Оценка пропускной способности АСОУПО

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 10Следующая ⇒

Рассмотрим автоматизированную систему оперативного управления подразделениями пожарной охраны как систему массового обслуживания, с помощью которой определим основные параметры функционирования АСОУПО.

Пусть на вход n-канальной системы массового обслуживания подается простейший поток вызовов с интенсивностью l. Интенсивность простейшего потока обслуживания каждым каналом есть m. Если вызов застал все n-каналы занятыми, то он получает отказ, а если вызов застал свободным хотя бы один канал, то он принимается на обслуживание.

Для анализа функционирования АСОУПО рассмотрим следующие состояния системы:

S₀ – все каналы свободны, ни один вызов не обслуживается;

S₁ – занят ровно один канал и обслуживается только один вызов;

S_k – занято ровно k каналов и обслуживается k вызовов;

S_n – все n каналы заняты и обслуживается n каналов.

В общем виде граф состояния системы с отказами представлен на
рис. 7.8. Отметим, что возможность перехода «через состояние» исключена.

Рис. 7.8. Схема многоканальной СМО

Когда система находится в состоянии S₀, на нее действует поток вызовов с интенсивностью l, переводящий систему в состояние х₁. Если система находится в состоянии S₁, то на нее действуют уже два потока: поток вызовов с интенсивностью l, стремящийся перевести систему в состояние S₂, и поток освобождений канала («поток обслуживания»), который стремится перевести систему в состояние S₀ с интенсивностью m. Когда система находится в состоянии S_n, то при этом на нее действует только один поток с плотностью n_m, переводящий систему справа налево в состояние S_n_-1.

В соответствии с мнемоническим правилом составления системы дифференциальных уравнений для вероятности состояний получим:

(7.15)

Так как система в начальный момент свободна (t = 0), то

(7.16)

Решение системы уравнений (7.15) при начальных условиях (7.16) удовлетворяет нормировочному условию:

(7.17)

При t ® ¥ система дифференциальных уравнений (7.15) превратится в систему алгебраических уравнений:

(7.18)

В результате решения системы уравнений (7.18) совместно с нормировочным уравнением (7.17) получим

(7.19)

Введем обозначение

a = l¤m, (7.20)

где a – среднее значение числа вызовов, поступающих в систему за среднее время обслуживания одного вызова в одном канале.

С учетом обозначения (7.20), умножив числитель и знаменатель уравнения (7.19) на е^-^a, получим

Вероятность обслуживания вызова Р_обсл равна вероятности того, что вызов, поступивший на вход системы, застанет свободным хотя бы один канал:

Учитывая, что вероятность обслуживания вызова равна относительной пропускной способности системы, правомерно записать

где А₀ – абсолютная пропускная способность системы; k – среднее число занятых каналов, при этом

или

Вероятность того, что канал занят, определяется выражением

где n – общее число каналов.

Время занятости канала Т_з.к, равное промежутку времени с момента поступления вызова на вход канала до момента освобождения канала, распределено по показательному закону с интенсивностью m. Следовательно, среднее время занятости канала

(7.21)

т.е. равно математическому ожиданию.

Временем простоя канала Т_п.к называется промежуток времени с момента освобождения канала до его занятия следующим вызовом. Тогда вероятность занятости канала

(7.22)

где _п.к – среднее время простоя канала.

Из сравнения (7.21) и (7.22) следует:

Вероятность полной загрузки системы, т.е. вероятность того, что все каналы системы будут заняты,

Таким образом, на основе принятой математической модели АСОУПО как n-канальной системы массового обслуживания были получены не только аналитические выражения для определения предельных вероятностей состояний системы, но и формула для расчета пропускной способности АСОУПО.

Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 485; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!