Математические модели простейших систем

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 2

«РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ И

ЭФФЕКТИВНОСТИ ГИБКИХ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ СИСТЕМ»

Целью работы является приобретение и закрепление элементарных знаний, навыков и умений по вопросам применения современных методов оценки эффективности автоматизированных производственных систем на основе теории систем массового обслуживания.

Содержание ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ

В первой части (теоретической) студенты знакомятся с основами современной теории систем массового обслуживания и их применением для оценки эффективности различных технических систем, а также примерами решения конкретных задач.

Во второй части студенты выполняют задание (4 задачи), целью которого является решение задач с использованием аппарата теории систем массового обслуживания для оценки эффективности автоматизированных систем.

Решение задач должно быть выполнено в Excel. При оформлении задач в необходимо указывать исходные данные, определяемые показатели, исходные и промежуточные формулы, конечные формулы и конечный результат.

При решении задач в Excel все задачи можно рассмотреть в одном файле на различных листах. Листы желательно переименовать соответственно задачам, например: Лист1 Þ Задача_1.

Теоретические основы

Системы массового обслуживания

Проектирование любой системы можно рассматривать как решение последовательности проектных задач, которые включают задачи синтеза и задачи анализа системы и ее частей.

В настоящее время в терминах систем массового обслуживания (СМО) описываются многие реальные системы: вычислительные системы, узлы сетей связи, диспетчерские системы посадки самолетов, магазины, производственные участки, любые автоматизированные системы и системы материального производства, Интернет, банкоматы, где возможны очереди и (или) отказы в обслуживании.

В автоматизированной производственной системе роль обслуживающего «прибора» может играть ЭВМ, которая перенаправляет потоки заготовок, инструментов, оснастки и пр. по различным компонентам производственных систем (а реально – перенаправляет потоки управляющих команд) или оборудование, которое производит обработку или сборку изделий. Роль заявок играют решаемые задачи, команды, заготовки и полуфабрикаты, инструмент и оснастка и т.д. Заявки-команды поступают из центральной ЭВМ, управляющей всей данной технической системой. Заявки в виде обрабатываемых заготовок и полуфабрикатов, инструмента и оснастки поступают на технологическое оборудование из автоматизированной транспортно-скаладской системы.

В настоящее время теорию систем массового обслуживания используют для определения важнейших системных характеристик технических автоматизированных систем: производительности; времени доставки заявок; вероятности отказа функционирования системы; области допустимых значений нагрузки, при которых обеспечивается требуемое качество обслуживания и др.

Система массового обслуживания как модель

Дадим краткое описание системы массового обслуживания.

Заявки (требования) на обслуживание поступают через постоянные или случайные интервалы времени.

Приборы (каналы) служат для обслуживания этих заявок. Обслуживание длится некоторое время, постоянное или случайное. Если в момент поступления заявки все приборы заняты, заявка помещается в ячейку буфера и ждет там начала обслуживания.

Заявки, находящиеся в буфере, составляют очередь на обслуживание. Если все ячейки буфера заняты, заявка получает отказ в обслуживании и может не пройти обработку (теряется).

Вероятность потери заявки (вероятность отказа)  одна из основных характеристик СМО. Другие характеристики: среднее время ожидания начала обслуживания, средняя длина очереди, коэффициент загрузки прибора (доля времени, в течение которого прибор занят обслуживанием) и т.д.

В зависимости от объема буфера различают СМО с отказами,где нет буфера, СМО с ожиданием, где буфер не ограничен (например, очередь в магазин на улице, бесконечно длинный конвейер в ГПС) и СМОсмешанного типа, где буфер имеет конечное число заявок. В СМО с отказами нет очереди, в СМО с ожиданием нет потерь заявок, в СМО смешанного типа то и другое возможно.

Математические модели простейших систем

Массового обслуживания

Ниже будут рассмотрены примеры простейших систем массового обслуживания (СМО). Понятие «простейшие» не означает «элементарные». Математические модели этих систем применимы и успешно используются в практических расчетах. Каждый вариант системы массового обслуживания имеет свои показатели функционирования.

2.3.1. Одноканальная СМО с отказами

Рассмотрим такую задачу: гибкий производственный модуль(ГПМ) имеет один обрабатывающий центр, в который с постоянной интенсивностью l на обработку поступают заготовки с автоматизированного конвейера. Если обрабатывающий центр занят, то с автоматизированного конвейера заготовка перенаправляется в другой ГПМ. Интенсивность обслуживания заготовок в ГПМ постоянна (заготовки одинаковые) и равна m. Определить основные показатели работы ГПМ.

Переформулируем нашу задачу в общепринятых для систем массового обслуживания терминах.

Дано: система имеет один канал обслуживания, на который поступает простейший поток заявок с интенсивностью l. Поток обслуживаний имеет интенсивность m Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.

Найти: абсолютную и относительную пропускную способность СМО и вероятность того, что заявка, пришедшая в случайный момент времени t, получит отказ.

Решение: система в любой момент времени t может находиться в двух состояниях: S₀ – канал свободен; S₁ – канал занят. Переход из S₀ в S₁ связан с появлением заявки и немедленным началом ее обслуживания. Переход из S₁ в S₀ осуществляется, как только очередное обслуживание завершится. Граф состояний системы показан на рисунке ниже.

Выходные характеристики (характеристики эффективности) функционирования этой и других СМО будут даваться далее без выводов и доказательств.

Абсолютная пропускная способность (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени):

где l– интенсивность потока заявок (величина, обратная среднему промежутку времени между поступающими заявками - );

m– интенсивность потока обслуживаний (величина, обратная среднему времени обслуживания )

Относительная пропускная способность (средняя доля заявок, обслуживаемых системой):

Вероятность отказа (вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной):

Очевидны следующие соотношения:

Пример №1. На вход системы поступают заявки на обработку в среднем через 0,5 часа . Среднее время обработки одной заявки равно . Если при поступлении заявки на обработку система занята, то она (заявка) направляется в другую систему. Найти абсолютную и относительную пропускную способности системы и вероятность отказа по изготовлению детали.

Решение.

Т.е. в среднем примерно 46 % заявок обрабатываются в этой системе.

Т.е. в среднем примерно 54 % заявок направляются на обработку в другую систему.

Задание: выполнить задачу 1

2.3.2. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

На практике довольно часто встречаются одноканальные СМО с очередью (врач, обслуживающий пациентов; одноканальный телефон; ЭВМ, выполняющая заказы пользователей, изделия в очереди на обработку или упаковку и т.д.).

Рассмотрим такую задачу: ГПМ имеет одну единицу технологического оборудования, на которое с постоянной интенсивностью l на упаковку поступают готовые изделия с автоматизированного конвейера. Если оборудование занято, то с конвейера изделие не перенаправляется никуда, а ждет своей очереди. Интенсивность обслуживания изделий при упаковке постоянна (изделия одинаковые) и равна m. Определить основные показатели работы ГПМ.

Переформулируем нашу задачу в общепринятых для систем массового обслуживания терминах.

Пусть имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложено никаких ограничений (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). На эту СМО поступает поток заявок интенсивностью l; поток обслуживаний имеет интенсивность m. обратную среднему времени обслуживания заявки t_об. Требуется найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности:

L_сист - среднее число заявок в системе;

W_сист - среднее время пребывания заявки в системе;

L_оч - среднее число заявок в очереди;

W_оч - среднее время пребывания заявки в очереди;

P_зан - вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).

Что касается абсолютной пропускной способности А и отно-сительной Q, то вычислять их нет надобности: в силу того, что очередь не ограничена, каждая заявка раньше или позже будет обслужена, поэтому А=l, по той же причине Q=1.

Решение.Состояния системы будем нумеровать по числу заявок, находящихся в СМО:

S₀ - канал свободен;

S₁, - канал занят, очереди нет;

S₂ - канал занят, одна заявка стоит в очереди и т.д.

Теоретически число состояний ничем не ограничено.

Это - схема гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний. По всем стрелкам поток заявок с интенсивностью l переводит систему слева направо, а справа налево - поток обслуживаний с интенсивностью m. Если l >m, то канал с заявками не справляется, очередь растет до бесконечности. Если l < m, то задача вполне разрешима. Воспользуемся формулами для финальных вероятностей из схемы гибели и размножения и для бесконечного числа состояний. Подсчитаем финальные вероятности:

В этой формуле p равно отношению l (интенсивности поступления)кm (интенсивности обслуживания). Ряд в этой формуле представляет собой геометрическую прогрессию. При р < 1 ряд сходится; при р > 1 ряд расходится. Теперь предположим, что условие сходимости выполнено и р<1. Суммируя прогрессию в формуле, получаем

Откуда P₀=1-p.

Откуда вероятности P₁, P₂, ….определяются по формулам

Как видно, вероятности Р₀, Р₁,... образуют геометрическую |прогрессию со знаменателем р. Как ни странно, максимальная из них P₀ -вероятность того, что канал будет вообще свободен. Как бы ни была загружена система с очередью, если только она вообще справляется с потоком заявок, самое вероятное число заявок в системе будет равно нулю.

Найдем среднее число L_сист заявок в СМО. Случайная величина Z- число заявок в системе, имеет возможные значения 0,1,2,..., c вероятностями Р₀, Р₁, …..Р_к. Ее математическое ожидание

После преобразований получаем

Найдем среднее время пребывания заявки в системе

Найдем среднее число заявок в очереди L_оч. Будем рассуждать так: число заявок в очереди равно числу заявок в системе минус число заявок, находящихся под обслуживанием. Значит по правилу сложения математических ожиданий, среднее число заявок в очереди L_оч равно среднему числу заявок в системе L_сист минус среднее число заявок под обслуживанием. Число заявок под обслуживанием может быть либо нулем (канал свободен), либо единицей (канал занят). Математическое ожидание такой случайной величины равно вероятности того, что канал занят (Р_зан). Очевидно, Р_зан) равно 1 минус вероятность Р₀ того, что канал свободен:

Следовательно, среднее число заявок под обслуживанием равно

Отсюда

Среднее время пребывания заявки в очереди

Задание: выполнить задачу 2.

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 343; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!