Моделювання 3-атомів за допомогою більярдних книжок



Гіпотеза (А.Т. Фоменко) Більярдний книжки дозволяють моделювати:

1. всі 3-атоми

2. всі грубі молекули Фоменко

3. всі мічені молекули Фоменко-Цішанга

Вдалося довести першу частину гіпотези А.Т. Фоменко.

Теорема 2. Для будь-якого седлового ориентируемого 3-атома існує більярдна книжка, така що в е ізоенергетичних різноманітті  знайдеться -окіл особливого рівня = b, пошарово гомеоморфними цього атому.

Зауваження 11.Особливому рівню  = b відповідають траєкторії, що лежать на прямих, які проходять через фокуси.

Зауваження 12. Зауважимо, що випадок неседлового 3-атома нам не цікавий, оскільки він зустрічається в кожної більярдної книжці на рівнях  = 0 і  = A.

Дійсно, розглянемо, наприклад, найпростішу більярдну область, обмежену еліпсом, гіперболою і двома прямими (див. рис. 21). А більярдна книжка нехай складається з одного аркуша, тобто перестановки на межах - тотожні перестановки з одного елемента.

Згадаймо канонічну проекцію :  з визначення 8. Роздивимося цю проекцію тільки на точках з  і це звуження будемо далі також називати:  Рівню  = 0, відповідає траєкторія, яка рухається тільки по границі еліпса. Тобто проекція  з визначення 8 цього рівня на - це дуга еліпса. А в прообраз кожної її точки лежать тільки вектори, що йдуть наліво і направо, причому, стикаючись про ліву чи праву кордон лівий вектор склеюється з правим, утворюючи коло (див. рис. 18).

Близько регулярні рівні - це рівні  = . Доведемо, що його прообраз тор. Рівню =  відповідають траєкторії, які стосуються еліпса, близького до граничного. Проекція   всіх точок з , що лежать на цьому рівні є  без внутрішньої частини еліпса c параметром  (див. рис. 18), оскільки точки всередині еліпса не можуть лежати на прямих, що стосуються його. Позначимо цю частину  і . Тоді в прообраз кожної точки лежить 4 вектора , , , . На верхній і нижній межі склеюються верхній і нижній вектори, на лівої і правої кордоні - лівий і правий вектори. Якщо зобразити чотири двовимірних диска, які відповідатимуть чотирьом векторах, а на кордонах визначать склейки цих векторів і склеїти їх, отримаємо двовимірний тор (див. рис. 19).

Мал. 18: Більярдна книжка, що моделює 3-атом A.

Мал. 19: Склеювання двовимірних дисків, що відповідають векторам v1, v2, v3, v4, в тор.

Таким чином околиця рівня  = 0 складається їх торів, зменшуваних до окружності, що знаходиться на критичному рівні, а це і є 3-атоми. А будь-який неседловий атом - це атом А мінімуму або максимуму функції.

Алгоритм побудови. Нехай дано довільний седловой 3-атом U без зірочок. Тоді U = P , де P - відповідний йому 2-атом. він представляється у вигляді склейки з k хрестів, де k N - складність атома. P можна занурити в площину зі збереженням орієнтації (див. [3, стор. 96]). тоді на кожному з ребер графа, відповідного атому P можна задати на так, щоб негативний рівень залишався зліва. цей напрямок можна поширити по безперервності на близькі регулярні рівні. Розділимо його навпіл по позитивному рівню. Тоді кожен хрест виглядає так, як вказано на рис. 20. Зафіксуємо положення хрестів в площині, як показано на малюнку. Тепер ми можемо називати половини хрестів верхніми і нижніми. Занумеруем хрести. На i-му хресті поставимо зверху індекс 2i - 1, знизу 2i. І тепер ми можемо вказати склейку. Склеювання містить простішу більярдну область, обмежену еліпсом, гіперболою і двома прямими, зазначену на рис. 21. Залишилося тільки поставити перестановки. проведемо аналогію: половина хреста - це найпростіша більярдна область, з якої склеєна книжка, направлення на ребрах графа - напрямок траекторії. , ,  будуть перестановками з 2k елементів. Три з них ми можемо відразу написати.

 = (1 2) (3 4). . . (2k - 1 2k),  =  = id (4)

Залишилося вказати перестановку . Дивимося на вихідне напрямок i-ой половини хреста. Це ребро склеєне з деяким входять напрямком j-ой половини хреста. Задаємо  (i) = j. Проробивши таку операцію для всіх половин хрестів, отримаємо перестановку  з 2k елементів.

Алгоритм побудови седлового 3-атома із зірочками опишемо коротко. Спочатку будуємо дубль для атома із зірочками. Це буде седловой атом без зірочок. Застосовуємо до нього першу частину алгоритму. І вказуємо  тепер не тотожною, а відповідно до інволюцією, яка визначена на дублі.

Доказ теореми 2. Доведемо, що побудована за алгоритмом більярдна книжка дійсно має на рівні  = b наперед заданий орієнтується седловой 3-атом U без зірочок. Нехай 3-атом U без зірочок має складність k. За алгоритмом ми побудуємо склейку v, по якій однозначно будується більярдна книжка з 2k числом листів.

Згадаймо канонічну проекцію :  з визначення 8. Роздивимося цю проекцію тільки на точках з  і це звуження будемо далі також називати: : . На  є еліптичні координати. Фіксуємо гіперболу - координатну лінію, що перетинає . І розглянемо її частина, що лежить в . Далі будемо опускати то, що це дуга гіперболи, називаючи просто гіперболою. вивчимо прообраз фіксованою гіперболи в  в -околі рівня інтеграла (  = b). Покажемо, що він еквівалентний 2-атому P, відповідному 3-атому U.


Мал. 20: Хрест, розділений на верхня і нижні половини і значенням, вказаним напрямком. зафарбовані рівні c (0), що не зафарбовані рівні c (0, +).

Мал. 21: Склеювання - найпростіша більярдна область, обмежена еліпсом, гіперболою і двома прямими з зазначеними перестановками


.

Фіксуємо рівень інтеграла (  = b). В цьому випадку траєкторії лежать на прямих, які проходять через фокуси. Значить, для кожної внутрішньої точки  її прообраз  складається з 8k векторів одиничної довжини, які спрямовані від або до одного з двох фокусів на всіх 2k аркушах. тоді в прообраз фіксованою гіперболи лежать 8k векторів, помножених на відрізок (див. рис. 22). Наближаючись до фокальній осі вектори, спрямовані вниз і відповідні їм вектори, спрямовані вгору, стають ближче, і на фокальній осі вже збігаються. Тобто відрізки там з'єднуються і виходять критичні рівні 4k половин хрестів. 2k половин хрестів складається з векторів, спрямованих вліво, що залишилися 2k половин - з спрямованих вправо. Зазначимо на кожному напівхрестом напрямок: якщо вектор направлений вгору, то він відповідає вихідному напрямку на ребрі графа напівхреста, вниз - хто входить.

 

Мал. 22: Прообраз гіперболи на рівні  = b.

Таким чином, на кожному аркуші прообраз гіперболи на рівні  = b є критичний рівень двох напівхрестом з фіксованим напрямком.

Одному з напівхрестом відповідають вектори, спрямовані вліво, іншому - вправо.

Розглянемо близькі регулярні рівні до критичного все також в прообразі гіперболи. Рівню  = b-  відповідають траєкторії, які стосуються тонкого еліпса, близького до фокальному відрізку.


Мал. 23: Прообраз гіперболи на рівні  = b- .

Мал. 24: Прообраз гіперболи на рівні  = b + .


Проекція всіх точок з , Що лежать на цьому рівні є  без внутрішньої частини еліпса (див. Рис. 23), оскільки точки всередині еліпса не можуть лежати на прямих, що стосуються його. Позначимо цю частину  за . Тоді в прообраз внутрішніх точок  лежить 8k векторів (див. рис. 23). Вектори спрямовані вниз і відповіднні їм вектори, спрямовані вгору так само, як і на критичному рівні  = B склеюються, наближаючись до кордону еліпса. Тому прообраз гіперболи також складається з двох склеєних відрізків. Однак, тут вони не доходять до його фокусної прямий і знаходяться вище критичного рівня. тут можна також вказати напрямок, як і на критичному рівні (див. рис. 23).

Рівню  = b +  відповідають траєкторії, які стосуються вузької гіперболи, близькою до променів на фокальній прямий, які виходять з фокусів в безкінечність. Критичний рівень при малому зсуві на  на кожній половини хреста розпадається на дві зв'язні компоненти: вектори, що йдуть нагору і вниз. На них також можна поширити напрямок відповідне векторах рухомим наверх і вниз (див. рис. 24).

Таким чином, на кожному аркуші прообраз гіперболи в  -околі рівня  = b є два напівхрестом, на яких можна природним чином фіксувати напрямок. Одному з напівхрестом відповідають вектори, спрямовані вліво, іншому - вправо.

Залишилося перевірити, що 2-атом P правильно склеєний з напівхрестом. нехай все також фіксована гіпербола з еліптичних координат. дивимося на її прообраз.

Що відбувається на еліптичній границі?

Вектори, спрямовані вгору на i-му аркуші склеюються з відповідними векторами, спрямованими вниз на (i) -м аркуші згідно відношенню еквівалентності в визначенні 8 . Тобто виходить ребро i-го напівхрестом склеюється зі входять ребром  (i) -го напівхрестом. Тому, щоб задати склейку атома P з хрестів, потрібно вказати  (i) відповідно до склейкою хрестів, що ми і зробили в алгоритмі. Ясно, що при цьому склеюються відповідні рівні.

Таким чином, в прообразі  гіперболи в околиці рівня  = b ми отримали два 2-атома P, відповідних 3-атому U. Один з них відповідає векторах, спрямованим в право, інший - вліво. Залишилося зрозуміти, чому околиця рівня  = b пошарово еквівалентна прообразу гіперболи, відповідним правим (або лівим) векторах, помноженому на окружність. На правій еліптичною і лівої межах праві і ліві вектори склеюються, оскільки до цих кордонів приписані тотожні перестановки. Тобто на внутрішніх точках у нас два напівхрестом, відповідні правим і лівим векторах. А на кордонах ці хрести склеюються, тим самим утворюючи окружність (див. рис. 25).

Таким чином, околиця рівня  = b пошарово еквівалентна прообразу гіперболи, помноженому на окружність, тобто 2-атому P, помноженому на окружність, а це і є 3-атом U, що й треба було довести.

Мал. 25: Склеювання лівих і правих векторів дає окружність напівхрестом.

Доказ випадку, коли 3-атом U - із зірочками проводиться аналогічно, тільки тепер на лівій межі області у нас відбувається перехід з одного аркуша на інший, відповідно до інволюцією. І тим самим отримана непроста множення на окружність, а розшарування, описане в конструкції атома із зірочкою на стор. 15.


 

Список літератури

[1] В.В. Козлов, Д.В. Тріщить в, Генетичне введення в динаміку систем з

ударами, М .: Изд-во МГУ, 1991

[2] Jacobi C. G. J. Vorlesungen uber dynamik. ? Тисячі вісімсот вісімдесят чотири (Переклад на російську мову:

Якобі К. Лекції з динаміки М .; Л .: ОНТИ, 1936)

[3] Інтегровані Гамільтона системи. Геометрія, топологія, класси-

фикация .// А.В. Болсінов, А.Т. Фоменко - том 1. Іжевськ НДЦ "регу-

лярная і хаотична динаміка "+1999

[4] Топологічна класифікація більярдів в локально-плоских областях,

обмежених дугами софокусних квадрік / Фокічева В. В. // математиків

тичний збірник. ? 2015.? Т. 206, ќ 10. С. 127? 176.


Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 316; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!