Визначення сумарної випадкової похибки вимірювань
В основу підсумовування випадкових складових похибки вимірювань покладена властивість дисперсії для суми залежних випадкових величин, яка стосовно похибок записується так:
, (5)
де 
- дисперсія суми n випадкових похибок;
- дисперсія j-ї складової випадкової похибки, 
;
- взаємна кореляційна функція, або взаємний кореляційний момент j‑ї та l-ї складових випадкової похибки, причому запис 
означає, що підсумовування розповсюджується на всі можливі попарні сполучення складових, для яких . Взаємна кореляційна функція 
визначається рівнянням
, (6)
де 
- відповідно СКВ (або їх оцінки 
) j-ї та l-ї складових випадкової похибки:
;
- нормована взаємна кореляційна функція, або коефіцієнт кореляції:
.
Переходячи у формулі (5) до СКВ випадкових похибок з урахуванням (6), одержимо вираз для обчислення СКВ сумарної випадкової похибки за її складовими
. (7)
Звернемо увагу на те, що ця формула підсумовування випадкових похибок є універсальною, оскільки СКВ (і дисперсія) не залежить від закону розподілу похибок.
Відзначимо, що строго врахувати всі кореляційні зв’язки, а отже, і точно визначити коефіцієнт кореляції між похибками досить складно і не завжди можливо. Так, коефіцієнт кореляції між величинами 
визначається виразом
,
де 
- результати q-го спостереження величин 
, 
відповідно, 
;
|
|
|
Застосування формули (7) потребує ускладнення експерименту і обчислювань. Тому вона не знаходить широкого практичного застосування, а для її спрощення користуються нижчевказаними рекомендаціями щодо задання коефіцієнта кореляції 
За степенем корельованості випадкові похибки слід розділити лише на два види: сильно корельовані і слабко корельовані. Умовною границею між сильною і слабкою кореляціями випадкових похибок вважають умову 
. Враховуючи це, до сильно корельованих належать похибки, для яких 
, і для них приймають 
. Прикладами сильно або жорстко корельованих похибок є похибки, викликані однаковою причиною (загальним джерелом живлення, майже однаковим впливом змінювання температури і т.п.), і в інших випадках, коли тісні кореляційні зв’язки між похибками явно проглядаються. До слабко корельованих належать похибки, для яких 
і для них приймають 
. Такі похибки звичайно викликаються різними причинами, причому такими, що не мають між собою явного зв’язку. Вони також називаються незалежними. Проміжні значення коефіцієнта кореляції, тобто крім або , при оцінюванні випадкової похибки, як правило, не використовуються.
У практиці вимірювань здебільшого мають справу з незалежними випадковими похибками, для яких і формула (7) набуває вигляду
|
|
|
(8)
Якщо СКВ похибки 
визначити у відносних одиницях, то
(9)
де 
- відносне СКВ j-ї складової похибки.
Інколи для спрощення розрахунків переходять від підсумовування дисперсій (або СКВ) випадкових похибок до підсумовування максимальних (допустимих) значень абсолютних похибок 
. Тоді аналогічно формулам (4) і (9) маємо
(10)
Формула для СКВ сумарної випадкової похибки 
дає завищену оцінку в порівнянні з (8), але ця оцінка більш вірогідна, ніж "оцінка зверху" 
.
Таким чином, арифметичне підсумовування використовується для грубої оцінки сумарної похибки, названої "оцінкою зверху" (або за максимумом), і при випадковому характері похибок. Воно зводиться до підсумовування максимальних значень окремих складових похибок. При такому підході передбачається, що всі складові випадкової похибки мають одночасно і максимальне значення, і однаковий знак. Очевидно, ймовірність такого збігу дуже мала, тому арифметичне підсумовування дає завищену оцінку сумарної випадкової похибки, і похибка цієї оцінки буде тим істотніша, чим більше число складових підсумовується. Тому арифметичне підсумовування випадкових похибок можливе при грубій оцінці сумарної похибки, коли вона містить 2-3 складових.
|
|
|
Переходячи в (10) до відносних похибок, маємо
де 
При умові 
формула (7) набуває вигляду
, (11)
де знак "+" означає, що для складових з позитивною кореляцією ( 
) СКВ 
треба брати зі знаком "+", а для складових з негативною кореляцією 
брати зі знаком "-". Знак модуля належить до .
Зокрема, при підсумовуванні двох складових випадкової похибки, СКВ яких 
, з (11) маємо
,
тобто наявність жорсткої кореляції ( ) між випадковими складовими похибки приводить до переходу від геометричного їх підсумовування до алгебраїчного.
Таким чином, при виборі того або іншого методу (правила) підсумовування складових похибки визначальною ознакою є не розділ їх на систематичні і випадкові, а ступінь (рівень) кореляційних зв’язків: сильний або слабкий.
Якщо для складових випадкової похибки задано границі довірчих інтервалів 
і довірчі ймовірності 
, то СКВ кожної із складових знаходять за формулою
.
Якщо всі складові випадкової похибки підлягають однаковому закону розподілу і мають однакову довірчу ймовірність P, тоді 
і 
.
|
|
|
При нормальному законі розподілу всіх складових або при кількості складових n ³ 5 сумарна випадкова похибка має нормальний закон розподілу. Отже, її границі довірчого інтервалу з довірчою ймовірністю P можна визначити так: 
.
Дата добавления: 2018-05-09; просмотров: 363; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!