Примеры расчетов переходных процессов и функции веса

Далее расчёты переходного процесса, функции веса с построением их графиков выполним на числовых примерах.

Вид переходного процесса определяется корнями характеристического уравнения, образуемого приравниванием к нулю либо многочлена знаменателя передаточной функции, либо сомножителя при у(р) в операторном уравнении.

Корни характеристического уравнения действительные.

Пусть задано операторное уравнение САУ

(3.6)

1. Разложение знаменателя на простейшие сомножители

Решаем характеристическое уравнение

(3.7)

относительно p. Оно имеет следующие действительные корни:

(3.8)

Следовательно, характеристический многочлен можно разложить на множители следующим способом:

(3.9)

2.Определение оригинала табличным способом

Представляем выражение h ( p ) в виде суммы простейших дробей, оригиналы для каждой из которых имеются в таблице 2.1:

(3.10)

Чтобы коэффициенты при степенях p в левой и правой частях равенства (3.10) были бы одинаковыми, необходимо:

. (3.11)

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях p, получаем:

(3.12)

Решая, эту систему уравнений, получаем:

(3.13)

Окончательно получаем разложение h ( p ) на табличные выражения:

(3.14)

Перейдя согласно табл. 2.1 от изображений к оригиналам, получим:

(3.15)

и для функции веса:

(3.16)

3. Построение графика переходного процесса

Для построения графика надо определить время счета и шаг изменения времени.

Определение времени счета:

Приводим выражение h ( t ) к стандартному виду, так что бы свободный член был равен 1:

(3.17)

На бесконечности значение h ( t ) стремится к установившемуся значению h _уст =3, так как обе экспоненты в выражении (3.17) обращаются в нуль.

Находим время переходного процесса для каждой из экспонент.

Переходный процесс считается завершенным, когда его график h ( t ) попадает в 5%-зону установившегося значения, и далее не выходит из нее. В представлении переходного процесса в виде (3.17) установившееся значение для выражения, заключённого в скобки, равно 1.Поэтому время t _пп1, в течение которого затухает 1-я экспонента, находится из уравнения

(3.18)

Аналогично находим время переходного процесса для 2-й экспоненты:

(3.19)

Время t _пп всего переходного процесса не равно ни t _пп1, ни t _пп2, но меньше большего из этих двух значений. Точное значение t _пп можно найти только из графика переходного процесса. Для аналитического его определения потребовалось бы решить трансцендентное уравнение, что невозможно.

Определение шага вычислений:

Шаг вычислений D t выбираем таким образом, чтобы объём вычислений был минимальный и достаточный для построения графика. Здесь используется практическое правило: для построения гладкого графика вручную достаточно иметь 5-10 точек графика, через которые затем "на глаз" проводится весь график.

Согласно оценке (3.18) времени t _пп1 для построения составляющей графика h ( t ), соответствующей 1-й экспоненте, шаг вычислений D t ₁ должен быть равен 0,32...0,64 с. Аналогично, основываясь на оценке t _пп2, находим D t ₂ =0,04...0,08 с. Поэтому в интервале изменения t от 0 до 0,4 с вычисления ведём с шагом D t ₁ =0,08 с, а далее до времени 3,2 с - с шагом D t ₂ =0,4 с. Результаты вычислений сводятся в таблицу 3.1.

Таблица 3.1 - Переходный процесс и функция веса

T	0	0,08	0,16	0,24	0,32	0,4	0,8	1,2	1,6	2	2,4	2,8	3,2
h(t)	0													3
k(t)	1													0

По данным этой таблицы строятся графики h ( t ) и k ( t ).

3.1.2 Корни характеристического уравнения комплексные

Этапы расчётов те же, что и в предыдущем примере, поэтому нумерацию этапов и названия далее не приводим.

Пусть задана передаточная функция

(3.20)

Решаем характеристическое уравнение

(3.21)

Корни комплексные, поэтому далее решение идет по другому пути.

Выделяем полный квадрат в знаменателе, а затем, как и раньше раскладываем выражение h ( p ) на сумму табличных выражений.

Равенство двух этих выражений дает нам систему уравнений для расчета значений коэффициентов А, В и С:

(3.23)

Решая, эту систему уравнений, получаем:

(3.24)

Окончательно изображение переходного процесса примет вид:

(3.25)

Переходим согласно табл.2.1 от изображений к оригиналам:

(3.26)

Далее находим функцию веса:

. (3.27)

Определение времени счета:

Преобразуем данное выражение h ( t ) следующим образом:

(3.28)

Сумму в скобке можно представить в виде одной функции sin :

(3.29)

Мы имеем право на замену дробей 0,242 и 0,97 на cos g и sin g , соответственно, т.к. сумма их квадратов равна 1: 0,242²+0,97²=1. Это свойство коэффициентов при sin w t и cos w t (в данном случае w=2) в выражении (3.29) верно всегда при выполнении преобразований, приведенных в этом выражении.

C учетом (3.29) h ( t ) можно представить в таком виде:

, (3.30)

где (вычислить g можно по любой формуле из приведенного их ряда).

Окончательно:

(3.31)

Так как функция sin по модулю не превосходит 1, то время переходного процесса можно вычислить так же, как и раньше, из уравнения:

(3.32)

График переходного процесса колебательный и будет содержать экстремальные точки. Для их нахождения используется производная от h ( t ), т.е. функция веса k ( t ):

k(t)=0, 1,875e^-0,5tsin2t+e^-0,5tcos2t=0, tg2t=-1/1,875=-0,533,

откуда

t _e =(arctg(-0,533)+ p n)/2=-0,245+ p n/2 (рад), где n=1,2,3...

Значения t _e : t _e ₁ =1,325 c, t _e ₂ =2,9 c; t _e ₃ =4,465 c, t _e ₄ =6,03 c и т.д.

Определение шага вычислений:

Из времени t _пп=6,1 с находим шаг вычислений D t =1с; Время t=0..7.

Далее заполняется таблица (табл.3.2) вычислений при найденных значениях t и затем строятся графики h ( t ) и k ( t ).

Таблица 3.2 - Переходный процесс и функция веса

t	0	1,325	2	2,9	3,7	4,465	5	6,03	7	∞
h(t)	0									1
k(t)	1									0

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 657; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!