих прямых через Δb. Тогда
, (17)
где п – полное число точек на графике.
В качестве наилучшей прямой будет средняя прямая (проведенная как биссектриса).
Если экспериментальная прямая точно проходит через начало координат и может быть задана формулой
(18)
«Рабочим» участком в этом случае является весь диапазон по оси X от нуля до последней точки.Его следует разбить на три части и самую левую – ближнюю к началу координат – часть во внимание не принимать. Затем нужно провести через начало координат две прямые так, чтобы выше одной из них лежало 2/3 точек, а выше другой – 1/3. Различие между этими прямыми определяет Δk. Стандартная погрешность находится по формуле
, (19)
где п – полное число точек на графике.
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 192; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!