Действия над комплексными числами.
Домашняя контрольная работа по темам «Двойные, тройные интегралы» и «Комплексные числа и функции комплексного переменного»
1. НЕ ВЫПОЛНЯТЬ №№ 5, 6, 9!!!!!
2. Изучить «Образец решения контрольной работы»!
Интегрирование функций многих переменных.
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
Пусть функция определена в некоторой замкнутой области D плоскости . Составим интегральную сумму для функции по области D : , разбив область D произвольно на n элементарных областей , не имеющих общих внутренних точек, где - площади этих областей, - значение функции в произвольной точке области D. Предел интегральной суммы при d=max{ }→ 0 (n→∞) называется двойным интегралом по области D от функции :
. (1)
Вычисление двойного интеграла осуществляется сведением к повторному интегралу:
(2)
Рис.1
(3)
у
Q
d
|
n C q
|
|
c
x
Рис 2.
Площадь S плоской области D вычисляется по формулам:
(4) S= = , если область в декартовой системе координат определена неравенствами
(5) S= = , если область в полярной системе координат определена неравенствами
Объем V цилиндрического тела, ограниченного снизу плоскостью z=0, сверху непрерывной поверхностью z=f(x,y), проекцией которой на плоскость ХОУ является область D, вычисляется по формуле V= . (6)
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
Пусть функция определена и непрерывна в пространственной области V, ограниченной сверху поверхностью , а снизу – поверхностью , где функции и определены и непрерывны в области D .
Тогда тройной интеграл вычисляется по формуле: (7) , причем при вычислении внутреннего интеграла переменные х и у считаются константами.
Рис.3
Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.
Цилиндрические координаты есть обобщение полярных координат на плоскости и связаны с прямоугольными координатами (x,y,z) формулами:
|
|
(8)
Переход к тройному интегралу в цилиндрических координатах осуществляется по формуле: (9) , где - модуль якобиана перехода от декартовых к цилиндрическим координатам.
Переход к цилиндрическим координатам упрощает вычисление тройного интеграла в случае, если тело V проецируется в круг или часть круга.
Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.
Сферические координаты связаны с прямоугольными координатами (x,y,z) формулами:
(9)
Модуль якобиана перехода равен
Переменные в общем случае изменяются в пределах:
.
Переход к тройному интегралу в сферических координатах осуществляется по формуле:
(10) .
Определим объемную плотность распределения массы в точке P тела как предел отношения массы элементарного тела, содержащего точку P к ее объему, когда диаметр элементарного тела стремится к нулю. Тогда:
1. Объем пространственной области
. (11)
2. Масса тела, занимающего область ,
, (12)
где -плотность вещества.
Действия над комплексными числами.
|
|
Число , где
называется комплексным числом в алгебраической форме. Оно изображается на комплексной плоскости точкой М(a;b). - чисто вещественное число (изображается точкой, лежащей на оси ОХ), - чисто мнимое число (изображается точкой, лежащей на оси ОУ). Числа и называются взаимно сопряженными.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме:
Пусть . Тогда:
1. ;
2. ;
3.
4. ;
5. Если , , то .
Положение точки можно определить с помощью полярных координат . Пользуясь формулами , где - модуль числа z, - аргумент числа z, причем , комплексное число можно представить в тригонометрической форме: . С помощью формулы Эйлера можно от тригонометрической формы перейти к показательной: .
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме:
Пусть . Тогда:
1.
2. ;
3. - формула Муавра (n – целое число);
4. , n-целое положительное, k=0, 1, 2,…n-1.
Функции комплексного переменного.Пусть - комплексная переменная, . Тогда
1. , - свойство периодичности;
2. ; 3. ;
4. ; 5. ;
6. ; 7. ;
причем
; ; ; ;
8. - логарифм (многозначная функция), ;
- главное значение логарифма.
9. .
- объемная плотность распределения массы тела в точке
|
|
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 219; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!