Получение статистических данных

На современном этапе развития естественных наук, под влиянием научно-технического прогресса происходят существенные изменения методов научных экспериментов, анализа и обобщения получаемых результатов. Этому способствуют не только расширившиеся возможности фундаментальных наук, но также бурное развитие электронно-вычислительной техники и комплексной автоматизации самых разнообразных видов человеческой деятельности. В последние десятилетия наблюдается глубокое проникновение математических методов исследования во все отрасли естественных наук, что способствовало исключительным успехам некоторых из них, например биологии, метеорологии и др. Для успешного развития геологических наук необходимо также использовать полный арсенал существующих прогрессивных научных и технических средств, включая математические методы.

Основная цель данной работы выяснить и понять распределение полезных компонентов в пределах Черемховского участка, по данным полученным в результате опробования керна скважин и проведения рентгенофлуоресцентного анализа проб.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. научиться применять математические методы для обработки геологической информации;

2. научиться формулировать геологические задачи в пригодном виде для их решения математическими методами;

3. научится применять наиболее эффективные методы;

4. понять основные принципы геолого-математического моделирования;

5. установить возможность применения геолого-математического моделирования для данного участка.

Таблица №1 Исходные данные для достижения поставленной цели

Статистические характеристики, используемые в геологии

Минимальное значение – наименьшее возможное значение.

Максимальное значение – наибольшее возможное значение.

Среднее значение - статистический обобщенный показатель какой либо величины.

Среднее арифметическое - (в математике и статистике) множества чисел — число, равное сумме всех чисел множества, делённая на их количество.

Среднее арифметическое взвешенное - общее название группы разновидностей среднего значения либо короткое название для любого из перечисленных: Среднее арифметическое взвешенное Среднее геометрическое взвешенное Среднее гармоническое взвешенное.

Среднее арифметическое взвешенное набора чисел x₁……x_n с весами ω₁……ω_n определяется как:

Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось.

Среднее степенное – любое число отличительное от нуля.

Среднее степени d (или просто среднее степенное) набора положительных вещественных чисел x₁,…,x_n определяется как:

Среднее квадратическое – число S, равное квадратному корню среднего арифметического квадратов данных чисел a₁,a_2,…,a_n:

Среднее гармоническое – один из способов, которым можно понимать «среднюю» величину некоторого набора чисел. Его можно определить следующим образом: пусть даны положительные числа x₁,…x_n, тогда их средним гармоническим будет такое число H, что

Можно получить явную формулу для среднего гармонического:

т.е. срежнее гармоническое есть обратная величина к среднему от обратных к числам x₁,…,x_n.

Медиана – середина, в математической статистике – число, характеризующее выборку (например набор чисел). Если все элементы выборки различны, то медиана — это такое число выборки, что ровно половина из элементов выборки больше него, а другая половина меньше него. В более общем случае медиану можно найти, упорядочив элементы выборки по возрастанию или убыванию и взяв средний элемент. Например, выборка {11, 9, 3, 5, 5} после упорядочивания превращается в {3, 5, 5, 9, 11} и её медианой является число 5. Если в выборке чётное число элементов, медиана может быть не определена однозначно: для числовых данных чаще всего используют полусумму двух соседних значений (то есть медиану набора {1, 3, 5, 7} принимают равной 4).

Мо́да - значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто. (Мода = типичность.) Иногда в совокупности встречается более чем одна мода (например: 6, 2, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 0; мода — 6 и 9). В этом случае можно сказать, что совокупность мультимодальна. Из структурных средних величин только мода обладает таким уникальным свойством. Как правило, мультимодальность указывает на то, что набор данных не подчиняется нормальному распределению.

Квартили - предоставляют важную информацию о структуре вариационного ряда к-л признака. Вместе с медианой они делят вариационный ряд на 4 равные части. Квартилей две, их обозначают символами Q, верхняя и нижняя квартиль. 25% значений меньше, чем нижняя квартиль, 75% значений меньше, чем верхняя квартиль.

Для расчёта квартили надо поделить вариационный ряд медианой на две равные части, а затем в каждой из них найти медиану. К примеру, если выборка состоит из 6 элементов, тогда за начальную квартиль выборки принимается второй элемент, а за нижнюю квартиль пятый элемент.

Рисунок 1. Квартили

В случае, если вариационный ряд состоит к примеру, из 9 элементов, тогда за верхнюю квартиль принимают арифм. среднее 2-го и 3-го элеметов, а за нижнюю арифм. среднее 7-го и 8-го элементов.

Децили – это значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные таким образом, что 10% единиц совокупности будут меньше по величине D1; 80% будут заключены между D1 и D9; остальные 10% превосходят D9.

Квантили – значение, которое заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью. Если вероятность задана в процентах, то квантиль называется перцентилем. Например, для развитых стран 95-процентиль продолжительности жизни составляет 100 лет, означает, что ожидается, что 95% людей не доживут до 100 лет.

Дисперсия – мера разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Обозначается D[X] в русской литературе и Var(X) в зарубежной. В статистике часто употребляется значение σ²_x или σ².

Среднеквадрати́ческое отклоне́ние (синонимы: среднее квадрати́ческое отклоне́ние, среднеквадрати́чное отклоне́ние, квадрати́чное отклоне́ние; близкие термины: станда́ртное отклоне́ние, станда́ртный разбро́с) — в теории вероятностей и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания. При ограниченных массивах выборок значений вместо математического ожидания используется среднее арифметическое совокупности выборок (измерений), это среднее арифметическое называют оценкой математического ожидания.

Коэффициент вариации - Мера относительного разброса случайной величины; показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет её средний разброс.

Коэффициент вариации равен отношению стандартного отклонения к среднему значению:

Коэффициент вариации имеет смысл использовать при ненулевых средних значениях.

Коэффициент полезен в ситуациях, когда о размерах отклонения величины можно судить, зная ее среднее значение.

Иногда предлагается условная классификация вариабельности выборки на основе коэффициента вариации: при выборка вариабельна слабо, при - средне, при - сильно.

Асимметрия представляет собой числовое отображение степени отклонения графика распределения показателей от симметричного графика распределения. Если асимметрия больше 0, то чаще в распределении встречаются значения меньше среднего. Такая асимметрия называется положительной или левосторонней.

Коэффициент эксцесса - (коэффициент островершинности) в теории вероятностей — мера остроты пика распределения случайной величины.

Пусть задана случайная величина X, такая что E│X│⁴<∞. Пусть µ₄ обозначает четвертый центральный момент: µ₄ = E [(X – EX)⁴], а  – стандартное отклонение X. Тогда коэффициент эксцесса задается формулой:

Получение статистических данных

Для получения статистических данных была применена компьютеризированная программа Statistika. С помощью этой программы достаточно быстро удалось обработать полученные данные рентгенофлуорисцентного анализа из керна скважины пробуренной в пределах Черемховского участка.

С помощью программы Statistica удалось получить такие статистические данные как:

среднее значение; среднее гармоническое; среднее геометрическое;медиана; мода; частота моды; сумма; минимум; максимум; нижняя квартиль; верхняя квартиль; размах; квартиль размаха; дисперсия; стандартное отклонение; асимметрия; эксцесс.

Полученные статистические данные указаны в таблице №2.

Таблица №2

Статистические данные

Закон распределения данных

Дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ — метод в математической статистике, направленный на поиск зависимостей в экспериментальных данных путём исследования значимости различий в средних значениях. В отличие от t-критерия, позволяет сравнивать средние значения трёх и более групп. Разработан Р. Фишером для анализа результатов экспериментальных исследований [].

Суть дисперсионного анализа сводится к изучению влияния одной или нескольких независимых переменных, обычно именуемых факторами, на зависимую переменную. Зависимые переменные представлены значениями абсолютных шкал (шкала отношений). Независимые переменные являются номинативными (шкала наименований), то есть отражают групповую принадлежность, и могут иметь две или более градации (или уровня). Примерами независимой переменной Xi с двумя градациями могут служить пол (женский: X₁, мужской: X₂) или тип экспериментальной группы (контрольная X₁, экспериментальная: X₂). Градации, соответствующие независимым выборкам объектов, называются межгрупповыми, а градации, соответствующие зависимым выборкам, — внутригрупповыми.

В зависимости от типа и количества переменных различают:

однофакторный и многофакторный дисперсионный анализ (одна или несколько независимых переменных);

одномерный и многомерный дисперсионный анализ (одна или несколько зависимых переменных);

дисперсионный анализ с повторными измерениями (для зависимых выборок);

дисперсионный анализ с постоянными факторами, случайными факторами, и смешанные модели с факторами обоих типов;

3.1. Однофакторный дисперсионный анализ.Простейшим случаем дисперсионного анализа является одномерный однофакторный анализ для двух или нескольких независимых групп, когда все группы объединены по одному признаку. В ходе анализа проверяется нулевая гипотеза о равенстве средних. При анализе двух групп дисперсионный анализ тождественен двухвыборочному t-критерию Стьюдента для независимых выборок, и величина F-статистики равна квадрату соответствующей t-статистики.

Для подтверждения положения о равенстве дисперсий обычно применяется критерий Ливена (Levene's test). В случае отвержения гипотезы о равенстве дисперсий основной анализ неприменим. Если дисперсии равны, то для оценки соотношения межгрупповой и внутригрупповой изменчивости применяется F-критерий Фишера:

Если F-статистика превышает критическое значение, то нулевая гипотеза не может быть принята (отвергается) и делается вывод о неравенстве средних. При анализе средних двух групп результаты могут быть интерпретированы непосредственно после применения критерия Фишера.

При наличии трёх и более групп требуется попарное сравнение средних для выявления статистически значимых отличий между ними. Априорный анализ включает метод контрастов, при котором межгрупповая сумма квадратов дробится на суммы квадратов отдельных контрастов:

где, Ψ есть контраст между средними двух групп, и затем при помощи критерия Фишера проверяется соотношение среднего квадрата для каждого контраста к внутригрупповому среднему квадрату:

Апостериорный анализ включает post-hoc t-критерии по методам Бонферрони или Шеффе, а также сравнение разностей средних по методу Тьюки. Особенностью post-hoc-тестов является использование внутригруппового среднего квадрата  для оценки любых пар средних. Тесты по методам Бонферрони и Шеффе являются наиболее консервативными, так как они используют наименьшую критическую область при заданном уровне значимости α.

Помимо оценки средних дисперсионный анализ включает определение коэффициента детерминации R², показывающего, какую долю общей изменчивости объясняет данный фактор:

3.2.  Двухфакторный дисперсионный анализпозволяет исследовать воздействие на случайную величину двух факторов. Он допускает много вариантов в зависимости от целей исследования и исходных данных и представляет собой уже достаточно сложную процедуру.

В каждой ячейке может быть рассчитана групповая средняя и изменчивость в виде суммы центрированных квадратов:

;

Общая средняя для всего вариационного ряда и сумма квадратов отклонений индивидуальных значений от общей средней или общая изменчивость :

 ,

Внутригрупповая изменчивость (точнее изменчивость внутри ячеек) в двухфакторном дисперсионном анализе рассматривается как остаточная не учтенная факторами изменчивость:

Для оценки внутригрупповой дисперсии число степеней свободы рассчитывается исходя из того, что для каждой ячейки это число равно  . Тогда число степеней свободы для всех ячеек:

;             ;

Изменчивость, связанная с воздействием обоих факторов вместе, может быть рассчитана как изменчивость между ячейками или как сумма квадратов отклонений средних значений в ячейках от общей средней, умноженная на количество наблюдений в каждой конкретной ячейке. Число степеней свободы для оценки межгрупповой дисперсии (группы - ячейки) будет равно числу ячеек без одной.

 ,

Изменчивость связанная с воздействием первого фактора представляет собой в табличной модели изменчивость между строками таблицы, то есть сумму квадратов отклонений средних значений строк (градаций первого фактора) от общей средней. При этом каждый центрированный квадрат должен быть умножен на количество наблюдений в строке. Количество наблюдений в строке, средняя групповая для строки, межгрупповая изменчивость и оценка межстроковой дисперсии рассчитываются по формулам:

; ;        ;

Изменчивость, связанная с воздействием второго фактора, представляет собой сумму квадратов отклонений средних значений столбцов от общего среднего. Каждый центрированный квадрат должен быть умножен на количество наблюдений в столбце. Формулы для расчета количества наблюдений в столбце, средней групповой для столбца, межгрупповой (группы - столбцы) изменчивости и оценки дисперсии:

; ;           ; .

Сумма межгрупповой изменчивости по строкам, межгрупповой изменчивости по столбцам и внутригрупповой изменчивости по ячейкам не равна общей изменчивости.

;

Разность  рассматривается как изменчивость, связанная с взаимодействием факторов. Расчет оценки дисперсии  производится для числа степеней свободы (p - 1)(q - 1):               

Изменчивость, связанная с взаимодействием факторов, отражает степень коррелированности этих факторов. При расчете F-критерия для оценки значимости факторов в знаменателе всегда располагается оценка внутривыборочной (неучтенной и случайной) дисперсии  с числом степеней свободы (n - pq). B числителе располагается оценка дисперсии соответствующего фактора. Тогда:

; при числе степеней свободы числителя ( p - 1 ),

; при числе степеней свободы числителя ( q - 1 ),

; при числе степеней свободы числителя (p-1)(q-1),

где F₁, F₂, F₁₂ - критерии Фишера для оценки значимости, соответственно, первого фактора, второго фактора и взаимодействия первого и второго факторов. Нулевые гипотезы о равенстве факториальных и случайной дисперсий отвергаются, если значение соответствующего F- критерия превысит его критическое значение для заданного уровня значимости и числа степеней свободы.

Корреляционный анализ

Регрессионный анализ

Нелинейная регрессия

Кластерный анализ

Факторный анализ

Заключение

Список использованной литературы

1. Гуськов, О.И. Математические методы в геологии. Сборник задач / О.И. Гуськов, П. И. Кушнарев, С.М. Таранов. – М.: Недра,2007. – 205 с.

2. Каждан, А.Б. Математические методы в геологии. Учебник для вузов / А.Б. Каж- дан, О.И. Гуськов, А.А. Шимановский. – М.: Недра, 2010. – 251 с.

3. Шестаков, Ю.С. Математические методы в геологии. Учебник для вузов. – Крас- ноярск: КИЦМ, 2008. – 208 с. б) дополнительная литература:

4. Беус, А.А. Руководство по предварительной математической обработке геохими- ческих данных при поисковых работах. М.: МГУ, 2006. – 118 с.

Мы поможем в написании ваших работ!