Собственные векторы и собственные значения матрицы
Прежде, чем изложить подробно алгоритм МАИ и описать пример его применения, приведем элементарные сведения о понятиях «собственный вектор» (СВ) матрицы и ее «собственное значение» (СЗ), поскольку МАИ основан на использовании этих понятий и математическим аппарате линейной алгебры.
Определение. Число λ называется собственным значением (или характеристическим числом) квадратной матрицы А порядка n, если можно подобрать такой n-мерный нулевой вектор 
, что выполняется уравнение [10, с. 70]:
или 
. (1)
Множество всех собственных значений 
матрицы А находится как корни характеристического или векового уравнения
, (2)
где λ – рассматривается в качестве независимых переменных; Е – матричная единица; det(·) – определитель матрицы.
Замечание 1. Если выполнить операцию вычисления определителя det(·) в (2), то получим выражение для характеристического полинома относительно собственных чисел:
. (3)
Решение систем линейных однородных уравнений вида (1) и (2) основано на известной лемме из теории матриц [9, с. 54]: «Для того, чтобы линейная система однородных алгебраических уравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно равенство нулю ее определителя».
Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
|
|
|
.
1) Запишем характеристическое уравнение матрицы
.
То есть получилось квадратное уравнение (характеристический многочлен) относительно неизвестных значений λ.
2) Решением этого квадратного уравнения будут корни:
.
3) Найдем собственные векторы, принадлежащие собственным значениям. Собственный вектор принадлежащий собственному значению 
, по определению является нулевым решением системы
. (3)
Верхний индекс в скобках означает принадлежность к собственному значению 
, а нижний индекс – это номер простого (не кратного) корня.
Поучим:
.
4) Проверяем условие цитированной выше леммы:
.
Условия выполнены, значит нетривиальное решение (3) существует. Тогда в простейшем случае системы двух уравнений [9, с. 336]:
Таким образом, ненулевой собственный вектор, принадлежащий собственному числу 
, найден:
.
Аналогично находится второй собственный вектор 
матрицы А, принадлежащий собственному значению 
.
; 
Следовательно, второй собственный вектор, принадлежащий собственному числу 
, равен
.
Замечание. Метод нахождения собственных чисел 
и собственных векторов из [9, с. 336] неэффективен с точки зрения вычислительной математики при высоком порядке матрицы А (n ~ сотни и тысячи).
|
|
|
В вычислительной математике известны различные вычислительные схемы определения собственных чисел и собственных векторов матрицы, и имеются соответствующие пакеты программ для ЭВМ. Однако до настоящего времени общепринятый стандартный простой метод решения проблемы на собственные значения и собственные векторы матриц большого размера отсутствует.
Основные положения
Метод анализа иерархий является систематической процедурой для иерархического представления компонентов, определяющих суть любой проблемы. Метод состоит в декомпозиции проблемы на все более простые составляющие части и дальнейшей обработке последовательности суждений лица, принимающего решение (ЛПР), по парным сравнениям. В результате может быть выражена относительная степень взаимодействия элементов. Эти суждения затем выражаются численно. Метод анализа иерархии включает процедуры синтеза множественных суждений, выявления приоритетности критериев и нахождения альтернативных решений. Полученные таким образом значения являются оценками в шкале отношений и соответствуют некоторым численным оценкам.
|
|
|
Решение проблемы – это процедура поэтапного установления приоритетов. На первом этапе выявляются наиболее важные компоненты проблемы, на втором – наилучший способ проверки наблюдений, испытания и оценка альтернатив; на следующем этапе вырабатывается решение и оценивается его качество. Процесс может быть проведен так же над последовательностью иерархий: в этом случае результаты, полученные в одной из них, используются в качестве входных данных при изучении следующей. Метод многокритериального отбора систематизирует процесс решения такой многоступенчатой задачи.
Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 266; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!