ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПОТОКАХ ВЫЗОВОВ



 

Автоматизированная система оперативного управления в пожарной охране является системой массового обслуживания, на вход которой поступает поток вызовов о пожарах и ЧС. Чаще всего это телефонные сообщения по линиям специальной связи «01», а при наличии системы телесигнализации – кодовые цифровые сообщения по специальным каналам связи, организованным на телефонных сетях.

Потоком вызовов называется последовательность вызовов, поступающих на данный пункт через какие-либо интервалы времени. Различают детерминированный и случайный потоки вызовов – последовательность вызовов, в которой они поступают в определенные, строго фиксированные, неслучайные промежутки времени. Случайный поток вызовов отличается от детерминированного только тем, что моменты поступления вызовов и промежутки времени между ними являются не строго фиксированными, а случайными величинами. Детерминированные потоки – частные случаи случайных потоков и на практике встречаются редко. Это, например, поток сеансов связи с искусственными спутниками Земли, поток поступления деталей и изделий на конвейер.

Потоки, которые встречаются на практике, могут обладать свойствами, позволяющими найти простые способы их описания. Такими свойствами являются: ординарность, отсутствие последействия и стационарность.

Ординарность потока вызовов – это невозможность появления двух и более вызовов в один и тот же момент, или, иными словами, вероятность поступления более одного вызова за промежуток времени (t, t + t) при
t ® ¥ и любом начальном моменте t является величиной бесконечно малой и более высокого порядка, чем t.

Отсутствие последствия предполагает, что вероятность поступления некоторого числа вызовов в промежутке времени (t, t + ti) не зависит от того, сколько было вызовов и как они поступали до момента t. Иначе говоря, число вызовов, поступающих в непересекающихся промежутках времени, есть независимые случайные величины. Зависимость же вероятности поступления того или иного числа вызовов в некотором промежутке времени (от процесса поступления вызовов до этого промежутка) характеризует наличие последействия.

Стационарностьпотока означает, что при 0 £ t1 < t2<…< tn и любом положительном t функция распределения группы случайных величин
х(t + ti) - [(t), 1£ i £ n] не зависит от t, а зависит от величины ti, т.е. вероятность поступления некоторого числа вызовов в любой промежуток времени зависит только от длины этого промежутка и не зависит от его начала.

Поток, обладающий свойствами ординарности, стационарности и отсутствия последствия, называется простейшим. Такой поток вызовов полностью определяется функцией

где Рk(t) – вероятность поступления ровно r вызовов за время (0,t).

Данная функция представляет собой распределение дискретной случайной величины (числа вызовов) и подчиняется закону Пуассона:

                               (7.1)

где l – интенсивность потока вызовов.

Закон Пуассона показывает вероятность того, что за время (0,t) поступит ровно k вызовов. Вероятность поступления не менее k вызовов за время (0,t) определяется формулой

                                     (7.2)

Вероятность того, что за время (0,t) не поступит ни одного вызова, т.е. при k = 0,

                                          (7.3)

Тогда вероятность того, что за время (0,t) поступит хотя бы один вызов, определяется следующим выражением:

.                              (7.4)

Для простейшего потока функция распределения длины промежутка времени между двумя последовательными моментами поступления вызовов не зависит от других промежутков и определяется по формуле

                                    (7.5)

Продифференцировав выражение (7.5), найдем плотность распределения длин интервалов времени между последовательными вызовами по показательному (экспоненциальному) закону:

                                     (7.6)

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины интервала времени Т между двумя произвольными соседними вызовами в простейшем потоке вызовов определяется по формулам:

 

;                          (7.7)

 

Среднеквадратическое отклонение интервала времени Т определяется следующим выражением:

                                (7.8)

Из выражений (7.7) и (7.8) следует, что М[T] = s[T], что характерно при показательном законе распределения любой случайной величины.

Если промежуток времени, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время t, то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка: он будет таким же, как и закон распределения всего промежутка Т.

Поток с простым последействием представляет собой ординарный поток, для которого в любой момент t существует конечное значение lS(t), зависящее только от состояния S(t) системы обслуживания в этот момент t. Поток с простым последействием является нестационарным потоком с последействием, однако, не являясь потоком с ограниченным последействием, при t ® ¥ он стремится к стационарному потоку.

Симметричный поток– это такой поток с простым последействием, параметр которого lS(t) = li.

Когда параметр lS(t) не зависит от S(t) (также и от числа занятых источников), поток с простым последействием становится простейшим, так как приобретает свойства стационарности и отсутствия последействия.

Поток от ограниченного числа источников – такой симметричный поток, параметр которого прямо пропорционален числу свободных источников вызовов, т.е.

где a – коэффициент пропорциональности, численно равный параметру одного свободного источника; n – общее число источников; i – число занятых источников.

Поток с ограниченным последействиемхарактеризуется тем, что случайные вызовы z1, z2… взаимозависимы. Для определения такого потока достаточно задать набор функций распределения случайных величин zk:

Рекуррентный потокпоток с ограниченным последействием, для которого все промежутки между вызовами (кроме первого) распределены по одному и тому же закону:

Рекуррентный поток определяется функциями:

;

Частным случаем рекуррентного потока является простейший поток, так как для него все промежутки времени между вызовами распределены по одному и тому же экспоненциальному закону:

Поток Эрлангаполучается путем особого преобразования (разрежения) простейшего потока (потока Пуассона). Это преобразование осуществляется путем исключения некоторых вызовов из простейшего потока. Если исключается каждый второй вызов, то оставшийся поток вызовов образует поток Эрланга первого порядка. В результате исключения двух вызовов подряд и оставления в потоке каждого третьего вызова получается поток Эрланга второго порядка. Вообще потоком Эрланга k-го порядка называется поток, получаемый из простейшего при сохранении каждого (k + 1)-го вызова и исключении остальных. Следовательно, простейший поток – это поток Эрланга нулевого
порядка.

В потоках Эрланга любого порядка промежутки времени между вызовами независимы и распределены по одному и тому же закону, так как они представляют собой сумму одинакового числа промежутков простейшего потока.

Закон Эрланга k–го порядка имеет вид

где fk(t) – плотность распределения интервала времени Tk между двумя соседними вызовами.

При k = 0 закон Эрланга превращается в показательный закон:

Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение промежутка времени между вызовами в потоке Эрланга k-го порядка определяются по следующим формулам соответственно:

;

;

При оценке эффективности АСОУПО существенную роль играет время обслуживания каждого вызова, которое является случайной величиной, подчиняющейся показательному закону распределения:

где m = 1/Тобсл – интенсивность обслуживания.  

Продифференцировав полученное выражение по t, найдем для плотности распределение времени обслуживания:

Математическое ожидание случайной величины времени обслуживания определяется по формуле

и соответственно дисперсия и среднеквадратическое отклонение определяются с помощью следующих выражений:

При автоматизации процесса обслуживания поступающих вызовов о пожарах и ЧС на диспетчерском пункте ЦУС время обслуживания каждого вызова задается программой.

Для определения значения вероятности занятости диспетчеров или линий специальной связи обслуживанием поступающих вызовов пользуются следующей формулой Эрланга:

                 (7.9)

которая означает вероятность того, что обслуживанием вызовов занято точно  линий специальной связи или диспетчеров.

Вероятность того, что все линии связи свободны от обслуживания, определяется по формуле

Если обозначить a = l/m, то формула (7.9) примет следующий вид:

 

 а сумма всех вероятностей .

Следовательно, вероятность отказа в обслуживании вызовов может быть определена по формуле

Таким образом, с помощью формул Эрланга имеется возможность находить необходимое число линий специальной связи и количество диспетчерского состава для успешного обслуживания потока вызовов, поступающих на центр управления силами и средствами ГПС.

 


Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 787; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!