Расчет концентрации носителей заряда в кристалле.



 

Приводимость любых твердых тел определяется прежде всего концентрацией в них электронов и дырок способных переносить заряд. Концентрация носителей заряда (этим термином будем обозначать только свободные электроны и дырки) должна зависеть от температуры, поскольку с увеличением температуры возрастает тепловая энергия решетки и следовательно вероятность того, что какая то часть валентных связей будет нарушена и соответственно возникнут электроны и дырки.

Перечислим основные положения модели, которая используется для расчета концентрации носителей заряда в кристаллах:

· кристалл является квантовой системой, поэтому поведение всех находящихся в нем электронов (и дырок) подчиняется закономерностям квантовой механики, т.е. как локализованные (привязанные к атомам), так и “свободные” (способные перемещаться по кристаллу) электроны находятся в определенных квантовых состояниях, характеризуемых соответствующими энергетическими уровнями;

· в кристалле имеются состоящие из большого количества                   (1022 эВ-1см-3) близко расположенных уровней зоны (расстояние между уровнями порядка 10-22 эВ);

· на одном энергетическом уровне в соответствии с принципом запрета Паули не может находиться более двух электронов с разным значением спина, т.е. электроны не могут перемещаться по состояниям занятым другими электронами;

· в термодинамическом равновесии электроны распределяются по энергетическим состояниям в соответствии с функцией распределения Ферми - Дирака:

                            (1.10)

где f(E,T) – вероятность нахождения электрона в состоянии с энергией E, T –температура системы (в градусах К), k – постоянная Больцмана, F – энергия уровня Ферми (это характеристическая энергия системы ниже которой при         T = 0K все состояния заполнены выше пустые );

· поскольку энергетические уровни в разрешенных зонах очень близко расположены друг друга можно дискретное распределение состояний по энергиям заменить непрерывным N(E).

На рис. 1.13 показан вид функции Ферми-Дирака при различных значениях температуры. 

Рис. 1.13. Вид функции вероятности распределения по состояниям для различных температур

 

Как видно из (1.10) и рис. 1.13 вероятность нахождения частицы на уровне с элегией F всегда равна ½ при всех температурах. В то же время по мере роста температуры вероятность появления частиц выше уровня Ферми возрастает. При температурах отличных от нуля, если E - F > kT, то функция Ферми-Дирака хорошо представляется экспоненциальной зависимостью (область в квадрате на рис. 1.13). Соответствующее распределение называется распределением Больцмана:

                                          (1.11)

Используя сделанные допущения возможно рассчитать количество электронов находящихся в заданном энергетическом интервале ΔE = E2 -E1:

                                            (1.12)

где N(E) – распределение плотности энергетических состояний по энергиям, f(E) – вероятность нахождения электрона на уровне с энергией E.

В качестве примера на рис. 1.12 показано как используя функцию распределения f(E) и функцию плотности состояния (N(E)~E1/2) определить распределение электронов по энергиям в металле.

 

Рис. 1.12. Схема расчета распределения электронов по энергиям в металле (или вырожденном полупроводнике) при использовании зависимостей N(E), f(E)? n(E)=N(E)f(E)

 

На рис. 1.12 (нижний график) показано распределение электронов характерное для металлов или вырожденных полупроводников, т.е полупроводников имеющих настолько высокую концентрацию примесей, что в них уровень Ферми попадает в разрешенную зону и их проводимость становится близкой к металлической. Из распределения рис. 1.12 можно сделать один важный вывод, то в проводимости металлов могут участвовать не все электроны, а только те энергия которых лежат вблизи уровня Ферми (в объемном случае вблизи поверхности Ферми). Действительно в электрическом поле электрон приобретает энергию, следовательно он должен перемещаться на уровень расположенный выше его начального состояния, а сделать это возможно только в том случае, если лежащий над ним уровень не занят (запрет Паули), такая ситуация имеет место только для электронов расположенных в энергетической области непосредственно примыкающей к уровню Ферми.

В собственных полупроводниках и не вырожденных легированных полупроводниках вероятность нахождения электронов в зоне проводимости мала (много меньше 0,5), вероятность нахождения электрона в валентной зоне велика (много больше 0,5), следовательно уровень вероятность нахождения электрона на котором равна 0,5 (уровень Ферми) должен находиться между зоной проводимости и валентной зоной, т.е. лежать в запрещенной зоне. Действительно для невырожденных полупроводников уровень Ферми всегда находится в запрещенной зоне и для расчета концентрации электронов находящихся в зоне проводимости и дырок находящихся в валентной зоне можно вместо уровня Ферми воспользоваться распределением Больцмана.

Рассчитаем концентрацию электронов проводимости:

           (1.13)

где Nc – эффективная плотность состояний в зоне проводимости, она зависит от форма зоны - Е(p) и температуры (слабо).

,  (1.14)

где mn* - эффективная масса электронов в зоне проводимости, m – масса о электрона, k- постоянная Больцмана, h- постоянная Планка [1].

Для того, чтобы рассчитать количество дырок в зоне проводимости учтем, что вероятность заполнения энергетического уровня дыркой равна:

           (1.14)

Рассчитаем концентрацию дырок в валентной зоне:

           (1.15)

где Nv – эффективная плотность состояний в валентной зоне.

       (1.16)

 

Рассчитаем концентрацию электронов и дырок в собственном полупроводнике. Для этого мы должны определить для него положение уровня Ферми. Положение уровня Ферми в полупроводниках определяется из условия электронейтральности.

                 (1.17)

Откуда получим:

                           (1.18)

Поскольку (Ec+Ev)/2 >>(kT/2)ln(Nv/Nc), то мы получили, что в собственном полупроводнике уровень Ферми лежит примерно посередине запрещенной зоны и его положение слабо зависит от температуры.

Обозначим концентрацию носителей в собственном полупроводнике через ni2 и рассчитаем чему равно произведение концентрации электронов и дырок, а так же значение ni2:

(1.19)

Т.е. концентрация электронов и дырок растет с температурой по экспоненциальному закону с показателем равным половине ширины запрещенной зоны. Эту зависимость удобно представлять на графиках откладывая по вертикальной оси концентрацию в логарифмическом масштабе, а по горизонтальной обратную температуру 1/T (обычно откладывают 1000/T). Действительно прологарифмировав первое выражение (1.17) получим:

                              (1.20)

Соответствующие зависимости для Ge, Si и GaAs показаны на рис. 1.13.

 

Рис. 1.14. Зависимость концентрации носителей от температуры

 

Поскольку ni является некоторой характеристической величиной для полупроводникового материла из соотношения np = ni2 следует, что увеличение концентрации электронов за счет легирования материла будет приводить к уменьшению концентрации дырок и наоборот увеличение концентрации дырок при введении акцепторной примеси будет приводить к уменьшению концентрации электронов. Таким образом это соотношение позволяет по известной концентрации основных носителей заряда рассчитать значения концентрации неосновных.

Рассмотрим, как влияет легирование на концентрацию носителей заряда и их температурную зависимость. Соотношения (1.13) и (1.15) показывают, что между концентрацией носителей заряда и положением уровня Ферми в образце существует однозначное соответствие:

 Зная концентрацию носителей мы можем определить положение уровня Ферми (из 1.15 и 1.16 ):

          (1.21)

Рассмотрим как изменяется концентрация носителей заряда и положение уровня Ферми в легированном полупроводнике. Вначале рассмотрим электронный полупроводник (n - тип), который получен легированием донорной примесью, c соответствующим энергетическим уровнем Ed. На рис. 1.15 показано ожидаемое изменение с температурой положения уровня Ферми (изменением с температурой ширины запрещенной зоны и положения донорного уровня в виду малости этих величин можно пренебречь).

Поскольку при температурах, близким к 0К все донорные уровни заполнены электронами (f = 1), а зона проводимости свободна от электронов (f = 0), то уровень Ферми (f = 1/2) должен находиться между этими двумя уровнями (функция Ферми-Дирака непрерывна), т.е. в запрещенной зоне. При повышении температуры электроны начинают переходить с донорного уровня зоны в зону проводимости, переходами из валентной зоны для температурной области 1 можно пренебречь. Энергетическая конфигурация для этого случай такая же как для собственного полупроводника с шириной запрещенной зоны Ec-Ed, в котором вместо эффективная плотность состояний в валентной зоне равна Ed, поэтому для расчета концентрации электронов и уровня Ферми в этой области мы можем воспользоваться формулой (1.13), сделав соответствующие замены:

              (1.22)

 

 Из (1.22) видно, что при температурах близких к 0K уровень Ферми находится посередине между Eси Ed и затем по мере ухода электронов с примесного уровня (переходы 1 на рис. 1.15) приближается к уровню Ed. При некоторой температуре Ts уровень Ферми достигнет уровня Ed концентрация электронов в зоне проводимости будет равна Nd/2 (f=1/2). При дальнейшем увеличении температуры почти все электроны с донорного уровня оказываются в зоне проводимости и донорный уровень больше не может поставлять электроны в зону проводимости, поэтому эту температурную область (2 на рис. 1.15) называют областью истощения примеси. В области 2 концентрация электронов с ростом температуры увеличивается только за счет электронных переходов из валентной зоны (как в собственном полупроводнике):

n (T) = Nd + ni(T)                                    (1.23)

Соответственно для уровня Ферми в этой области мы можем записать см. (1.21):

                           (1.24)

Начиная с некоторой температуры Ti начинает выполняться условие ni>Nd, с этого момента имеет место переход от примесной проводимости к собственной. При дальнейшем увеличении температуры будет выполняться условие ni>>Nd (область 3) и членом Nd в (1.24) можно пренебречь. Тогда (1.24) преобразуется к виду:

Эту формулу мы уже получали для собственного полупроводника см. (1.18). Таким образом в области высоких температур концентрация носителей заряда для легированных материалов стремится к концентрации носителей в собственном материале, т.е. легирование перестает оказывать влияние на концентрацию носителей, поскольку число электронов и дырок, генерируемых в результате переходов из зоны проводимости становится значительно больше концентрации введенной примеси (и соответственно концентрации носителей заряда полученных при ее ионизации).

 

Рис. 1.15. Диаграмма, поясняющая изменение положения уровня Ферми с температурой, и возникновения трех различных областей изменения с температурой концентрации носителей в донорном полупроводнике.

 

 

Из рис. 1.15 видно, что по характеру поведения уровня Ферми температурой можно выделить три основные области: область собственной проводимости (1), область истощения примеси (2) и область вымораживания примеси.

Рис. 1.16. Температурные зависимости концентрации электронов в кремнии при различной степени легирования донорной примесью. Концентрация доноров в см-3 проставлена около соответствующих кривых.

 

Областям с различным поведением уровня Ферми должно соответствовать и различное поведение концентрации носителей заряда см. (1.13) и (1.15) –основные формулы для расчета концентрации носителей заряда. На рис. 1.16 схематически показано как будет изменяться с температурой концентрация носителей заряда в легированных полупроводниках (зависимости будут аналогичны для материала легированного электронами и дырками). Представленные на рисунке графики отличаются степенью легирования, при увеличении степени легирования изменяются не только значения концентрации в примесной области, но и значение температуры перехода к области истощения Ts и к собственной проводимости Ti. Следует отметить, что поскольку в большинстве полупроводниковых приборов используются легированные полупроводники, то как правило их температурный диапазон определяется областью истощения примеси Ts < T < Ti , в которой концентрация основных носителей заряда слабо зависит от температуры (к сожалению это не справедливо для неосновных носителей).

 

 

Рис. 1.17. Диаграмма, поясняющая способ определения положения уровня Ферми по температурной зависимости концентрации примеси в образце кремния.

 

Контрольные вопросы.

1. Каковы основные положения положены в основу статистики Ферми-Дирака (Больцмана), используемой для расчета зависимости концентрации электронов и дырок от температуры?

2. Почему в полупроводниках чрезвычайно важно учитывать температурную зависимость концентрации носителей заряда (в металлах ее часто не учитывают, полагая постоянной )?

3. Какова вероятность заполнения электронами энергетического уровня с энергией соответствующей энергии Ферми (уровня Ферми)?

4. В какой зоне расположен уровень Ферми в металлах?

5. Где распложен уровень Ферми в чистых бездефектных (собственных полупроводниках)?

6. Перечислите основные отличия температурной зависимости концентрации носителей заряда в легированных и нелегированных полупроводниках.

7. В какой области температур концентрации свободных носителей заряда для легированных и нелегированных полупроводников будут мало различаться?

8. Как можно, имея экспериментальную зависимость концентрации электронов от температуры определить степень легирования материала донорной примесью?

9. Как можно, имея экспериментальную зависимость концентрации электронов от температуры определить положение уровня Ферми для любой температурной точки?

10.   Постройте зависимость концентрации носителей заряда от положения уровня Ферми в германии, легированным донорной примесью (например P) до концентрации 1015 см-3.

11.  Постройте зависимость концентрации носителей заряда от положения уровня Ферми в германии, легированным акцепторной примесью (например In) до концентрации 1015 см-3.


 

Лекция 4


Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 413; Мы поможем в написании вашей работы!






Мы поможем в написании ваших работ!