Преобразование сигнала во времени. Дискретное преобразование Фурьє



Приложение Д. Теория к разделу «Цифровая обработка сигналов»

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Преобразование Фурье используется во многих областях науки.

Дискретная версия преобразования Фурье может быстро рассчитываться на компьютерах, используя алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ англ. FFT).

Часто в литературе по цифровой обработке сигналов выражение для дискретного преобразования Фурье (ДПФ) дается «как данность», и выводу выражений для прямого и обратного ДПФ не уделяется должного внимания.

Однако понимание данного перехода позволит лучше понять свойства ДПФ и суть цифрового спектрального анализа в целом. Сначала мы тоже запишем выражения для непрерывного и дискретного преобразования Фурье, а после осуществим переход к ДПФ от интеграла Фурье.

 

Дискретизация сигнала по времени. Спектр дискретного сигнала

Итак, пара непрерывного преобразования Фурье (интеграл Фурье) имеет вид:|вид|:

(1)

где – спектр сигнала (в общем случае и сигнал и спектр — комплексные).

Выражения для прямого ДПФ и обратного дискретного преобразования Фурье (ЗДПФ) имеют вид|вид|:

(2)

Выражение для ДПФ ставит в соответствие  отсчетам сигнала ,  отсчетов спектра , .

 

Можно обратить внимание, что как и в непрерывном, так и в дискретном случае, в выражении для обратного преобразования является коэффициент нормирования.

В случае интеграла Фурье это , в случае ЗДПФ – . Можно отметить, что в случае непрерывного преобразования коэффициент нормирования  предназначен корректно отображать масштабирование сигнала во времени в частотную область и наоборот. Другими словами, если последовательно рассчитать спектр некоторого сигнала, а после взять обратное преобразование Фурье, то результат обратного преобразования должен полностью совпадать с входным сигналом.

Коэффициент нормирования  уменьшает амплитуду сигнала на выходе обратного преобразования для того, чтобы она совпадала с амплитудой входного сигнала.

Рассмотрим теперь сигнал , как результат умножения непрерывного сигнала  на решетчатую функцию:

, (3)

где – дельта-функция,

(4)

– интервал дискретизации. Графически процесс дискретизации можно представить как это показано на рисунке 1.


Рисунок 1: Процесс дискретизации сигнала

 

Вычислим спектр дискретного сигнала, для этого подставим выражения для дискретного сигнала (3) в выражения для преобразования Фурье (1), получим |одержуватимемо|:

(5)

Поменяем местами операции суммирования и интегрирования и вспомним свойство дельта-функции, фильтрует:

. (6)

Тогда выражение (5) с учетом (6):

(7)

Таким образом мы избавились от интеграции в бесконечных пределах, заменив конечным суммированием комплексных экспонент. Но пока частота  изменяется на всей числовой оси. Однако можно заметить, что комплексные экспоненты под знаком суммы в выражении (7) являются периодическими функциями с периодом:

(8)

Необходимо отметить, что  исключено из выражения (8), так как при  комплексная экспонента равна единице для всех частот. Таким образом, максимальный период повторения спектра будет при и равна:

. (9)

В результате можно рассматривать только один период повторения спектра 

при

 

Преобразование сигнала во времени. Дискретное преобразование Фурьє

Для цифровой обработки требуются как дискретные отсчеты сигнала, так и дискретные отсчеты спектра. Известно, что дискретный (или как еще говорят линейчатый спектр) имеют периодические сигналы, а линейчатый спектр получается путем разложения в ряд Фурье периодического сигнала. Чтобы получить дискретный спектр надо сделать входной дискретный сигнал периодическим, или, другими словами, необходимо повторить данный сигнал во времени бесконечной количество раз с некоторым периодом , тогда его спектр будет содержать дискретные гармоники кратные . Графически процесс повторения сигнала во времени представлен на рисунке 2.


Рисунок 2: Повторение сигнала во времени

 

Черным показан входной сигнал, серым его повторения через некоторый период .

Как следует из рисунка 2, повторять сигнал можно с разным периодом , однако необходимо, чтобы период повторения был больше или равно длительности сигнала . При этом минимальный период повторения сигнала:

. (10)

Это тот минимальный период, при котором сигнал и его повторение не накладываются друг на друга. Повторение сигнала с минимальным периодом  представлено на рисунке 3.

 


Рисунок 3: Повторение сигнала с минимальным периодом

 

При повторении сигнала с минимальным периодом получим, что линейчатый спектр сигнала состоит из гармоник кратных

(11)

и на одном периоде  получим

(12)

гармоник|гармошок| спектра.

Таким образом мы можем провести дискретизацию спектра дискретного сигнала на одном периоде повторения  с шагом  и получим тем самым  отсчетов спектра. Учтем вышесказанное в выражении (7), получим |одержуватимемо|:

(13)

Если опустить в выражении (13) шаг дискретизации по времени  и по частоте , то получим окончательное выражение для ДПФ:

 

(14)

Можно сделать вывод, что ДПФ ставит в соответствие  отсчетам дискретного сигнала  отсчетов дискретного спектра, при этом предполагается, что и сигнал и спектр являются периодическими и анализируются на одном периоде.

 


Дата добавления: 2018-05-09; просмотров: 265; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!