Частотные критерии устойчивости



Критерий Михайлова так же, как критерии Гурвица и Рауса, основан на анализе характеристического уравнения системы, поэтому с его помощью можно судить об устойчивости замкнутых и разомкнутых систем.

Подставим в характеристический полином вместо переменного p чисто мнимый корень, который в дальнейшем будем обозначать jw. Тогда получим функцию комплексного переменного

                     (1.5)

которую можно так же, как амплитудно-фазовую характеристику, представить в виде суммы действительной и мнимой частей:

                                                                   (1.6)

Действительная часть  содержит только четные степени переменного w:

                                                     (1.7)

а мнимая часть только нечетные:

                                                   (1.8)

Каждому фиксированному значению переменного w соответствует комплексное число, которое можно изобразить в виде вектора на комплексной плоскости. Если теперь изменять параметр w от 0 до ¥, то конец вектора  опишет некоторую линию (рис.1.2, а), которая называется характеристической кривой или годографом Михайлова. По виду этой кривой можно судить об устойчивости системы.

Формулировка критерия Михайлова: автоматическая система управления, описываемая уравнением п-го порядка, устойчива, если при изменении w 0 до ¥ характеристический вектор системы  повернется против часовой стрелки на угол np/2, не обращаясь при этом в нуль.

Это означает, что характеристическая кривая устойчивой системы должна при изменении w от 0 до ¥ пройти последовательно через n квадрантов. Из выражений (1.7) и (1.8) следует, что кривая  всегда начинается в точке на действительной оси, удаленной от начала координат на величину an.

 

Рис. 1.2. Характеристические кривые.

Характеристические кривые, соответствующие устойчивым системам, имеют плавную спиралеобразную форму и уходят в бесконечность в том квадранте, номер которого равен порядку уравнения (рис.1.2, б.).  Если характеристическая кривая проходит n квадрантов не последовательно или проходит меньшее число квадрантов, то система неустойчива (рис.1.2, в.). Если кривая F(jw) проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости. В практических расчетах удобно применять

 следствие из критерия Михайлова: система устойчива, если действительная и мнимая части характеристической функции  обращаются в нуль поочередно, т.е. если корни уравнений  и  перемежаются и  и  (рис.1.2, г.).  

 

Критерий Найквиста был сформулирован американским физиком X. Найквистом в 1932 г.

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутого контура системы.

 

Формулировка критерия Найквиста: замкнутая автоматическая система управления устойчива, если разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов АФЧХ через ось абсцисс слева от точки (-1; ј 0) равна m/2, где m — число правых корней характеристического уравнения разомкнутого контура.

Если АФЧХ начинается или заканчивается на отрезке ( -∞; -1), то считают, что характеристика совершает полперехода.

Для использования изложенного приема применительно к астатическим системам, которые содержат интегрирующие звенья, и амплитудно-фазовые характеристики которых начинаются в -∞, характеристику W(јω) предварительно дополняют дугой окружности бесконечно большого радиуса, длина дуги зависит от порядка астатизма. Для определения устойчивости систем с астатизмом порядка , следует дополнить АФЧХ разомкнутой системы дугой  окружности бесконечно большого радиуса и затем применить критерий Найквиста.

 

Частота, при которой амплитудная характеристика А(ω) принимает значение 1, называется частотой среза и обозначается ωср. Частоту, при которой фазовый сдвиг

φ(ω) = -π, обозначают ωπ.

Пользуясь введенными обозначениями, можно записать условие нахождения системы на границе устойчивости:

                                                                             (1.9)

Частота, с которой система колеблется на границе устойчивости, называется критической и обозначается ωкр.

 


Порядок выполнения работы.

1. Получить индивидуальное задание – линейную непрерывную систему третьего порядка.

2. Подобрать параметры исследуемых САУ:

2.1. Получить характеристическое уравнение системы, подставить числовые значения.

2.2. Выписать условия устойчивости по критерию Гурвица, получить зависимость от K.

2.3. Подставить параметр K для устойчивого состояния в характеристическое уравнение. Найти и проанализировать корни получившегося уравнения.

2.4. Собрать схему для моделирования устойчивого переходного процесса САУ (схема системы_1).

2.5. Заменить в разомкнутом контуре последнее апериодическое звено звеном запаздывания, подобрать путем моделирования величину запаздывания так, чтобы система осталась устойчивой (схема системы_2).

3. Исследовать устойчивость системы аналитически:

3.1. Доказать устойчивость системы_1 критерием Рауса.

3.2. Доказать устойчивость системы_1, используя следствие из критерия Михайлова (без построения кривых).

4. Исследовать устойчивость системысо звеном запаздыванияс помощью критерия Михайлова:

4.1. Получить действительную -  и мнимую -  составляющие характеристической функции для системы_2.

4.2. Построить годограф Михайлова, убедиться в устойчивости системы по виду годографа.

5. Исследовать устойчивость системысо звеном запаздыванияс помощью критерия Найквиста:

5.1. Определить устойчивость разомкнутой системы_2 любым критерием (найти количество правых корней).

5.2. По виду АФЧХ разомкнутой системы_2 (со звеном запаздывания) определить устойчивость замкнутой системы_2.


Содержание отчета

1. На титульном листе кроме основных сведений также указывается номер варианта и номер(а) компьютера(ов), на котором(ых) проводилось моделирование.

2. Цель работы.

3. Индивидуальное задание: структурная схема, численные значения параметров.

4. Протокол выполнения работы, включая графики всех полученных характеристик и все расчеты и преобразования для схем.


Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 189; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!