Визначення сумарної випадкової похибки вимірювань

В основу підсумовування випадкових складових похибки вимірювань покладена властивість дисперсії для суми залежних випадкових величин, яка стосовно похибок записується так:

,              (5)

де   - дисперсія суми n випадкових похибок;

 - дисперсія j-ї складової випадкової похибки, ;

 - взаємна кореляційна функція, або взаємний кореляційний момент j‑ї та l-ї складових випадкової похибки, причому запис  означає, що підсумовування розповсюджується на всі можливі попарні сполучення складових, для яких . Взаємна кореляційна функція  визначається рівнянням

,                 (6)

де   - відповідно СКВ (або їх оцінки ) j-ї та l-ї складових випадкової похибки:

;

 - нормована взаємна кореляційна функція, або коефіцієнт кореляції:

.                   

Переходячи у формулі (5) до СКВ випадкових похибок з урахуванням (6), одержимо вираз для обчислення СКВ сумарної випадкової похибки за її складовими

.            (7)

Звернемо увагу на те, що ця формула підсумовування випадкових похибок є універсальною, оскільки СКВ (і дисперсія) не залежить від закону розподілу похибок.

Відзначимо, що строго врахувати всі кореляційні зв’язки, а отже, і точно визначити коефіцієнт кореляції між похибками досить складно і не завжди можливо. Так, коефіцієнт кореляції між величинами  визначається виразом

,

де  - результати q-го спостереження величин , відповідно, ;

 

  

Застосування формули (7) потребує ускладнення експерименту і обчислювань. Тому вона не знаходить широкого практичного застосування, а для її спрощення користуються нижчевказаними рекомендаціями щодо задання коефіцієнта кореляції

За степенем корельованості випадкові похибки слід розділити лише на два види: сильно корельовані і слабко корельовані. Умовною границею між сильною і слабкою кореляціями випадкових похибок вважають умову . Враховуючи це, до сильно корельованих належать похибки, для яких , і для них приймають . Прикладами сильно або жорстко корельованих похибок є похибки, викликані однаковою причиною (загальним джерелом живлення, майже однаковим впливом змінювання температури і т.п.), і в інших випадках, коли тісні кореляційні зв’язки між похибками явно проглядаються. До слабко корельованих належать похибки, для яких  і для них приймають . Такі похибки звичайно викликаються різними причинами, причому такими, що не мають між собою явного зв’язку. Вони також називаються незалежними. Проміжні значення коефіцієнта кореляції, тобто крім  або , при оцінюванні випадкової похибки, як правило, не використовуються.

У практиці вимірювань здебільшого мають справу з незалежними випадковими похибками, для яких  і формула (7) набуває вигляду

                (8)

Якщо СКВ похибки  визначити у відносних одиницях, то

           (9)

де   - відносне СКВ j-ї складової похибки.

Інколи для спрощення розрахунків переходять від підсумовування дисперсій (або СКВ) випадкових похибок до підсумовування максимальних (допустимих) значень абсолютних похибок . Тоді аналогічно формулам (4) і (9) маємо

                         (10)

Формула для СКВ сумарної випадкової похибки  дає завищену оцінку в порівнянні з (8), але ця оцінка більш вірогідна, ніж "оцінка зверху" .

Таким чином, арифметичне підсумовування використовується для грубої оцінки сумарної похибки, названої "оцінкою зверху" (або за максимумом), і при випадковому характері похибок. Воно зводиться до підсумовування максимальних значень окремих складових похибок. При такому підході передбачається, що всі складові випадкової похибки мають одночасно і максимальне значення, і однаковий знак. Очевидно, ймовірність такого збігу дуже мала, тому арифметичне підсумовування дає завищену оцінку сумарної випадкової похибки, і похибка цієї оцінки буде тим істотніша, чим більше число складових підсумовується. Тому арифметичне підсумовування випадкових похибок можливе при грубій оцінці сумарної похибки, коли вона містить 2-3 складових.

Переходячи в (10) до відносних похибок, маємо

де 

При умові  формула (7) набуває вигляду

,      (11)

де знак "+" означає, що для складових з позитивною кореляцією ( ) СКВ  треба брати зі знаком "+", а для складових з негативною кореляцією  брати зі знаком "-". Знак модуля належить до .

Зокрема, при підсумовуванні двох складових випадкової похибки, СКВ яких , з (11) маємо

,

тобто наявність жорсткої кореляції ( ) між випадковими складовими похибки приводить до переходу від геометричного їх підсумовування до алгебраїчного.

Таким чином, при виборі того або іншого методу (правила) підсумовування складових похибки визначальною ознакою є не розділ їх на систематичні і випадкові, а ступінь (рівень) кореляційних зв’язків: сильний або слабкий.

Якщо для складових випадкової похибки задано границі довірчих інтервалів  і довірчі ймовірності , то СКВ кожної із складових знаходять за формулою

.

Якщо всі складові випадкової похибки підлягають однаковому закону розподілу і мають однакову довірчу ймовірність P, тоді  і .

При нормальному законі розподілу всіх складових або при кількості складових n ³ 5 сумарна випадкова похибка має нормальний закон розподілу. Отже, її границі довірчого інтервалу з довірчою ймовірністю P можна визначити так: .