Нахождение ранга с помощью элементарных преобразований матрицы (методом Гаусса).



Рассмотрим еще один способ нахождения ранга матрицы.

Следующие преобразования матрицы называют элементарными:

· перестановка местами строк (или столбцов) матрицы;

· умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k, отличное от нуля;

· прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца) матрицы, умноженных на произвольное число k.

Матрица В называется эквивалентной матрице А, если В получена из А с помощью конечного числа элементарных преобразований. Эквивалентность матриц обозначается символом « ~ », то есть, записывается A ~ B.

Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований матрицы основано на утверждении: если матрица В получена из матрицы А с помощью конечного числа элементарных преобразований, то Rank(A) = Rank(B).

Справедливость этого утверждения следует из свойств определителя матрицы:

· При перестановке строк (или столбцов) матрицы ее определитель меняет знак. Если он равен нулю, то при перестановке строк (столбцов) он остается равным нулю.

· При умножении всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k отличное от нуля, определитель полученной матрицы равен определителю исходной матрицы, умноженному на k. Если определитель исходной матрицы равен нулю, то после умножения всех элементов какой-либо строки или столбца на число k определитель полученной матрицы также будет равен нулю.

· Прибавление к элементам некоторой строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца) матрицы, умноженных на некоторое число k, не изменяет ее определителя.

Суть метода элементарных преобразований заключается в приведении матрицы, ранг которой нам требуется найти, к трапециевидной (в частном случае к верхней треугольной) с помощью элементарных преобразований.

Для чего это делается? Ранг матриц такого вида очень легко найти. Он равен количеству строк, содержащих хотя бы один ненулевой элемент. А так как ранг матрицы при проведении элементарных преобразований не изменяется, то полученное значение будет рангом исходной матрицы.

Приведем иллюстрации матриц, одна из которых должна получиться после преобразований. Их вид зависит от порядка матрицы.

· Для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых больше числа столбцов (p > n).

или

· Для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых меньше числа столбцов (p < n).

или

· Для квадратных матриц А порядка n на n.

или

Эти иллюстрации являются шаблонами, к которым будем преобразовывать матрицу А.

Опишем алгоритм метода.

Пусть нам требуется найти ранг ненулевой матрицы А порядка (p может быть равно n).

Будем считать, что элемент a11 отличен от нуля. В противном случае мы можем перестановкой строк и (или) столбцов преобразовать матрицу так, чтобы «новый» элемент a11 стал ненулевым.

Итак, . Умножим все элементы первой строки матрицы А на . При этом получим эквивалентную матрицу, обозначим ее А(1):

К элементам второй строки полученной матрицы А(1) прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на . К элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на . И так далее до p-ой строки. Получим эквивалентную матрицу, обозначим ее А(2):

Если все элементы полученной матрицы, находящиеся в строках со второй по p-ую, равны нулю, то ранг этой матрицы равен единице, а, следовательно, и ранг исходной матрицы равен единице.

Если же в строках со второй по p-ую есть хотя бы один ненулевой элемент, то продолжаем проводить преобразования. Причем действуем абсолютно аналогично, но лишь с отмеченной на рисунке частью матрицы А(2)

Если , то переставляем строки и (или) столбцы матрицы А(2) так, чтобы «новый» элемент стал ненулевым. Итак, . Умножаем каждый элемент второй строки матрицы А(2) на . Получаем эквивалентную матрицу А(3):

К элементам третьей строки полученной матрицы А(3) прибавим соответствующие элементы второй строки, умноженные на . К элементам четвертой строки прибавим соответствующие элементы второй строки, умноженные на . И так далее до p-ой строки. Получим эквивалентную матрицу, обозначим ее А(4):

Если все элементы полученной матрицы, находящиеся в строках с третьей по p-ую, равны нулю, то ранг этой матрицы равен двум, а, следовательно, Rank(A) = 2.

Если же в строках с третьей по p-ую есть хотя бы один ненулевой элемент, то продолжаем проводить преобразования. Причем действуем абсолютно аналогично, но лишь с отмеченной на рисунке частью матрицы А(4):

И так действуем дальше, пока не придем к одному из рассмотренных выше шаблонов, что позволит определить ранг исходной матрицы.

Разберем решения нескольких примеров.

 

Пример.

Найдите ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.

Решение.

Так как элемент a1 1 отличен от нуля, то умножим элементы первой строки матрицы А на :

Прибавим к элементам второй строки соответствующие элементы первой строки, умноженные на (- 3). К элементам третьей строки прибавим элементы первой строки, умноженные на (- 1). И так далее:

Элемент отличен от нуля, поэтому мы можем умножить элементы второй строки матрицы А(2) на :


К элементам третьей строки полученной матрицы прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на ; к элементам четвертой строки – элементы второй строки, умноженные на ; к элементам пятой строки – элементы второй строки, умноженные на :

Все элементы третьей, четвертой и пятой строк полученной матрицы равны нулю. Так с помощью элементарных преобразований мы привели матрицу А к трапецеидальному виду, откуда видно, что Rank(A(4)) = 2. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен двум.

 

Замечание.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: при проведении элементарных преобразований не допускаются приближенные вычисления!

Рассмотрим еще один пример.

Пример.

Методом элементарных преобразований найдите ранг матрицы .

Решение.

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы А, так как элемент a1 1равен нулю, а элемент a21 отличен от нуля:

В полученной матрице элемент равен единице, поэтому не нужно производить умножение элементов первой строки на . Сделаем все элементы первого столбца, кроме первого, нулевыми:

Так первый столбец преобразован к нужному виду.

Элемент в полученной матрице отличен от нуля. Умножим элементы второй строки на :

Второй столбец полученной матрицы имеет нужный вид, так как элемент уже равен нулю.

Так как , а , то поменяем местами третий и четвертый столбцы:

Умножим третью строку полученной матрицы на :

На этом заканчиваем преобразования. Получаем Rank(A(5))=3, следовательно, Rank(A)=3.

Ответ:

ранг исходной матрицы равен трем.

 

5.Теорема Кронекера-Капелли.

Элементарными преобразованиями над строками матриц называются следующие преобразования строк:

1. умножение строки на ненулевое число;

2. перестановка двух строк;

3. прибавление к одной строке матрицы другой ее строки, умноженной на некоторое ненулевое число.

Если от матрицы к матрице перешли с помощью эквивалентных преобразований над строками, то такие матрицы называются эквивалентными и обозначают .


Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 352; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!