II. Угол между прямой и плоскостью

Алгоритм нахождения расстояния от точки до прямой 1) Зафиксировать некоторую плоскость , в которой лежит прямая а. 2) Из точки М опустить перпендикуляр MN к плоскости . 3) Из точки N в плоскости провести перпендикуляр NF к прямой а. 4) По теореме о трех перпендикулярах . Следовательно, MF – искомое расстояние. Алгоритм нахождения угла между прямой и плоскостью 1) Найти точку пересечения М прямой а с плоскость . 2) Из точки К прямой а опустить перпендикуляр КН к плоскости . 3) Соединить точки Н и М. НМ – проекция прямой а на плоскость . Следовательно, – искомый угол. Алгоритм нахождения угла между плоскостями 1) Найти прямую а – линию пересечения плоскостей и . 2) Из любой точки А плоскости провести перпендикуляр АК к прямой а. 3) Из точки А плоскости провести перпендикуляр АМ к плоскости . 4) По теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах . Следовательно, – линейный угол двугранного угла между плоскостями и . I. Расстояние от точки до прямой 1) AF ^ (ABC). Найдите расстояние от F до CB. ΔАВС– равнобедренный ΔАВС – прямоугольный, ÐС = 900 ΔАВС – тупоугольный, ÐС > 900 2) ВF ^ (ABC). Найдите расстояние от F до АС. ABCD – квадрат ABCD – ромб ABCD – прямоугольник 3) BS ^ (ABC). ABCDEF – правильный шестиугольник. Найдите расстояние от S до AB от S до AF от S до EF

Задачи

1.1.1. В основании пирамиды FABC лежит равнобедренный треугольник АВС, АВ=АС=10, ВС=12. Ребро AF перпендикулярно плоскости основания и равно 6. Найдите расстояние от вершины F до ребра ВС.

1.1.2. В основании пирамиды FABC лежит прямоугольный треугольник АВС, ÐС = 90⁰, ВС=12. Ребро AF перпендикулярно плоскости основания. Расстояние от вершины F до ребра ВС равно 5. Найдите расстояние от вершины F до вершины В.

1.1.3. В основании пирамиды FABC лежит равнобедренный тупоугольный треугольник АВС, ÐС = 120⁰, АС=СВ= . Ребро AF перпендикулярно плоскости основания. Расстояние от вершины F до ребра ВС равно 5. Найдите расстояние от вершины F до плоскости АВС.

1.2.1. В основании пирамиды FABCD лежит квадрат ABCD со стороной равной 4. Ребро BF перпендикулярно плоскости основания и равно 1. Найдите расстояние от точки F до диагонали АС.

1.2.2. Основанием пирамиды FABCD является ромб ABCD с углом А равным 60⁰ и радиусом вписанной окружности . Ребро BF перпендикулярно плоскости основания. Найдите длину ребра BF, если расстояние от точки F до диагонали ромба АС рано .

1.2.3. В основании пирамиды FABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами 3 и 4. Ребро BF перпендикулярно плоскости основания. Найдите высоту пирамиды, если расстояние от точки F до диагонали прямоугольника АС рано 2,5.

1.3.1. Основанием пирамиды SABCDEF является правильный шестиугольник ABCDEF со стороной . Ребро BS перпендикулярно плоскости основания. Найдите расстояние от вершины S до стороны АВ, если расстояние от вершины S до ребра EF равно 5.

1.3.2. В основании пирамиды SABCDEF лежит правильный шестиугольник ABCDEF со стороной . Ребро BS перпендикулярно плоскости основания и равно 2. Найдите расстояние от вершины S до стороны AF.

1.3.3. В основании пирамиды SABCDEF лежит правильный шестиугольник ABCDEF, большая диагональ которого равна . Ребро BS перпендикулярно плоскости основания и равно 5. Найдите расстояние от вершины S до стороны EF.

II. Угол между прямой и плоскостью

1) АА₁ ^ (АВС). Найдите угол между СB₁ и (АА₁С₁).

_ΔАВС– равносторонний

_ΔАВС – прямоугольный, ÐС = 90⁰

_ΔАВС – тупоугольный, ÐС > 90⁰

2) АА₁ ^ (АВС). ABCDFK – правильный шестиугольник. Найдите угол между

В₁F и (АВС)	В₁F и (КК₁F₁)	В₁F и (АА₁В₁)

3) BD ^ (АВС). Найдите угол между CD и (ABD).

_ΔАВС – равносторонний

_ΔАВС – прямоугольный, ÐА = 90⁰

_ΔАВС – прямоугольный, ÐС = 90⁰

4) АА₁ ^ (АВС). Найдите углы между

	В₁D и (ABC)	B₁D и (DD₁C₁)	B₁D и (ВВ₁C₁)
A B C D к в а д р а т
A B C D р о м б

5) BF ^ (АВС). Найдите угол между

	AF и (АВС)	DF и (BCF)	CF и (ABF)
A B C D к в а д р а т
A B C D р о м б

Задачи

2.1.1. Сторона основания правильной призмы АВСА₁В₁С₁ равна , боковое ребро равно . Найдите синус угла между прямой СВ₁ и плоскостью боковой грани (АА₁С₁).

2.1.2. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник АВС: Ð С = 90⁰, АС=4, ВС=3. Диагональ СВ₁ боковой грани образует с плоскостью боковой грани (АА₁С₁) угол 45⁰. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

2.1.3. В основании прямой треугольной призмы лежит равнобедренный тупоугольный треугольник АВС: Ð С = 135⁰, АС=СВ= . Диагональ СВ₁ боковой грани образует с плоскостью боковой грани (АА₁С₁) угол, синус которого равен . Найдите длину диагонали СВ₁.

2.2.1. Найдите сторону основания правильной шестиугольной призмы, у которой большая диагональ равна 24 и составляет с плоскостью основания угол 60⁰.

2.2.2.Чему равна сторона основания правильной шестиугольной призмы ABCDFKA₁B₁C₁D₁F₁K₁, у которой диагональ В₁F равна и составляет с плоскостью боковой грани (КК₁F₁) угол 30⁰.

2.2.3. ABCDFKA₁B₁C₁D₁F₁K₁ – правильная шестиугольная призма, сторона основания и высота которой равны и соответственно. Найдите угол между диагональю В₁F и плоскостью боковой грани (АА₁В₁).

2.3.1. В основании пирамиды DABC лежит равносторонний треугольник АВС, АВ=4. Ребро BD перпендикулярно плоскости основания и равно . Какой угол составляет ребро CD с плоскостью боковой грани (ABD)?

2.3.2.Основанием пирамиды DABC служит равнобедренный прямоугольный треугольник АВС: Ð А = 90⁰, АС=АВ=4. Ребро BD перпендикулярно плоскости основания и равно ВС. Найдите угол наклона ребра CD к плоскости боковой грани (ABD).

2.3.3. В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник АВС: Ð С = 90⁰, АС=4, ВС=3. Ребро BD перпендикулярно плоскости основания, а ребро CD составляет с плоскостью боковой грани (ABD) угол 30⁰. Найдите косинус угла между ребром CD и плоскостью основания.

2.4.1. Диагональ B₁D прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ составляет с плоскостью нижнего основания угол 45⁰. Чему равна высота параллелепипеда, если его основанием служит а) квадрат со стороной 4 ; б) ромб со стороной 4 и острым углом 60⁰.

2.4.2. а) Диагональ B₁D прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ составляет с плоскостью боковой грани (DD₁C) угол 45⁰. Докажите, что основанием параллелепипеда не может быть квадрат.

б) Основанием прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ служит ромб со стороной и острым углом 60⁰. Найдите длину диагонали B₁D параллелепипеда, составляющей с плоскостью боковой грани (DD₁C) угол 45⁰.

2.4.3. а) Найдите угол между диагональю B₁D прямого параллелепипеда

ABCDA₁B₁C₁D₁ с плоскостью боковой грани (ВВ₁C₁), если основанием параллелепипеда служит квадрат, длина диагонали которого равна высоте параллелепипеда.

б) Найдите синус угла между диагональю B₁D, равной 10, и плоскостью боковой грани (ВВ₁C₁) прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если его основанием служит ромб с острым углом 30⁰ и площадью 18.

2.5.1.а) FABCD – пирамида. . ABCD – квадрат. . Какой угол составляет ребро AF с плоскостью основания?

б) FABCD – пирамида. . . ABCD – ромб. . . Найдите котангенс угла между ребром AF и плоскостью основания.

2.5.2. а) FABCD – пирамида. . ABCD – квадрат со стороной . Угол между ребром DF и плоскостью (BCF) равен 30⁰. Найдите длину высоты пирамиды.

б) FABCD – пирамида. . ABCD – ромб. . . Найдите длину большего ребра пирамиды, если синус угла наклона данного ребра к плоскости боковой грани пирамиды, не содержащей данное ребро, равен 0,6.

2.5.3. а) FABCD – пирамида. . ABCD – квадрат со стороной 1. Большее ребро пирамиды равно . Найдите угол наклона ребра CF к плоскости (ABF).

б) FABCD – пирамида. . ABCD – ромб. . . Ребро CF составляет с плоскостью (ABF) угол, синус которого равен 0,6. Найдите длины равных боковых ребер пирамиды.

III. Угол между плоскостями

1) . . Найдите угол между

	(ABC) и (FDC)	(FDC) и (FBC)	(ABF) и (FDC)
A B C D к в а д р а т
A B C D р о м б

2) FB ^ (ABC). Найдите угол между

	(ABC) и (FDC)	(AFB) и (FBC)	(AFD) и (FBC)
A B C D к в а д р а т
A B C D р о м б

3) AF ^ (ABC). Найдите угол между (ABC) и (FCB).

_ΔАВС– равнобедренный

_ΔАВС – прямоугольный, ÐС = 90⁰

_ΔАВС – тупоугольный, ÐС > 90⁰

4) SB ^ (ABC). ABCDEF – правильный шестиугольник. Найдите угол между

(SAB) и (SBC)	(SFЕ) и (ABC)	(ASF) и (ABC)

(FSЕ) и (DSE)	(ASB) и (SDE)	(ASF) и (SCD)

5) ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямой параллелепипед. Найдите угол

	(AА₁C₁) и (BB₁D₁)	(ABC) и (AB₁C₁)	(ABC) и (AB₁C)
A B C D к в а д р а т
п а р а л л е л о г р а м м

Задачи

3.1.1. а) Основанием пирамиды FABCD служит квадрат со стороной 16. Вершина пирамиды проецируется в центр основания. Высота пирамиды равна 8. Какой угол составляет плоскость боковой грани (FDC) с плоскостью основания?

б) Основанием пирамиды FABCD является ромб со стороной 16 и углом 30⁰. Вершина пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей ромба. Высота пирамиды равна 8. Чему равен тангенс угла наклона боковой грани (FDC) к плоскости основания?

3.1.2. а)Основанием пирамиды служит квадрат. Вершина пирамиды проецируется в центр основания. Докажите, что угол между смежными боковыми гранями не может быть равен 60⁰.

б) FABCD – пирамида. ABCD – ромб. . . . . Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до большего бокового ребра равно 6. Найдите угол между плоскостями (FDC) и (FBC).

3.1.3. а) Основанием пирамиды служит квадрат со стороной 2. Вершина пирамиды проецируется в центр основания. Угол между несмежными боковыми гранями пирамиды равен 60⁰. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

б) Основанием пирамиды FABCD является ромб со стороной 12. Вершина пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей ромба. Высота пирамиды равна . Угол между плоскостями (ABF) и (FDC) равен 60⁰. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3.2.1. а) Основанием пирамиды является квадрат, диагональ которого равна . Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы по 45⁰. Чему равна высота пирамиды?

б) Основанием пирамиды служит ромб со стороной 12 и углом 150⁰. Высота пирамиды равна 9. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания. Найдите тангенс угла наклона двух других боковых граней к плоскости основания.

3.2.2. а) FABCD – пирамида. ABCD – ромб. . . . Найдите длину ребра FB.

б) FABCD – пирамида. ABCD – ромб. . . . Найдите длину ребра FB.

3.2.3. а) FABCD – пирамида. ABCD – квадрат. . . Косинус угла между плоскостями (AFD) и (FBC) равен 0,8. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

б) FABCD – пирамида. ABCD – ромб. . . . Косинус угла между плоскостями (AFD) и (FBC) равен 0,8. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3.3.1. FABC – пирамида. . Расстояние между прямыми AF и BC равно 6. Плоскость (FBC) составляет с плоскостью (ABC) угол, тангенс которого равен 0,75. Найдите высоту пирамиды.

3.3.2. FABC – пирамида. . , . Косинус угла между плоскостями (AFC) и (AFB) равен 0,8. Котангенс угла между плоскостями (FBC) и (ABC) равен 2,5. Найдите высоту пирамиды.

3.3.3. Основание пирамиды FABC служит тупоугольный равнобедренный треугольник ABC, площадь которого равна , . , . Найдите котангенс угла между плоскостями (FBC) и (ABC).

3.4. SABCDEF – пирамида. . ABCDEF – правильный шестиугольник. Найдите:

1) Косинус угла между плоскостями (SAB) и (SBC).

2) Угол между плоскостями (SFЕ) и (ABC), если .

3) Высоту пирамиды, если , угол между плоскостями (ASF) и (ABC) равен 60⁰.

4) Угол между плоскостями (FSЕ) и (DSE), если расстояние от вершины F до большего ребра пирамиды равно стороне основания.

5) Угол между плоскостями (ASB) и (SDE), если .

6) Угол между плоскостями (ASF) и (SCD), если , .

3.5.1 а) ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямой параллелепипед. Найдите угол между плоскостями (AА₁C₁) и (BB₁D₁), если ABCD – квадрат.

б) Основанием прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является параллелограмм ABCD, в котором , , . Найдите синус угла между плоскостями (AА₁C₁) и (BB₁D₁).

3.5.2 а) ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямой параллелепипед. ABCD – квадрат. . . Найдите косинус угла наклона плоскости к плоскости основания параллелепипеда.

б) Основанием прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является параллелограмм ABCD, в котором , . Высота призмы равна 3. Найдите тангенс угла между плоскостью основания и плоскостью .

3.5.3 а) ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямой параллелепипед. ABCD – квадрат. Косинус угла между плоскостями (ABC) и (AB₁C) равен . Во сколько раз высота параллелепипеда больше стороны основания?

б) ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямой параллелепипед. ABCD – параллелограмм, , . Синус угла между плоскостями (ABC) и (AB₁C) равен 0,8. Найдите высоту параллелепипеда.

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 1424; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!