Понятие дискретных и непрерывных случайных величин

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Определение. Случайная величина называется дискретной, если совокупность всех ее возможных значений представляет собой конечное или бесконечное, но обязательно счетное множество значений, т. е. такое множество, все элементы которого могут быть (по крайней мере теоретически) пронумерованы и выписаны в соответствующей последовательности.

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если множество ее возможных значений представляет собой некоторый конечный или бесконечный промежуток числовой оси.

Исходя из этих определений, такие из перечисленных выше случайных величин, как количество очков, выпадающих при бросании игрального кубика, число посетителей аптеки в течение дня, количество яблок на дереве, являются дискретными случайными величинами, а такие, как температура больного в фиксированное время суток, масса наугад выбранной таблетки некоторого препарата, рост наугад выбранного студента, – непрерывными величинами.

Основные числовые характеристики дискретной случайной величины

Как уже отмечалось, закон распределения дискретной случайной величины позволяет получить исчерпывающую информацию об этой величине.

На практике закон распределения изучаемой величины часто неизвестен, но даже и в тех случаях, когда он известен, для описания определенных особенностей этой величины используют ее так называемые основные числовые характеристики, из которых рассмотрим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение (стандарт).

Определение. Математическим ожиданием М(Х) (часто используется также обозначение «ц») дискретной случайной величины X называется сумма произведений каждого из всех ее возможных значений на соответствующие вероятности: М(Х)= μ= ∑x_ip_i= x₁p₁+x₂p₂+…x_np_n (8.13)

где индекс г принимает значения 1, 2, 3, ..., п.

Пример8.7. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины X, определяемой как количество студентов в наугад выбранной группе, используя данные табл. 8.3 (см. пример 8.6).

Решение. Подставляя данные табл. 8.3 в формулу (8.13), получим:

μ = 8*0,2 + 9*0,1 + 10*0,3+ 11*0,2+ 12*0,2=10,1.

Основной смысл математического ожидания дискретной случайной величины состоит в том, что оно представляет собой среднее значение данной величины. Иными словами, если произведено некоторое количество испытаний и по результатам этих испытаний вычислено среднее арифметическое всех наблюдавшихся значений дискретной случайной величины X, то это среднее арифметическое значение приближенно равно (тем точнее, чем больше количество испытаний) математическому ожиданию данной случайной величины.

Некоторые свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной величине: М(С) = С.

2. Математическое ожидание произведения постоянного множителя на дискретную случайную величину равно произведению этого постоянного множителя на математическое ожидание данной случайной величины: М(kХ)=k*M(X)

3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

М(Х +Y) = М(Х) + М(Y).

Для характеристики степени разброса возможных значений дискретной случайной величины относительно ее математического ожидания вводят понятие дисперсии дискретной случайной величины.

Определение. Дисперсией D(Х) (часто используется также обозначение «σ²») дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания:

D(Х) = σ² =М((Х- μ)²). (8.14)

Следует, однако, отметить, что на практике дисперсию часто удобнее вычислять по формуле D(Х) = σ² =М( X²)-μ² (8.15)

Пример8.8. Вычислить дисперсию дискретной случайной величины X, определяемой как число студентов в наугад выбранной группе, используя данные табл. 8.3, а также результаты примера 8.7.

Решение. Используя данные, приведенные в табл. 8.3, вычислим сначала математическое ожидание величины X²:

M(X²)= ∑x_i²p_i= x₁²p₁+ x₂²p₂+ …+x_n²p_n=64*0,2 + 81*0,1 + 100*0,3 + 121*0,2 + 144*0,2 = 103,9.

Подставляя это значение, а также найденное в примере 8.7 значение математического ожидания в формулу (8.15), получим: σ²=103,9-10,1² = 1,89.

Некоторые свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:D(C)=0

2. Дисперсия произведения постоянного множителя Ь на дискретную случайную величину равна произведению квадрата этого постоянного множителя на дисперсию данной случайной величины: D(kX)=k²*D(X)

Как следует из определения дисперсии дискретной случайной величины, ее размерность равна квадрату размерности самой случайной величины. Например, размерность дисперсии, вычисленной в примере 8.8, есть «студент²».

Наряду с дисперсией в качестве числовой характеристики степени разброса возможных значений дискретной случайной величины относительно ее математического ожидания часто используют ее среднее квадратическое отклонение (иногда называемое стандартным отклонением или просто стандартом), размерность которого совпадает с размерностью случайной величины.

Определение. Средним квадратическим отклонением дискретной случайной величины называется квадратный корень из ее дисперсии: σ(X)= √D(X) (8.16)

Пример8.9. Вычислить среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, определяемой как число студентов в наугад выбранной группе (см. пример 8.6), используя результаты примера 8.8.

Решение. Подставляя величину дисперсии, найденную в примере 8.8, в формулу (8.16), найдем искомое среднее квадратическое отклонение:

σ (Х) =√1,89≈1,37.

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 376; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!