Статистическое распределение выборки



Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение х1 наблюдалось п1 раз, х2 наблюдалось п2 раз, …, хк наблюдалось пк раз. Общий объем выборки можно определить как

.

Наблюдаемые значения хi называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, – вариационным рядом.

Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки  – относительными частотами.

Модой М0называется варианта, имеющая наибольшую частоту.

Медианой Мe называется варианта, которая делит вариационный ряд на две части с одинаковым числом вариант в каждой.

Для дискретного вариационного ряда с нечетным числом членов медиана равна серединной варианте, а для ряда с четным числом членов – полусумме двух серединных вариант.

Размахом выборки называется разность между максимальным и минимальным элементами выборки.

Статистическим распределением выборки (статистическим рядом) называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

 

xi x1 x2 xk
ni n1 n2 nk

или

xi x1 x2 xk
wi w1 w2 wk

 

Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов одинаковой длины и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

 

х х0х1 х1 х2 хк-1 хк
пi п1 п2 пк

 

В таком виде под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами.

Эмпирическая функция распределения. Полигон частот и гистограмма

Предположим, чтополучено статистическое распределение выборки. Обозначим через nx число наблюдений, при которых значения вариант оказываются меньше, чем x.

Эмпирической функцией распределения случайной величины (функцией распределения выборки) называют функцию относительной частоты числа наблюдений nx:

,

т.е. относительной частоты события X<x.

Наглядное представление о статистическом распределении выборки дают графики.

Полигоном частот называют ломаную (рис. 11.1), отрезки которой соединяют точки , , …, . Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – соответствующие им частоты . Точки  соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки , , …, . Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – соответствующие им относительные частоты . Точки  соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

Полигон обычно строят для дискретного признака.

Рис. 11.1 Полигон частот

В тех случаях, когда рассматривается непрерывная случайная величина, которая может принимать любые, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга значения, строится не полигон, а гистограмма. Для этого весь интервал, в котором заключены все значения случайной величины, разбивается на несколько интервалов длиной h каждый. На этих интервалах подсчитывается сумма частот вариант, попавших в i-й интервал, и составляется отношение .

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру (рис. 11.2), состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению  (плотность частоты).

Рис. 11.2 Гистограмма частот

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии . Площадь i-го частичного прямоугольника равна  – сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению  (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии . Площадь i-го частичного прямоугольника равна  – относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме относительных частот, т.е. единице.

Пример.Имеется выборка, содержащая 30 числовых значений некоторого признака случайной величины Х:

19 25 22 16 22 14 17 19 18 20
22 26 24 18 16 19 22 14 18 14
25 17 18 14 20 18 24 25 16 18

 

Построить: 1) статистическое распределение выборки; 2) полигон частот; 3) эмпирическую функцию распределения; 4) интервальный ряд; 5) гистограмму частот; вычислить: 6) выборочную среднюю; 7) выборочную дисперсию; 8) выборочное среднее квадратическое отклонение; 9) моду; 10) медиану.  

Решение.

1. Статистическое распределение выборки представляет собой таблицу, в которой первая строка содержит варианты (значения случайной величины, расположенные в порядке возрастания), а вторая – соответствующие частоты (сколько раз эти значения встречались).

 

хi 14 16 17 18 19 20 22 24 25 26
ni 4 3 2 6 3 2 4 2 3 1

2. Полигон частот – это ломаная, соединяющая точки с координатами (хi; ni).

3. Проведем вычисления для построения эмпирической функции распределения:

Если х ≤ 14, то
если 14 < х ≤ 16, то
если 16 < х ≤ 17, то
если 17 < х ≤ 18, то
если 18 < х ≤ 19, то
если 19 < х ≤ 20, то
если 20 < х ≤ 22, то
если 22 < х ≤ 24, то
если 24 < х ≤ 25, то
если 25 < х ≤ 26, то
если х > 26, то

Получили эмпирическую функцию распределения:

4. Построим интервальный ряд.

Найдем наименьшее и наибольшее значения признака в совокупности и определим размах варьирования: R=xmaxxmin=26–14=12.

Определим число интервалов k. Для этого воспользуемся формулой Стерджесса:

k =1+3,322∙lgn = 1+3,322∙lg30 ≈ 6.

Найдем постоянную величину интервала: .

Определим границы интервалов. За начало первого интервала следует взять х0=х min=14. Промежуточные интервалы получаем, прибавляя к концу предыдущего интервала длину частичного интервала h=2:

х1=14+2=16, х2 =16+2=18, х3=18+2=20, х4=20+2=22, х5=22+2=24, х6=24+2=26. Будем рассматривать следующие промежутки: [14; 16], (16; 18], (18; 20], (20; 22], (22; 24], (24; 26] и посчитаем количество вариант для каждого промежутка.

Получим статистическое распределение интервального ряда:

 

хi 14 –16 16 – 18 18 – 20 20 – 22 22 – 24 24 – 26
ni 7 8 5 4 2 4

 

5. Построим гистограмму частот:

6. Вычислим характеристики ряда. Статистическое распределение ряда, вычисленное выше (пункт 1), имеет вид:

хi 14 16 17 18 19 20 22 24 25 26
ni 4 3 2 6 3 2 4 2 3 1

Выборочная средняя:

7. Выборочная дисперсия:

.

8. Среднее квадратическое отклонение: .

9. Запишем вариационный ряд (все значения в порядке возрастания):

14, 14, 14, 14, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 22, 22, 22, 22, 24, 24, 25, 25, 25, 26

Мода –наиболее часто встречаемое значение, М0 = 18.

10. Медиана – варианта, которая делит вариационный ряд на две части с одинаковым числом вариант в каждой. Для нашего ряда с четным числом членов – медиана равна полусумме двух серединных вариант.

14, 14, 14, 14, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 22, 22, 22, 22, 24, 24, 25, 25, 25, 26

Медиана Мe = 18,5.

Задачи №721-745:

Имеется выборка, содержащая 15 числовых значений некоторого признака случайной величины Х.

Построить:

1) статистическое распределение выборки;

2) полигон частот;

3) эмпирическую функцию распределения;

4) интервальный ряд;

5) гистограмму частот;

 

вычислить:

6) выборочную среднюю;

7) выборочную дисперсию;

8) выборочное среднее квадратическое отклонение;

9) моду;

10) медиану.

721 Х 17 10 26 20 4 17 20 26 20 4 10 29 20 17 10
                                 

 

722 Х 13 8 3 17 8 20 13 8 3 23 8 13 17 8 13

 

723 Х 15 22 27 6 15 36 27 22 15 27 22 27 6 27 31

 

724 Х 14 12 7 14 12 17 14 12 17 22 20 12 14 20 12

 

725 Х 11 5 14 18 23 11 14 5 18 25 11 18 14 18 23

 

726 Х 12 16 23 30 12 5 28 12 16 23 5 12 16 12 16

 

727 Х 13 18 8 21 28 13 21 26 21 8 13 18 21 18 21

 

728 Х 10 6 13 10 17 10 13 20 17 10 20 13 10 21 13

 

729 Х 18 13 24 7 32 24 18 30 7 24 13 18 30 13 24

 

730 Х 15 10 4 15 17 22 10 15 24 10 15 4 10 17 10

 

731 Х 13 7 10 13 3 13 7 17 13 18 3 13 7 10 13

 

732 Х 12 19 12 5 19 24 12 19 35 24 19 30 12 30 12

 

733 Х 14 9 20 14 23 20 26 9 23 14 26 23 20 29 23

 

734 Х 15 10 3 19 15 10 28 15 3 10 15 19 10 24 10

 

735 Х 17 7 14 12 17 20 22 17 14 7 12 17 12 17 14

 

736 Х 16 11 6 25 16 21 11 26 11 16 11 25 16 21 11

 

737 Х 13 16 20 7 13 27 20 24 13 7 20 16 24 20 16

 

738 Х 12 25 8 12 8 25 8 12 3 12 3 8 33 8 30

 

739 Х 19 8 14 24 19 24 33 24 19 8 14 24 30 24 14

 

740 Х 10 14 8 10 14 8 3 10 8 16 8 10 8 18 16

 

741 Х 14 18 22 14 7 18 22 25 14 22 27 25 22 7 18

 

742 Х 15 11 4 11 15 22 15 11 4 15 25 11 29 22 11

 

743 Х 17 24 12 24 17 12 24 4 17 34 24 4 30 24 12

 

744 Х 16 13 8 16 13 18 21 16 13 21 18 13 16 23 13

 

745 Х 10 5 16 10 20 5 22 20 10 22 16 20 25 20 16

 


Приложение 1

Таблица значений функции

  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,3989 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 3973
0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918
0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825
0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697
0,4 3683 3668 3652 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538
0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352
0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144
0,7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920
0,8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685
0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444
1,0 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203
1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965
1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736
1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518
1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315
1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127
1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957
1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804
1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669
1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551
2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449
2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363
2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290
2,3 0283 0277 0264 0258 0258 0252 0246 0241 0235 0229
2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180
2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139
2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107
2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081
2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061
2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046
3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034
3,1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025
3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018
3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013
3,4 0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 0009
3,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006
3,6 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004
3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003
3,8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002
3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001

 


Приложение 2

Таблица значений функции

x Φ(x) x Φ(x) x Φ(x) x Φ(x)
0,00 0,0000 0,24 0,0948 0,48 0,1844 0,72 0,2642
0,01 0,0040 0,25 0,0987 0,49 0,1879 0,73 0,2673
0,02 0,0080 0,26 0,1026 0,50 01915 074 0,2703
0,03 0,0120 0,27 0,1064 0,51 0,1950 0,75 0,2734
0,04 0,0160 0,28 0,1103 0,52 0,1985 0,76 0,2764
0,05 0,0199 0,29 0,1141 0,53 0,2019 0,77 0,2794
0,06 0,0239 0,30 0,1179 0,54 0,2054 0,78 0,2823
0,07 0,0279 0,31 0,1217 0,55 0,2088 0,79 0,2852
0,08 0,0319 0,32 0,1255 0,56 0,2123 0,80 0,2881
0,09 0,0359 0,33 0,1293 0,57 0,2157 0,81 0,2910
0,10 0,0398 0,34 0,1331 0,58 0,2190 0,82 0,2939
0,11 0,0438 0,35 0,1368 0,59 0,2224 0,83 0,2967
0,12 0,0478 0,36 0,1406 0,60 0,2257 0,84 0,2995
0,13 0,0517 0,37 0,1443 0,61 0,2291 0,85 0,3023
0,14 0,0557 0,38 0,1480 0,62 0,2324 0,86 0,3051
0,15 0,0596 0,39 0,1517 0,63 0,2357 0,87 0,3078
0,16 0,0636 0,40 0,1554 0,64 0,2389 0,88 0,3106
0,17 0,0675 0,41 0,1591 0,65 0,2422 0,89 0,3133
0,18 0,0714 0,42 0,1628 0,66 0,2454 0,90 0,3159
0,19 0,0753 0,43 0,1664 0,67 0,2486 0,91 0,3186
0,20 0,0793 0,44 0,1700 0,68 0,2517 0,92 0,3212
0,21 0,0832 0,45 0,1736 0,69 0,2549 0,93 0,3238
0,22 0,0871 0,46 0,1772 0,70 0,2580 0,94 0,3264
0,23 0,0910 0,47 0,1808 0,71 0,2611 0,95 0,3289
0,96 0,3315 1,37 0,4147 1,78 0,4625 2,36 0,4909
0,97 0,3340 1,38 0,4162 1,79 0,4633 2,38 0,4913
0,98 0,3365 1,39 0,4177 1,80 0,4641 2,40 0,4918
0,99 0,3389 1,40 0,4192 1,81 0,4649 2,42 0,4922
1,00 0,3413 1,41 0,4207 1,82 0,4656 2,44 0,4927
1,01 0,3438 1,42 0,4222 1,83 0,4664 2,46 0,4931
1,02 0,3461 1,43 0,4236 1,84 0,4671 2,48 0,4934
1,03 0,3485 1,44 0,4251 1,85 0,4678 2,50 0,4938
1,04 0,3508 1,45 0,4265 1,86 0,4686 2,52 0,4941
1,05 0,3531 1,46 0,4279 1,87 0,4693 2,54 0,4945
1,06 0,3554 1,47 0,4292 1,83 0,4699 2,56 0,4948
1,07 0,3577 1,48 0,4306 1,89 0,4706 2,58 0,4951
1,08 0,3599 1,49 0,4319 1,90 0,4713 2,60 0,4953
1,09 0,3621 1,50 0,4332 1,91 0,4719 2,62 0,4956
1,10 0,3643 1,51 0,4345 1,92 0,4726 2,64 0,4959
1,11 0,3665 1,52 0,4357 1,93 0,4732 2,66 0,4961
1,12 0,3686 1,53 0,4370 1,94 0,4738 2,68 0,4963
1,13 0,3708 1,54 0,4382 1,95 0,4744 2,70 0,4965
1,14 0,3729 1,55 0,4394 1,96 0,4750 2,72 0,4967
1,15 0,3749 1,56 0,4406 1,97 0,4756 2,74 0,4969
1,16 0,3770 1,57 0,4418 1,98 0,4761 2,76 0,4971
1,17 0,3790 1,58 0,4429 1,99 0,4767 2,78 0,4973
1,18 0,3810 1,59 0,4441 2,00 0,4772 2,80 0,4974
1,19 0,3830 1,60 0,4452 2,02 0,4783 2,82 0,4976
1,20 0,3849 1,61 0,4463 2,04 0,4793 2,84 0,4977
1,21 0,3869 1,62 0,4474 2,06 0,4803 2,86 0,4979
1,22 0,3883 1,63 0,4484 2,08 0,4812 2,88 0,4980
1,23 0,3907 1,64 0,4495 2,10 0,4821 2,90 0,4981
1,24 0,3925 1,65 0,4505 2,12 0,4830 2,92 0,4982
1,25 0,3944 1,66 0,4515 2,14 0,4838 2,94 0,4984
1,26 0,3962 1,67 0,4525 2,16 0,4846 2,96 0,4985
1,27 0,3980 1,68 0,4535 2,18 0,4854 2,98 0,4986
1,28 0,3997 1,69 0,4545 2,20 0,4861 3,00 0,49865
1,29 0,4015 1,70 0,4554 2,22 0,4868 3,20 0,49931
1,30 0,4032 1,71 0,4564 2,24 0,4875 3,40 0,49966
1,31 0,4049 1,72 0,4573 2,26 0,4881 3,60 0,499841
1,32 0,4066 1,73 0,4582 2,28 0,4887 3,80 0,499928
1,33 0,4082 1,74 0,4591 2,30 0,4893 4,00 0,499968
1,34 0,4099 1,75 0,4599 2,32 0,4898 4,50 0,499997
1,35 0,4115 1,76 0,4608 2,34 0,4904 5,00 0,499997
1,36 0,4131 1,77 0,4616        

               


Приложение 3

Таблица значений функции

n     γ 0,95 0,99 0,999 n     γ 0,95 0,99 0,999
5 2,78 4,60 8,61 20 2,093 2,861 3,883
6 2,57 4,03 6,86 25 2,064 2,797 3,745
7 2,45 3,71 5,96 30 2,045 2,756 3,659
8 2,37 3,50 5,41 35 2,032 2,720 3,600
9 231 3,36 5,04 40 2,023 2,708 3,558
10 2,26 3,25 4,78 45 2,016 2,692 3,527
11 2,23 3,17 4,59 50 2,009 2,679 3,502
12 2,20 3,11 4,44 60 2,001 2,662 3,464
13 2,18 3,06 4,32 70 1,996 2,649 3,439
14 2,16 3,01 4,22 80 1,991 2,640 3,418
15 2,15 2,98 4,14 90 1,987 2,633 3,403
16 2,13 2,95 4,07 100 1,984 2,627 3,392
17 2,12 2,92 4,02 120 1,980 2,617 3,374
18 2,11 2,90 3,97 1,960 2,576 3,291
19 2,10 2,88 3,92        

 

Приложение 4

Таблица значений функции

n     γ 0,95 0,99 0,999 n     γ 0,95 0,99 0,999
5 1,37 2,67 5,64 20 0,37 0,58 0,88
6 1,09 2,01 3,88 25 0,32 0,49 0,73
7 0,92 1,62 2,98 30 0,28 0,43 0,63
8 0,80 1,38 2,42 35 0,26 0,38 0,56
9 0,71 1,20 2,06 40 0,24 0,35 0,50
10 0,65 1,08 1,80 45 0,22 0,32 0,46
11 0,59 0,98 1,60 50 0,21 0,30 0,43
12 0,55 0,90 1,45 60 0,188 0,269 0,38
13 0,52 0,83 1,33 70 0,174 0,245 0,34
14 0,48 0,78 1,23 80 0,161 0,226 0,31
15 0,46 0,73 1,15 90 0,151 0,211 0,29
16 0,44 0,70 1,07 100 0,143 0,198 0,27
17 0,42 0,66 1,01 150 0,115 0,160 0,211
18 0,40 0,63 0,96 200 0,099 0,136 0,185
19 0,39 0,60 0,92 250 0,089 0,120 0,162

 


 

Приложение 5

Критические точки распределения

Число

степеней

свободы

k

Уровень значимости

0,01 0,025 0,05 0,95 0,975 0,99
1 6,6 5,0 3,8 0,0039 0,00098 0,00016
2 9,2 7,4 6,0 0,103 0,051 0,020
3 11,3 9,4 7,8 0,352 0,216 0,115
4 13,3 11,1 9,5 0,711 0,484 0,297
5 15,1 12,8 11,1 1,15 0,831 0,554
6 16,8 14,4 12,6 1,64 1,24 0,872
7 18,5 16,0 14,1 2,17 1,69 1,24
8 20,1 17,5 15,5 2,73 2,18 1,65
9 21,7 19,0 16,9 3,33 2,70 2,09
10 23,2 20,5 18,3 3,94 3,25 2,56
11 24,7 21,9 19,7 4,57 3,82 3,05
12 26,2 23,3 21,0 5,23 4,40 3,57
13 27,7 24,7 22,4 5,89 5,01 4,11
14 29,1 26,1 23,7 6,57 5,63 4,66
15 30,6 27,5 25,0 7,26 6,26 5,23
16 32,0 28,8 26,3 7,96 6,91 5,81
17 33,4 30,2 27,6 8,67 7,56 6,41
18 34,8 31,5 28,9 9,39 8,23 7,01
19 36,2 32,9 30,1 10,1 8,91 7,63
20 37,6 34,2 31,4 10,9 9,59 8,26
21 38,9 35,5 32,7 11,6 10,3 8,90
22 40,3 36,8 33,9 12,3 11,0 9,54
23 41,6 38,1 35,2 13,1 11,7 10,2
24 43,0 39,4 36,4 13,8 12,4 10,9
25 44,3 40,6 37,7 14,6 13,1 11,5
26 45,6 41,9 38,9 15,4 13,8 12,2
27 47,0 43,2 40,1 16,2 14,6 12,9
28 48,3 44,5 41,3 16,9 15,3 13,6
29 49,6 45,7 42,6 17,7 16,0 14,3
30 50,9 47,0 43,8 18,5 16,8 15,0

 


ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. / Д.Т. Письменный – 3-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2005. 1 ч. – 288 с.

2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Часть 1: Учеб. Пособие для втузов / Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. – М.:ОНИКС, 2005. – 304 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман – М.: Высшая школа, 2004. – 479 с.: ил.

4. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика / Н.Ш. Кремер – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2004. – 573с.

5. Лунгу К.Н Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К.Н. Лунгу, В.П. Норин., Д.Т. Письменный, Ю.А. Шевченко; под ред. С.Н. Федина. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 592 .: ил.

6. Гусак А.А. Теория вероятностей: справ. пособ. к решению задач / А.А. Гусак, Е.А. Бричикова. – 6-е изд. – Минск: ТетраСистемс, 2007. – 288 с.

7. Шапкин А.С. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями: Учебное пособие / А.С. Шапкин, В.А Шапкин. – 7-е изд., – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко», 2010. – 432 с.

8. Киселева Н.Г. Системный анализ и моделирование экосистем: конспект лекций / Н.Г. Киселева. – Йошкар-Ола: Марийский государственный технический университет, 2008. – 128 с.

9. Киселева Н.Г. Математические методы обработки данных: метод. указания для практ. и самост. работ. – Казань: Изд-во Казанского ГАУ, 2016. – 54с.

10. Киселева Н.Г. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебно-методические пособие. Казанский ГАУ. Н.Г. Киселева, А.Н. Зиннатуллина, С.Р. Еникеева, Казань, 2014. – 128 с.


Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 7007; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!