Проверка результатов эксперимента на наличие грубых погрешностей

 

При статистической обработке полученных результатов наблюдений для нахождения результатов измерений и границ его погрешности предварительно необходимо убедиться в том, что отсутствуют результаты измерений, сильно отличающиеся от остальных, или убедиться в том, что результаты не содержат грубых погрешностей. Эта операция необходима для определения характера эмпирического распределения.

Задача решается статистическими методами, основанными, на том, что распределение, к которому относится рассматриваемая группа наблюдений, можно считать нормальным. Для этого рассчитываются границы допустимых максимальных и минимальных значений при n наблюдениях. Были составлены таблицы q-процентных точек распределения максимальных по модулю отклонений результатов от их среднего значения.

Это распределение удобно для расчетов и приведено в Приложении 2. Чтобы провесить наличие грубой погрешности необходимо рассчитать: ,

где:  и S принимают с учетом всех результатов измерений. Затем, выбрав уровень значимости q , по Приложению 2 находят значение t_Z, отвечающее этому уровню и числу наблюдений.

Если t>t_Z то X_i можно отбросить: вероятность появления наблюдений, дающего t>t_Z мала и равна принятому уровню значимости. С уменьшением q растет t_Z и условие выполняется труднее. По условиям нашего примера необходимо проверить, содержится ли грубая погрешность в представленном массиве данных: .

Принимаем q=l %, тогда по таблице Приложения 2 находим, что t_Z=2,62. Так t<t_Z, то наблюдение со значением 10,40 отбросить нельзя. На основании проведенных вычислений результаты опытов представляют в следующем виде:

Статистические характеристики	Обозначения	Сила тока, А
Среднее значение результата		10,16
Средняя квадратическая погрешность	S	0,094
Коэффициент вариации	V	0,9%
Доверительный интервал результата при Р0,95	X±S	10,16±0,07

 

Кроме этого определять ошибки и грубые погрешности возможно с использованием составного критерия или критерия χ² (Пирсона) [5, 6]. Обработку данных, полученных при выполнении различных измерений, возможно выполнять на ЭВМ с использованием библиотеки стандартных программ.

2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОСТОВЕРНОСТИ РАЗЛИЧИЯ
МЕЖДУ РЕЗУЛЬТАТАМИ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

 

Целью большою количества экспериментов является необходимость установления достоверных различий между результатами, полученных в определенных условиях, выборки которых могут быть сопряженными и независимыми.

Под сопряженными выборками понимают сравнительные наблюдения проведенные в разных точках в одно и то же время. Например, сравниваемые сорта фруктов по содержанию витамина С в разных партиях, возделываемых в различных пунктах.

Независимыми выборки называют в тех случаях, когда выборки получают на одном объекте, но в различное время, например выборка для определения биохимических показателей в плодах яблок одного сорта в различное время. К независимым выборкам могут быть отнесены наблюдения по разным сортам, если все прочие условия выращивания были одинаковыми.

Чаще всего приходится сравнивать показатели средней арифметической . Например, достоверны ли различия по содержанию витамина С в плодах яблок между сортами Джонатан и Банановое, если среднее значение содержания витамина С в сорте Джонатан составляет 39,4, а в Банановом – 25,7 мг %. Разница между этими данными составляет 13,7 мг %.

Самые простые расчеты используются при определении достоверности различий между средними арифметическими независимых выборок при одинаковом числе наблюдений.

При расчете используются средние показатели:  и ; СКО среднего значения;  и  по формулам, приведенным ранее. Затем находим расчетный показатель достоверности (t_p): .

Если рассчитанное значение t_p больше табличного значения критерия Стьюдента (t_T), то с доверительной вероятностью Р можно считать расхождение между  и  достоверными (значимыми, неслучайными).

Например, среднее содержание витамина С в плодах яблок сорта Уэлси до 1980 г. составило =11,5, а после 1980 г. =13,1 мг %, СКО соответственно составили: =0,2, а =0,3.

Определим показатель достоверности (t_p): .

Полученный показатель достоверности (t_p) проверяется по критерию Стьюдента (t _Т), который находится по Приложению 1, число степеней свободы d . f .=(n_x+n_y)-2. До 1980 г. было проведено 4 наблюдения, после также, тогда d . f .= 4+4-2=6. По Приложению 1 находим, что при d . f .=6; Р_0,95; t _Т=2,45, а при Р_0,99; t _Т=3,71.

Следовательно, в данном случае разность между средними значениями по содержанию витамина С в плодах до и после 1980 г. достоверна как при Р_0,95 так и при Р_0,99, т.к. рассчитанное значение показателя достоверности больше табличного по критерию Стьюдента.

Различия между двумя выборками можно проверить и по наименее существенной разнице (НСР), которая выражается в тех же единицах, что и сравниваемые средние. НСР показывает то различие между средними, начиная с которого при выбранной доверительной вероятности можно утверждать, что средние существенно отличаются друг от друга. НСР определяют по формуле: . Если фактическая разность между средними величинами равна или более; чем НСР ( ), то разность между средними значениями сравниваемых величин признается существенной или значимой.

В нашем примере .

Следовательно, в нашем примере и по НСР разность между сравниваемыми средними величинами является существенной и достоверной, т.к. =1,6> >HCP_0,99=1,3.

Если в независимых выборках число наблюдений различное, то показатель достоверности рассчитывается по следующей формуле:

.

Различия между  и  достоверны, если t_P>t_T при d . f .=n ₁+n ₂-2.

Например: исследовалось влияние условий хранения на качество масла растительного. Измерялось кислотное число масла (мг КОН) в бутылках из темного стекла (X_i) и в бутылках из светлого стекла (У_i). В первом случае проведено 4 опыта, а во втором – 5. Получены следующие результаты: =0,71; 0,83; 0,67; 0,76. =0,83; 1,06; 0,96; 0,59; 0,72. Находим: ; ; ; ; ; d.f.=4+5-2=7. Тогда:

.

В Приложении 1 находим табличное значение критерия Стьюдента для d . f .=7 при Р_0,95; t _Т=2,34, которое оказывается существенно больше tp=0,9, поэтому различия между средними значениями кислотного числа масла при хранении его в бутылках из темного и светлого стекла не существенны и могут быть обусловлены случайными факторами.

Оценка достоверности различий в значениях при сопряженных выборках отличается методом расчета и определением числа степеней свободы.

Например, при анализе зерна двух сортов пшеницы (А и В) получены данные о содержании белка в разных партиях. Сравниваемые сорта пшеницы возделывались в четырех различных пунктах, причем всегда на соседних участках. Для оценки достоверности различия в содержании белка показатель достоверности (t_P) в этом случае рассчитывается по следующей формуле, где : .

Результаты исследований

№ участка	Содержание белка в пшенице, %		Разность,	Квадрат разности
	Х i (сорт А)	У i (сорт В)
1	18,6	17,8	0,8	0,64
2	16,2	15,4	0,8	0,64
3	17,4	16,5	0,9	0,81
4	20,2	19,5	0,7	0,49
				Σ=2,58

 

В данном примере: . По значениям Приложения 1 находим табличные значения критерия Стьюдента при d . f .=4-1=3 – t_{T ;0,95}=3,18; t_{T ;0,99}=5,84, что значительно меньше рассчитанного (t_P=20), в этой связи различия в содержании белка существенны.

Если бы при обработке данных выборки мы пренебрегли сопряженностью опытных данных, то вывод был бы другой, т.е. при статистической обработке этой выборки независимой с одинаковым числом наблюдений мы бы получили:

; ; t_P= .

Так как в обоих случаях (при Р_0,95 и P_0,99) табличные значения (2,45 и 3,71) больше рассчитанного (0,65), то следовало бы сделать вывод, что разность между средними значениями не существенна. Но предыдущий способ обработки зависимых (сопряженных) выборок является правильным в этом случае, т.к. учитывает сопряженность экспериментальных данных.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

 

Тема письменной контрольной работы определяются по начальным буквам фамилии студента (табл. 1).

Таблица 1

Начальная буква фамилии студента	№ контрольного вопроса
А, Б, В	3
Г, Д, Е, Ж	12
З, И, К	7
Л	9
М	1
Н	4
О	14
П	2
Р	6
С	10
Т, У, Ф	8
Х, Ц, Ч	13
Ш, Щ	11
Э, Ю, Я	5

 

Контрольные вопросы:

1. Понятие метрологии. Метрология как вид деятельности.

2. Цели и задачи метрологии.

3. Методы измерений, их виды и характеристика.

4. Характеристика средств измерений.

5. Погрешность измерений. Понятие неопределенности результатов измерений.

6. Организация поверки средств измерений.

7. Калибровка средств измерений и её организация.

8. Государственная система обеспечения единства измерений.

9. Государственная метрологическая служба Российской Федерации.

10. Государственный метрологический контроль и надзор.

11. Характеристика метрологического надзора.

12. Международные организации по метрологии.

13. Перспективы развития метрологической деятельности в РФ.

14. Нормативная база метрологии.

Обработка результатов измерений:

 

Цель – выработка навыков обработки экспериментальных данных при проведении многократных измерений. Контрольная работа содержит две задачи. В первой задаче необходимо обработать экспериментальные данные, полученные при многократных измерениях с равноточными значениями отсчета, во второй – обработать результаты нескольких серий измерений. Выполнение обеих задач является обязательным. Расчеты рекомендуется производить с использованием ЭВМ.

Задача 1

При многократном измерении одной и той же величины постоянного размера с равноточными значениями отсчета получено 50 независимых значении результата измерения (поправки внесены). Определить результат измерения.

Указания. Экспериментальные данные формируются из пяти серий (см. таблицу) по десять значений результата измерения в каждой (с первого по десятое).

Студент выбирает четыре серии по предпоследней цифре шифра (одна серия приведена в строке с соответствующим номером, три другие – в трех следующих строках), а пятую – по последней цифре шифра (столбец с соответствующим номером). Например, шифру 25135 соответствуют серии, одна из которых приведена в строке 3, три другие – в строках 4, 5, 6, а пятая – в столбце 5; шифру 25190 – серии в строках 9, 0, 1, 2 и в столбце 0.

Таблица

Предпоследняя цифра шифра	Последняя цифра шифра
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	485	483	483	484	483	483	484	484	484	481	482	495	485
2	483	485	482	484	483	485	482	482	481	482	492	484	484
3	483	482	482	486	483	484	484	481	480	481	483	494	490
4	482	485	486	486	483	483	483	483	481	480	492	486	481
5	483	484	485	482	484	483	485	485	484	483	481	494	486
6	486	486	485	483	484	485	486	480	485	485	495	484	486
7	485	484	486	482	483	484	484	481	485	485	485	492	482
8	484	485	487	483	482	484	482	483	484	484	492	483	484
9	484	486	484	484	481	485	484	482	483	485	482	493	483
0	483	480	483	484	481	483	486	483	483	484	493	480	481
	484	492	487	492	483	493	487	493	485	492
	493	484	495	484	495	484	495	484	492	484
	483	484	486	480	490	484	488	491	490	486

 

Порядок расчета

 

Обработку экспериментальных данных (50 значений) следует осуществить начиная с оценки среднего значения результата измерения.

Обнаружение и исключение ошибок возможно произвести по правилу трех сигм. Число значений результата измерения больше 40, поэтому дальнейший алгоритм обработки осуществить для условия 40...50.

Проверку нормальности закона распределения вероятности результата измерения произвести по критерию К. Пирсона. При построении гистограммы учесть следующие рекомендации:

– интервалы, на которые разбивается ось абсцисс, следует выбирать по возможности одинаковыми;

– число интервалов выбирается в пределах 7...9;

– масштаб гистограммы назначается так, чтобы ее высота относилась к основанию примерно как 5/8.

Дальнейшую обработку провести в зависимости от результатов проверки нормальности закона распределения вероятности.

 

Задача 2

 

При многократных измерениях одной и тон же величины постоянного размера получены две серии по 13 значений результатов измерения (поправки введены). Определить результат измерения. Серии студент выбирает в таблице по предпоследней и последней цифрам шифра: например, шифру 25135 соответствуют все значения, которые приведены в строке 3 (первая серия) и столбце 5 (вторая серия) таблицы.

Порядок расчета.

Обработку экспериментальных данных следует начать с проверки однородности серий.

Проверку значимости различий между средними арифметическими в двух сериях осуществить по соответствующему алгоритму. Проверку нормальности законов распределения вероятности результатов измерений в каждой серии выполнить по составному критерию.

Проверку равнорассеянности результатов измерений в двух сериях провести с помощью составного критерия. Обработку равнорассеянных серий с незначимым различием между средними арифметическими осуществить как обработку единого массива.

Дальнейшую обработку серий со значимым и незначимым различием средних арифметических в условиях контрольной работы не проводить.

 

Приложение 1

Значение t-критерия Стьюдента

Число степеней свободы d . f .	Р			d. f .	Р
	0,90	0,95	0,99		0,90	0,95	0,99
1	6,31	12,71	63,66	18	1,73	2,10	2,88
2	2,92	4,30	9,92	19	1,73	2,09	2,86
3	2,35	3,18	5,84	20	1,72	2,09	2,85
4	2,13	2,78	4,60	21	1,72	2,08	2,83
5	2,02	2,57	4,03	22	1,72	2,07	2,82
6	1,94	2,45	3,71	23	1,71	2,07	2,81
7	1,89	2,36	3,50	24	1,71	2,06	2,80
8	1,86	2,31	3,36	25	1,71	2,06	2,79
9	1,83	2,26	3,25	26	1,71	2,06	2,78
10	1,81	2,23	3,17	27	1,70	2,05	2,77
11	1,80	2,20	3,11	28	1,70	2,05	2,76
12	1,78	2,18	3,05	29	1,70	2,05	2,76
13	1,77	2,16	3,01	30	1,70	2,04	2,75
14	1,76	2,14	2,98	40	1,68	2,02	2,70
15	1,75	2,13	2,95	60	1,67	2,00	2,66
16	1,75	2,12	2,92	120	1,66	1,98	2,62
17	1,74	2,11	2,90	∞	1,64	1,96	2,58

 

Приложение 2

Значение q-процентных точек распределения

Число	Уровень значимости q, %
наблюдений	0,1	0,5	1	5	10
3	1,414	1,414	1,414	1,414	1,412
4	1,732	1,730	1,728	1,710	1,689
5	1,994	1,982	1,972	1,917	1,869
6	2,212	2,183	2,161	2,067	1,996
7	2,395	2,344	2,310	2,182	2,093
8	2,547	2,476	2,431	2,273	2,172
9	2,677	2,586	2,532	2,349	2,238
10	2,788	2,680	2,616	2,414	2,294
11	2,884	2,760	2,689	2,470	2,343
12	2,969	2,830	2,753	2,519	2,387
13	3,044	2,892	2,809	2,563	2,426
14	3,111	2,947	2,859	2,602	2,461
15	3,171	2,997	2,905	2,638	2,494
16	3,225	3,042	2,946	2,670	2,523
17	3,274	3,083	2,983	2,701	2,551
18	3,320	3,120	3,017	2,728	2,577
19	3,361	3,155	3,049	2,754	2,601
20	3,400	3,187	3,079	2,779	2,623
21	3,436	3,217	3,106	2,801	2,644
22	3,469	3,245	3,132	2,823	2,664
23	3,500	3,271	3,156	2,843	2,683
24	3,529	3,295	3,179	2,862	2,701
25	3,556	3,318	3,200	2,880	2,718
26	3,582	3,340	3,220	2,897	2,734
27	3,606	3,360	3,239	2,913	2,749
28	3,629	3,380	3,258	2,929	2,764
29	3,651	3,399	3,275	2,944	2,778
30	3,672	3,416	3,291	2,958	2,792

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение……………………………………………………………………………	4
Литература…………………………………………………………………………	6
1 Обработка экспериментальных данных……………………………………….	7
1.1 Определение среднего значения полученного результата……………...	9
1.2 Определение СКО данной совокупности (S)…………………………….	9
1.3 Вычисление коэффициента вариации (V)	10
1.4 Определение СКО погрешности среднего значения	10
1.5 Определение предела возможной погрешности выборки или доверительного интервала результатов измерений для определенной вероятности…………………………………………………………………….	11
1.6 Построение доверительных интервалов	12
1.7 Проверка результатов эксперимента на наличие грубых погрешностей	13
2 Определение достоверности различия между результатами экспериментов	15
3 Контрольные задания…………………………………………………………..	19
Приложения……………………………………………………………………….	23

 

---

Дата добавления: 2018-09-22; просмотров: 1034; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!