Среднеквадратическое отклонение
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
Выравнивание статистического графика распределения.
Определение границ доверительного интервала.
Цель работы: Определить закон распределения полученной статистической совокупности в лабораторной работе № 1 и № 2. Определить первый и второй момент распределения.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Полученное распределение несет в себе элементы случайности, которые возникают в силу ограниченности числа опытов. На практике часто возникает вопрос, как подобрать характеристику статистического ряда, наиболее полно выражающую основные черты статистического наблюдения. Полученная характеристика всегда требует выравнивания. Чаще всего вид характеристики выбирается заранее с учетом внешнего вида полученного ряда распределения.
Полученную в лабораторной работе №2 кумулятивную кривую использовать неудобно, что приводит к невозможности точно подобрать описывающий ее закон. Для подбора закона ее необходимо выровнять. Выравниванию подвергаются в основном гистограммы.
Основная задача выравнивания это замена дискретной функции на более плавную описываемую более простой зависимостью.
Сглаживание функции производится исходя из принципа «наименьших квадратов» считая, что наилучшим описанием для данного класса функции считается тот, для которого сумма квадратов отклонений сводится к минимуму. Класс функции либо известен заранее, либо определяется по другим признакам. Аналогично обрабатывается и статистическое распределение.
|
|
|
Если влияющих факторов много они независимы или слабо зависимы и их влияние сравнимо по своему влиянию на рассеяние суммы, то в качестве основного выбирают нормальный закон распределения
f (Х) = 
, (12)
где mХ – математическое ожидание;
σ – среднеквадратическое отклонение.
Любая аналитическая функция должна обладать основными свойствами плотности.
f (Х) 
0; 
.
Функция подбирается исходя из опытных данных или по найденным моментам mХ и σ таким образом, чтобы максимальным образом согласовать выравниваемое аналитическое выражение со статистическим. Для согласования используют метод моментов исходя из того, что бы основные моменты функций совпадали. В основном используются первые четыре момента.
Для нормального распределения считаются важными два первых момента это математическое ожидание и второй начальный момент.
Математическое ожидание - это сумма всех возможных значений случайной величины умноженная на вероятность появления этих значений. Для расчета используются средние значения интервалов.
|
|
|
m х = 
· р i ), (13)
где 
- среднее значение интервала;
рi - частость.
Второй начальный момент
α 2 = 
. (14)
Средне статистическое значение дисперсии – характеризует разброс значений случайной величины около его математического ожидания.
DX = 
= α 2 - m х 2 . (15)
Среднеквадратическое отклонение
. (16)
Используя полученные характеристики закона распределения, определяется значение функции для заданных интервалов и строится выровненный график распределения.
Пример
Используя статистические данные, приведенные в лабораторных работах №1 и №2, построим выровненную функцию распределения.
Решение
Заполним таблицу 1 параметрами необходимыми для расчета.
Таблица 1 - Интервалы
| № | Интервалы | рi | n |
|
| 1 | 0.19-0.21 | 0.03 | 1 | 0.20 |
| 2 | 0.21-0.23 | 0.17 | 5 | 0.22 |
| 3 | 0.23-0.25 | 0.40 | 12 | 0.24 |
| 4 | 0.25-0.27 | 0.33 | 10 | 0.26 |
| 5 | 0.27-0.29 | 0.06 | 2 | 0.28 |
Математическое ожидание
m х = 0,20·0,03+0,22·0,17+0,24·0,40+0,26·0,33+0,28·0,06 = 0,242 мм
|
|
|
Второй начальный момент
α 2 =0,202·0,03+0,222·0,17+0,242·0,40+0,262·0,33+0,282·0,06 = 0,0616
Средне статистическое значение дисперсии
DX = 0,0616 - 0,2422= 0,003036
Среднеквадратическое отклонение
Определим значения функции для нормального закона распределения приложение 1.
f1(Х) = 
f2(Х) = 
…
Полученный результат занесем в таблицу 2.
Таблица 2 - Расчетные значения нормальной функции
| Хi | 0,19 | 0,21 | 0,23 | 0,25 | 0,27 | 0,29 |
| f(X) | 4,63 | 6,11 | 7,07 | 7,16 | 6,36 | 4,95 |
Построим график распределения выровненной функции. Задаваясь значениями узловых точек интервала Х и соответствующими им значениями функции 
.
Построенная зависимость по своей форме является графиком нормальной функции распределения.
Вывод: полученная характеристика соответствует нормальному закону распределения, что подтверждает результат, полученный в лабораторной работе № 2. Основными характеристиками функции являются: математическое ожидание - 0,242 мм, второй начальный момент - 0,0616, среднеквадратическое отклонение – 0,055.
ХОД РАБОТЫ
1. Используя данные, полученные в лабораторных работах № 1 и № 2, определите моменты полученного распределения.
2. Определите значения функции для нормального закона распределения (как наиболее вероятного).
|
|
|
3. По полученным значениям нормальной функции постройте расчетный закон распределения и сравните с полученным в лабораторной работе № 2.
4. Сделайте вывод по полученным расчетам.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Сравните полученную расчетную нормальную функцию с кумулятивной кривой, в чем ее преимущество.
2. Охарактеризуйте понятие математического ожидания.
3. Охарактеризуйте дисперсию статистического распределения.
4. Назовите основные характеристики полученного закона распределения.
5. Охарактеризуйте моменты которые соответствуют нормальному закону распределения.
Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 122; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!