Тема: Плоска система збіжних сил

Програмні питання

Статика, основні її завдання та поняття. Аксіоми статики. В’язі та їх реакції. Приклади в’язей. Система збіжних сил. Додавання збіжних сил. Розкладання сили на збіжні складові. Проекції сили на вісь та площину. Умови рівноваги системи збіжних сил (геометричні та аналітичні).

 

Література

1. Курок В.П. Технічна механіка. Курс лекцій: навч. посіб. для студ. вищих навч. закл. – К.: Пед. преса, 2007. – 272с., л.2, л.3.

2. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Высшая школа, 1986. – 416с., §§1 – 7.

3. Никитин Е.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Наука, 1983. – 400с., §§3 – 12.

4. Цасюк В.В. Теоретична механіка: Навчальний посібник. – К.: Центр навчальної літератури, 2004. – 402с., §§1.1 – 2.3.

5. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. – М.: Наука, 1986.–448с.

 

Короткі теоретичні відомості

Системою збіжних сил називається система сил, лінії дії яких перетинаються в одній точці.

Додавання системи сил. Геометрична сума (головний вектор) будь-якої системи сил визначається подвійно: або послідовним додаванням сил системи за правилом паралелограма, або побудовою силового многокутника. Другий спосіб простіший і зручніший. Щоб визначити цим способом суму сил , , ,...,  (рис.1,а), відкладаємо від довільної точки О (рис.1,б) вектор , що зображає в обраному масштабі силу , від точки а – вектор , що зображає силу  і т.д., від кінця m передостаннього вектора відкладаємо вектор , що зображає силу . З’єднавши початок першого вектора з кінцем останнього, дістанемо вектор , який зображає геометричну суму  або головний вектор системи сил:

 або [*].

а)                                        б)

Рис.1

 

Аналітичний спосіб розв’язання задач ґрунтується на використанні методу проекцій, знайомого нам із векторної алгебри. Оскільки він особливо важливий для механіки, нагадаємо його основи.

Проекція сили (як і будь-якого іншого вектора) на вісь – це алгебраїчна величина, що дорівнює добутку сили на косинус кута між силою і додатним напрямом осі. Якщо цей кут гострий, то проекція додатна, якщо тупий – від’ємна, а якщо сила перпендикулярна осі, то її проекція на вісь дорівнює нулю. Так, на рис.2:

 

Q_x=Qcos b= –Qcos j = –dc;

Для рівноваги системи збіжних сил, прикладених до твердого тіла, необхідно і достатньо, щоб рівнодійна, а, отже, і головний вектор цих сил дорівнювали нулю.

Умови, яким повинні задовольняти ці сили, можна виразити в геометричній або аналітичній формі.

1. Геометрична умова рівноваги. Оскільки головний вектор  (див. рис.1) системи збіжних сил визначається як замикальна сторона силового многокутника, побудованого із цих сил, то він може дорівнювати нулю тоді, коли кінець останньої сили в многокутнику збіжиться з початком першої сили, тобто коли многокутник замкнеться.

Отже, для рівноваги системи збіжних сил необхідно і достатньо, щоб силовий многокутник, побудований із цих сил, був замкнутим.

2.Аналітичні умови рівноваги. Аналітично модуль головного вектора плоскої системи сил визначається за формулою:

Оскільки під коренем стоїть сума додатних складових, то Rможе дорівнювати нулю тільки тоді, коли одночасно R_x=0 та R_y=0, тобто коли сили, що діють на тіло, будуть задовольняти рівності:

.

Ці рівності й виражають умови рівноваги плоскої системи збіжних сил в аналітичній формі: для рівноваги плоскої системи збіжних сил необхідно і достатньо, щоб алгебраїчні суми проекцій цих сил на дві координатні осі дорівнювали нулю.

Алгоритм розв’язання задач статики:

1.Визначити тіло, рівновагу якого слід розглядати в даній задачі.

2.Зобразити сили, прикладені до цього тіла. На кресленні слід зобразити всі зовнішні сили, включаючи як задані, так і шукані, в тому числі реакції всіх в’язей.

3.Скласти умови рівноваги. Умови рівноваги складають для сил, прикладених до тіла, рівновага якого розглядається.

4.Визначити шукані величини, перевірити правильність розв’язку і дослідити здобуті результати.

Приклади розв’язання задач

Задача 1.Два абсолютно жорсткі стержні АВ і АС з’єднані шарніром у точці А і прикріплені до підлоги шарнірами В і С, утворюючи з підлогою відповідно кути 30⁰ і 60⁰. До шарніра А підвішений на нерозтяжній нитці вантаж D, вага якого Р=100Н. Визначити зусилля, які виникають у стержнях АВ і АС (рис. 3).

         

                                        Рис. 3                                        Рис. 4

Розв’язання

Аналітичний спосіб. Розглянемо рівновагу шарніра А. Зобразимо всі сили, що діють на нього, включаючи і реакції в’язей: вагу вантажу ; сили реакцій у стержнях  і , напрямлені вздовж них. Вибираємо систему координат, як це показано на рис. 3.

Рівняння рівноваги системи збіжних сил виражаються рівностями:

;

.

Звідси:

S_B= –Pcos60⁰= –100·0,5= –50(H);

S_A= –Pcos30⁰= –100·0,866= –86,6(H).

Знак «–» показує, що реакції  і  напрямлені паралельно прямим АВ і АС у бік, протилежний показаному на рисунку.

Геометричний спосіб. Побудуємо із сил ,  та  замкнутий силовий трикутник. Розпочнемо побудову з відомої сили , приклавши її до довільної точки О (рис. 4). Потім проведемо через початок і кінець сили  прямі ОК і DЕ, відповідно паралельні стержням АС і АВ, дістанемо на перетині прямих вершину М силового трикутника.

Сторони трикутника зобразимо у вигляді векторів таким чином, щоб задовольнялась рівність:

.

Звідси маємо напрямки реакцій  і . Із прямокутного трикутника ОМD маємо:

S_A=P·cos 30⁰=100·0,866=86,6(H);

S_B=P·cos 60⁰=100·0,5=50(H).

Задача 2.Котел з рівномірно розподіленою по довжині вагою Р=800Н і радіусом R=1м лежить на виступах цегляної кладки. Відстань між стінками кладки L=1,4м. Нехтуючи тертям, знайти тиск котла на кладку в точках А і В (рис. 5).

Розв’язання

Котел перебуває в рівновазі під дією активної сили  та реакцій  і . Як видно з рисунка, ,  та  утворюють плоску систему збіжних сил. Оберемо осі координат і складемо рівняння рівноваги, враховуючи, що трикутник АОВ рівнобедрений:

;

.

Із першого рівняння бачимо, що S_A=S_B.

Тоді з другої рівності маємо:

2S_Asinα=P,

звідки .

Визначимо sinα, знаючи, що АО=ОВ=1м, а АD=DB=0,5L=0,7м.

За теоремою Піфагора:

Тоді: .

Тепер знайдемо: (Н).

Питання для самоконтролю

1. Що вивчає статика? Основні її завдання.

2. Дати означення матеріальній точці, системі матеріальних точок, абсолютно твердому тілу.

3. Сила, система сил, плоска та просторова системи.

4. Які системи сил називаються еквівалентними? Яка це зрівноважена система сил?

5. Які сили називаються рівнодійною, зрівноважуючою, зовнішньою, внутрішньою?

6. Сформулювати аксіоми статики.

7. Які тіла називаються вільними та невільними? Що таке в’язь і реакція в’язі? Приклади в’язей.

8. Геометричний спосіб додавання двох, трьох і багатьох сил.

9. Як розкласти силу на збіжні складові?

10. Що називається проекцією сили на вісь і площину?

11. У чому полягає аналітичний спосіб додавання сил?

12. Сформулювати геометричні та аналітичні умови рівноваги плоскої системи збіжних сил.

13. Сформулювати теорему про три непаралельні сили.

 

---

Дата добавления: 2018-05-31; просмотров: 1929; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

---

Мы поможем в написании ваших работ!