ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА ДЛЯ ГРУПП, СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕЁ.
Пусть дана конечная группа порядка n, для определения мультипликативная.
А={ , ,…, }.
Теорема Лагранжа.
Для любой конечной группы порядок любой её подгруппы является делителем порядка самой группы.
Доказательство:
Наша цель доказать, что n делится нацело k.
Пример, |G|=12, | |:1, 2, 3, 4, 6, 12.
Запишем левостороннее разложение группы G по подгруппе А.
G= AÈ AÈ…È A, j - индекс разложении, то есть количество разложения смежных классов.
По свойству 4 смежных классов, любой левый смежный класс состоит из k различных элементов группы G, так как смежных классов j, то всего в разложении будет k-j элементов.
По условию, число элементов в группе равно n, получили равенство n=k-j ⇨ n делится нацело k.
Ч.т.д.
Следствие 1. Порядок любого элемента группы G, где G конечная группа является делителем порядка самой группы.
Доказательство: Действительно, порядок любого элемента группы G совпадает с порядком порожденной им циклической подгруппы по теореме Лагранжа следствие доказано.
Следствие 2. Любая группа простого порядка p является циклической.
Доказательство: Действительно, с помощью каждого элемента группы G можно построить циклическую подгруппу данной группы.
Будет только одна подгруппа первого порядка порожденная нейтральным элементом. Все остальные подгруппы будут иметь порядок Р, так как Р – простое число, а по теореме Лагранжа порядок группы является делителем порядка группы.
|
|
Получим, что сама группа совпадает с циклическими подгруппами, следовательно является циклической.
НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ ГРУППЫ.КРИТЕРИЙ НОРМАЛЬНОГО ДЕЛИТЕЛЯ.
Пусть дана для определенности мультипликативная группа G и пусть А – произвольно выбранная подгруппа группы G.
Определение 1.
Подгруппа А группы G называется нормальным делителем группы G если, левосторонне разложение группы G по подгруппе А совпадает с правосторонним разложением группы G по подгруппе А.
Если группа G – абелева, то любая её подгруппа является нормальным делителем группы G.
Определение 2.
Подгруппа А группы G называется нормальным делителем группы G, если "xÎG: x⋅A=A⋅x.
Если подгруппа А группы G является нормальным делителем группы G, то "xÎG и "аÎG, $ , ÎA:
1. x⋅a= ⋅x;
2. a⋅x=x⋅ ;
Возьмем "аÎG, и пусть "xÎG, элементы вида ⋅a⋅x называются сопряженными элементами для элемента а.
Заметим, что элементы вида x⋅a⋅ так же будут сопряженными с элементом а.
x⋅a⋅ = ⋅a⋅x.
Справедлив критерий нормального делителя:
Подгруппа А группы G будет нормальным делителем группы G тогда и только тогда когда подгруппа А вместе с любым а будет содержать все элементы ему сопряженные.
|
|
Доказательство:
I. Необходимость;
Дано: А – нормальный делитель группы G.
Доказать: "аÎА, ⋅a⋅xÎА, "xÎG.
Доказательство:
Так как А – нормальный делитель группы G.
x⋅a= ⋅x; a⋅x=x⋅ , где , ÎA.
Воспользуемся вторым равенством и умножим обе части на слева.
Заметим, что ÎG, так как G – группа, получим:
⋅(a⋅x)= ⋅x⋅ ,
⋅a⋅x=( ⋅ x)⋅ ,
⋅a⋅x= , где ÎА ⇨ ⋅a⋅xÎА.
II. Достаточность.
Дано: "аÎА, ⋅a⋅xÎА, "xÎG.
Доказать: А – нормальный делитель группы G.
Доказательство:
Чтобы доказать, что А – нормальный делитель группы G, достаточно доказать выполнимость двух равенств определяющих нормальный делитель.
Так как ⋅a⋅xÎА, то обозначим ⋅a⋅x= , где ÎА.
Умножим обе части последнего равенства на xÎG слева:
x⋅( ⋅a⋅x)= x⋅ ,
(x⋅ )⋅a⋅x= x⋅ ,
a⋅x= x⋅ – выполнилось равенство 2.
Заметим, что ⋅a⋅x сопряжен с элементом x, "xÎG, то ⋅a⋅xÎА.
Тогда ⋅a⋅x= , где ÎА.
Умножим обе части равенств на x справа: ( ⋅a⋅x)⋅x= ⋅x,
a⋅x= ⋅x – выполнилось 1 равенство.
Значит А – нормальный делитель группы G.
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 315; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!