Резонанс в цепях с реальными элементами

Элементы электрической цепи. Резистивное сопротивление - это участок цепи, в которой происходит процесс необратимого преобразования электрической энергии в тепловую. [R]=Ом Элемент, который обладает электрическим сопротивлением, называется резистор. , где ρ - удельное сопротивление l - длина проводника. S- площадь поперечного сечения Электрическая проводимость- это способность тела проводить электрический ток.[G]= См (Сименс) Индуктивность- это способность тела накапливать энергию магнитного поля.[L]=Гн (Генри) Формула индуктивности , где; - потокосцепление катушки Ф- магнитный поток, N- число витков катушки. Элемент, который обладает индуктивностью, называется катушка индуктивности.Для тороидальной катушки запишем расчетную формулу ее индуктивности: lср- длина средней магнитной силовой линии - магнитная постоянная, μ- относительная магнитная проницаемость. Запишем формулу энергии магнитного поля . Емкость- это способность тела накапливать энергию электрического поля. [C]- Ф (фарад)   С- электрическая емкость.Элемент обладающий емкостью называют конденсатором. Конденсатор - это две металлические пластины, разделенные слоем диэлектрика. Формула емкости плоского конденсатора ε0- электрическая постоянная, ε0= 8,85·10-12Ф/м ε- относительная диэлектрическая проницаемость d- расстояние между пластинами S- площадь одной пластины Запишем формулу энергии электрического поля . 2. Эквивалентное преобразование треугольника и звезды сопротивлений. Если при замене одной из этих схем другой не изменяются потенциалы одноименных точек и подтекающие к ним токи, то во внешней цепи также не произойдет никаких изменений. В этом случае говорят, что схемы эквивалентны. Можно показать, что условием эквивалентности являются следующие уравнения: 3. Закон Ома. Закон Ома для участка цепи гласит: ток прямо пропорционален напряжению и обратно пропорционален сопротивлению. В этом случае UR=RI – называют напряжением или падением напряжения на резисторе R, а – током в резисторе R. При расчете электрических цепей иногда удобнее пользоваться не сопротивлением R, а величиной обратной сопротивлению, т.е. электрической проводимостью: . В этом случае закон Ома для участка цепи запишется в виде: I=Ug. Закон Ома для всей цепи.Этот закон определяет зависимость между ЭДС E источника питания с внутренним сопротивлением r0, током Iэлектрической цепи и общим эквивалентным сопротивлением RЭ=r0+R всей цепи: . 4. Законы Кирхгофа. 1 закон:Алгебраическая сумма токов в ветвях, связанных общим узлом электрической цепи, равна нулю. (Сумма токов, приходящих к узлу, равна сумме токов, уходящих от узла. ) Уходящие токи будем считать отрицательными, приходящие – положительными. , где k – номер ветви, связанной с данным узлом. Первый закон Кирхгофа вытекает из того, что в узле не могут накапливаться и расходоваться заряды. Число независимых уравнений в первом законе Кирхгофа – на единицу меньше числа узлов.  I3+I4-I1-I2 = 0 2 закон:В любом контуре электрической цепи алгебраическая сумма падений напряжения на элементах равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре: Число уравнений, составляемых по этому закону, равно числу взаимно независимых контуров. Напряжения и ЭДС берут со знаком (+), если их направление совпадает с направлением обхода контура (выбранным произвольно), и со знаком (–), если не совпадает. Если предположить, что все пассивные элементы представляют собой сопротивления, то уравнение можно переписать, воспользовавшись законом Ома: В схеме, содержащей p ветвей и q узлов, по первому закону Кирхгофа записываются q – 1 независимых уравнений. По второму закону Кирхгофа записывается p – q + 1 независимых уравнений для независимых контуров (отличающихся друг от друга хотя бы одной ветвью). Если в электрической цепи включены источники напряжений, то второй закон Кирхгофа формулируется в следующем виде: алгебраическая сумма напряжений на всех элементах контру, включая источники ЭДС равна нулю 5. Метод контурных токов.В методе контурных токов за основные неизвестные       величины           принимают контурные токи, которые замыкаются только по независимым контурам (главным контурам). Контурные токи находят, решая систему уравнений, составленную по второму закону Кирхгофа для каждого контура. По найденным контурным токам определяют токи ветвей схемы. Алгоритмом метода контурных токов: 1. Задаются направлением токов ветвей и обозначают их на схеме. 2. Определяют независимые контуры и их нумеруют. 3. Выбирают направление контурных токов и составляют уравнения по методу контурных токов, обходя каждый контур в направлении его контурного тока. Контурный ток, проходящий через источник тока, известен и равен току источника тока (через источник тока проходит только один контурный ток!). 4. Полученную систему алгебраических уравнений решают относительно неизвестных контурных токов. 5. Искомые токи по методу контурных токов находят как алгебраическую сумму контурных токов, проходящих по данной ветви. Токи в ветвях связи равны контурным токам. Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для контура 1 .Аналогично получим уравнения для второго контура. Определив из системы контурные токи, находим реальные токи в схеме 6. Метод узловых потенциалов.В мупза вспомогательные расчетные величины принимают потенциалы узлов схемы. При этом потенциалом одного из узлов задаются, обычно считая его равным нулю (заземляют). Этот узел называют опорным узлом. Затем для каждого узла схемы, кроме опорного узла, составляют систему уравнений методом узловых потенциалов. По найденным потенциалам узлов находят токи ветвей по обобщенному закону Ома (закону Ома для ветви с ЭДС) . Слева от знака равенства записывается потенциал ф заданного узла, умноженный на сумму проводимостей (g=1/R) ветвей, примыкающих к нему, минус потенциалы узлов, примыкающих к данному, умноженные на проводимости ветвей, соединяющих их с данным узлом.Справа от знака равенства записывается сумма всех источников токов, примыкающих к данному узлу, если источник направлен в сторону рассматриваемого узла, то он записывается со знаком «+», если же он направлен от узла — то со знаком «−». Если это источник ЭДС, то он записывается как значение ЭДС, умноженное на проводимость (E*g) ветвей, соединяющей их с данным узлом.Фи4=0. 7. Метод наложения.В основе метода лежит принцип суперпозиции (наложения): ток в любой ветви сложной электрической цепи, содержащей несколько ЭДС, может быть найден как алгебраическая сумма токов в этой ветви от действия каждой ЭДС в отдельности. Справедливтолько для линейных цепей. Применяется для определения токов в ветвях схемы с несколькими источниками. Вытекает из уравнений Кирхгофа и утверждает независимость действия источников энергии. При расчете токов в ветвях цепи поступают следующим образом: выбирают положительные направления токов в ветвях цепи, поочередно рассчитывают частичные токи, возникающие от действия каждой ЭДС, мысленно удаляя остальные ЭДС из схемы, но оставляя в схеме внутренние сопротивления источников. Ток в ветвях находят как алгебраическую сумму частичных   токов  от       каждого источника. Исходя из определения метода, можно записать для тока в любой ветви: , где n – число ветвей схемы, содержащих источники энергии. Для того, чтобы определить токи исключим поочередно из схемы сначала источник ЭДС Е1 (см. рисунок б), а затем источник ЭДС Е2 (см. рисунок в), оставив при этом внутренние сопротивления источников       в         схеме. Токи в схеме б определим по формулам: , и .Токи в схеме в определим по формулам: , и .     Токи в исходной схеме: ; ; . 8.Метод эквивалентного генератора используется для определения тока в одной (или нескольких) из ветвей сложной электрической цепи. Этот метод основан на теореме об активном двухполюснике: ток в некоторой заданной ветви не изменится, если активную цепь, к которой подключена эта ветвь, заменить источником энергии, ЭДС которого равна напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви, а его (источника) внутреннее сопротивление равно сопротивлению пассивной цепи относительно зажимов искомой ветви. Если эквивалентный генератор представляется источником ЭДС, ток в заданной ветви определяется по закону Ома: Если эквивалентныйгенератор представляется источником тока, ток в заданной ветви находится по правилу "чужого сопротивления" (рис. 1,в): В формулах Uх - напряжение холостого хода активного двухполюсника на зажимах ветви, в которой определяется ток; Iк - ток короткого замыкания при закороченной заданной ветви; Rвх - входное сопротивление пассивного двухполюсника, найденное относительно зажимов заданной ветви; R - сопротивление заданной ветви. Выбор схемы замещения эквивалентного генератора определяется схемой цепи, в которой рассчитывается ток. Если в заданной ветви, кроме резистора, есть источник ЭДС и для расчета используется последовательная схема замещения эквивалентного генератора, ток можно определить из выражения ЭДС Е учитывается с положительным ( отрицательным) знаком, если напряжение Uх и ЭДС Е совпадают (противоположны) по направлению. Определение тока в заданной ветви электрической цепи методом эквивалентного генератора удобно производить в следующей последовательности: 1. Разомкнуть (или закоротить – в случае с ЭГ с источником тока) заданную ветвь с искомым током. 2. Определить напряжение холостого хода (ток короткого замыкания – в случае с ЭГ с источником тока) активного двухполюсника относительно заданной ветви. 3. Исключаяиз активного двухполюсника все источники энергии, определить входное сопротивление двухполюсника относительно зажимов заданной ветви. При исключении источников в схеме должны быть сохранены их внутренние сопротивления. 4. Используя закон Ома (правило " чужого сопротивления"), найти ток в заданной ветви. Направление тока определяется направлением напряжения холостого хода /тока короткого замыкания. 9. Баланс мощностей в цепях постоянного тока. Баланс мощностей – это выражение закона сохранения энергии, в электрической цепи. Определение: сумма мощностей потребляемых приемниками, равна сумме мощностей отдаваемых источниками. Или При составлении уравнения баланса мощностей следует учесть, что если действительные направления ЭДС и тока источника совпадают, то источник ЭДС работает в режиме источника питания, и произведение EI подставляют в со знаком плюс. Если не совпадают, то источник ЭДС работает в режиме потребителя электрической энергии, и произведение EI подставляют всо знаком минус. 10. Синусоидальный ток и основные характеризующие его величины. Переменный ток — электрический ток, который с течением времени изменяется по величине и направлению. Синусоидальный токпредставляет собой ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону: Максимальное значение функции называют амплитудой. Её обозначают с помощью заглавной буквы и строчной буквы m — макс/знач, амплитуду тока обозначают lm; Период Т— это время, за которое совершается одно полное колебание. Частота f равна числу колебаний в 1 секунду (единица частоты f — герц (Гц) или с-1)f = 1/T Угловая частота ω (омега) (единица угловой частоты — рад/с или с-1)ω = 2πf = 2π/T Аргумент синуса, т. е. (ωt + Ψ), называют фазой. Фаза характеризует состояние колебания (числовое значение) в данный момент времени t. 11. Элементы цепи синусоидального тока. 1. Резистор.Идеальный резистивный элемент не обладает ни индуктивностью, ни емкостью. Если к нему приложить синусоидальное напряжение (см. рис. 1), то ток i через него будет равен Из (1) вытекает: ; . Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим им комплексам: ; - разделим первый из них на второй: или .Полученный результат показывает, что отношение двух комплексов есть вещественная константа. Следовательно, соответствующие им векторы напряжения и тока совпадают по направлению. 2. Конденсатор. Идеальный емкостный элемент не обладает ни активным сопротивлением (проводимостью), ни индуктивностью. Если к нему приложить синусоидальное напряжение то ток i через него будет равен Полученный результат показывает, что напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на /2. Из (3) вытекает: и . Введенный параметр называют реактивным емкостным сопротивлением конденсатора. имеет размерность Ом. , где комплексное сопротивление конденсатора. Умножение на соответствует повороту вектора на угол по часовой стрелке. 3. Катушка индуктивности. Идеальный индуктивный элемент не обладает ни активным сопротивлением, ни емкостью. Пусть протекающий через него ток (определяется выражением . Тогда для напряжения на зажимах катушки индуктивности можно записать Полученный результат показывает, что напряжение на катушке индуктивности опережает по фазе ток на /2. Из (5) вытекает: называют реактивным индуктивным сопротивлением катушки;его размерность – Ом. В полученном соотношении - комплексноесопротивление катушки индуктивности. Умножение на соответствует повороту вектора на угол против часовой стрелки. 12. Законы Кирхгофа в дифференциальной и комплексной формеСогласно первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю: (1) Подставив вместо ik в (1) Íkejωt и вынеся ejωt за знак суммы, получим ejωtΣÍk=0. Так как ejωt не равно нулю при любом t, то: (2) Уравнение (2) представляет собой первый закон Кирхгофа в символической форме записи. Пусть замкнутый контур содержит n ветвей и каждая k- ветвь в общем случае включает в себя источник ЭДС ek, резистор Rk, индуктивную катушку Lk и конденсатор Ck, по которым протекает ток ik. Тогда по второму закону Кирхгофа: (3) Но каждое слагаемое левой части можно заменить на ÍkZk, а каждое слагаемое правой части – на Ék. Поэтому уравнение примет вид:  (4) Уравнение (4) представляет собой второй закон Кирхгофа в символической форме записи.

МКТ в комплексной форме

В методе контурных токов за основные неизвестные величины принимают контурные токи, которые замыкаются только по независимым контурам (главным контурам). Контурные токи находят, решая систему уравнений, составленную по второму закону Кирхгофа для каждого контура. По найденным контурным токам определяют токи ветвей схемы. Алгоритмом метода контурных токов:

1. Задаются направлением токов ветвей и обозначают их на схеме.

2.        Определяют независимые контуры и их нумеруют.

3. Выбирают направление контурных токов и составляют уравнения по методу контурных токов, обходя каждый контур в направлении его контурного тока. Контурный ток, проходящий через источник тока, известен и равен току источника тока (через источник тока проходит только один контурный ток!).

4. Полученную систему алгебраических уравнений решают относительно неизвестных контурных токов.

5. Искомые токи по методу контурных токов находят как алгебраическую сумму контурных токов, проходящих по данной ветви. Токи в ветвях связи равны контурным токам.

Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для контура 1
.Аналогично получим уравнения для второго и третьего контуров.
; ,

Где Z- полное комплексное сопротивление
Определив из системы контурные токи, найдем реальные токи в схеме;
; ; ; ; ; .

12. МУП в комплексной формеВ мупза вспомогательные расчетные величины принимают потенциалы узлов схемы. При этом потенциалом одного из узлов задаются, обычно считая его равным нулю (заземляют). Этот узел называют опорным узлом. Затем для каждого узла схемы, кроме опорного узла, составляют систему уравнений методом узловых потенциалов. По найденным потенциалам узлов находят токи ветвей по обобщенному закону Ома (закону Ома для ветви с ЭДС) Слева от знака равенства записывается потенциал ф` заданного узла, умноженный на сумму проводимостей (Y`=1/Z) ветвей, примыкающих к нему, минус потенциалы узлов, примыкающих к данному, умноженные на проводимости ветвей, соединяющих их с данным узлом. Справа от знака равенства записывается сумма всех источников токов, примыкающих к данному узлу, если источник направлен в сторону рассматриваемого узла, то он записывается со знаком «+», если же он направлен от узла — то со знаком «−». Если это источник ЭДС, то он записывается как значение ЭДС, умноженное на проводимость (E`*Y`) ветвей, соединяющей их с данным узлом.

фс=0,

 узел а

 узел в

токи по з Ома

14. Мощности в цепях синусоидального тока.В цепи переменного тока различают три вида мощности: 1. Активная мощность Р, обусловленная наличием в цепи активного сопротивления R.В активном сопротивлении происходит необратимое преобразование электрической энергии в другие виды, например, в резисторе происходит преобразование электрической энергии в тепловую энергию . Единица измерения активной мощности – ВАТТ.

2. Реактивная мощность Q, обусловленная наличием реактивных элементов (катушек и конденсаторов). Единица измерения ВА_р – В ВОЛЬТ-АМПЕР реактивный. На реактивных сопротивлениях Х_L и Х_C имеет место процесс колебания энергии от катушки индуктивности к конденсатору и наоборот, необратимых преобразований нет. Для индуктивного элемента Q_L > 0, для емкостного элемента Q_C < 0. При последовательном соединении L и C суммарная реактивная мощность .

3. Полная мощность S. Единица измерения ВА (ВОЛЬТ – АМПЕР).

косинус фи - коэффициент мощности.

15. Баланс мощностей в цепях синусоидального тока.Из закона сохранения энергии следует, что сумма всех отдаваемых активных мощностей равна сумме всех потребляемых активных мощностей, т.е.

1

баланс соблюдается и для реактивных мощностей:

2

где знак “+” относится к индуктивным элементамXl=wL , “-” – к емкостным Xc=1/wC.

Умножив 2 на “j” и сложив полученный результат с 1, придем к аналитическому выражению баланса мощностей в цепях синусоидального тока

или

, Z-полное комплексное сопротивление,I- сопряженный ток(мнимая часть с противоположзнаком)

16. Действующее значение тока и напряжения в цепи синусоидального тока.Действующим значением переменного тока называется среднеквадратичное значение тока за период. Действующее значение тока (для синусоиды )

. Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжений . Действующие значения переменного тока, напряжения, ЭДС меньше максимальных в √2 раз.

17. Последовательное соединение активного сопротивления, индуктивности и емкости.В схеме заданы приложенное напряжение U, частота f и числовые значения параметров R, L и С. Требуется найти ток и напряжения на элементах.

 По установленным ранее правилам строится векторная диаграмма, из анализа которой выводятся необходимые расчетные формулы. В последовательной цепи общим для всех элементов является протекающий по ним ток. В соответствии со вторым законом Кирхгофа в векторной форме U=U_R+U_L+U_C(вектор входного напряжения). Сложение векторов можно выполнять по правилу параллелограмма, однако удобнее применять правило многоугольника, когда каждый последующий вектор пристраивается к концу предыдущего.

 Напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током, поэтому вектор U_R мы направляем по вектору I. К его концу пристраиваем вектор U_L и направляем его вверх, так как напряжение на индуктивности опережает ток на 90°. Напряжение U_С находится в противофазе с U_L, т.е. отстает от тока на тот же угол 90°, поэтому вектор UС, пристроенный к концу вектора UL, направлен вниз. Векторная сумма U_R, U_L и U_С дает вектор приложенного напряжения U. Величины напряжений на отдельных элементах цепи:

Из треугольника oab по теореме Пифагора находим:

Вынося из под знака радикала, записываем последнее выражение в виде: U=I*Z; где, Z - полное сопротивление.

Общее реактивное сопротивление цепи: Х = Х_L – Х_C. Выражение U=IZ называется законом Ома для всей цепи. Оно может быть записано и так: I=U/zZ=Uy. где, y– полная проводимость цепи, представляющая величину, обратную полному сопротивлению 1/z/

Если необходимо определить угол сдвига фаз между напряжением и током, то это можно сделать из треугольника напряжений oab:

Векторная диаграмма на рис. 22.2 построена для случая, когда U_L>U_C, что имеет место при X_L>X_C, когда в цепи преобладает индуктивность, и цепь носит активно-индуктивный характер. Общий ток отстает по фазе от входного напряжения. Возможны также режимы, когда U_L<U_C и U_L=U_C.

18. Параллельное соединение активного сопротивления, индуктивности и емкости.(рис. 23.1, а).

Требуется по известным G, В_L, В_C, U рассчитать токи. Как и прежде, задачу будем решать двумя методами.

1. Метод векторных диаграмм. Токи ветвей находятся сразу:

Для определения общего тока необходимо построить векторную диаграмму (рис. 23.1, б). Построение начинаем с вектора напряжения, так как оно является общим для всех ветвей. Из векторной диаграммы имеем:

Разность индуктивной и емкостной проводимостей представляет собой общую реактивную проводимость цепи B=B_L-B_C.

Векторы токов на диаграмме образуют треугольник токов. Его горизонтальный катет, представляющий проекцию вектора тока на вектор напряжения, называется активной составляющей тока и равен току в активном элементе цепи: I_a=I_g=GU (рис. 23.2, а). Проекция вектора тока на направление, перпендикулярное напряжению, – это реактивная составляющая тока. Она равна суммарному току реактивных элементов:

Разделив все стороны треугольника токов на U, получим треугольник проводимостей (рис. 23.2, б), стороны которого связаны следующими соотношениями:

2. Символический метод. Раньше были получены следующие формулы:

 Подставляя их в уравнение первого закона Кирхгофа, получаем:

19. Резонанс напряжений- явление возрастания напряжений на реактивных элементах, превышающих напряжение на зажимах цепи при максимальном токе в цепи, которое совпадает по фазе с входным напряжением.

Условием возникновения резонанса является равенство частоты источника питания резонансной частоте w=w_р, а следовательно и индуктивного и емкостного сопротивлений x_L=x_C. Так как они противоположны по знаку, то в результате реактивное сопротивление будет равно нулю. Напряжения на катушке U_L и на конденсаторе U_C будет противоположны по фазе и компенсировать друг друга. Полное сопротивление цепи при этом будет равно активному сопротивлению R, что в свою очередь вызывает увеличение тока в цепи, а следовательно и напряжение на элементах.при резонансе цепь носит чисто активный характер, значит, входное напряжение, и ток в момент резонанса совпадают по фазе. Ток принимает максимальное значение.

При максимальном значении тока напряжения на участках L и C будут большими и равными между собой. Напряжение на зажимах цепи: .

Рассмотрим следующие соотношения:

, следовательно

Q – добротность контура –при резонансе напряжения показывает, во сколько раз напряжение на реактивных элементах больше входного напряжения генератора, питающего цепь. При резонансе коэффициент передачи последовательного колебательного контура резонанса.

20. Резонанс токов, параллельный резонанс- возникает в цепи с параллельно соединёнными катушкой, резистором и конденсатором. Условием возникновения резонанса токов является равенство частоты источника резонансной частоте w=w_р, следовательно проводимости B_L=B_C, т.е. ёмкостная и индуктивная проводимости равны.При увеличении частоты полное сопротивление цепи растёт, а ток уменьшается. В момент, когда частота равна резонансной, сопротивление Z максимально, следовательно, ток в цепи принимает наименьшее значение и равен активной составляющей.Токи в ветвях схемы можно определить следующим образом: , и . Общий ток потребляемый из источника определяется по первому закону Кирхгофа.

Этот режим называется резонансом напряжений, а выражение - условием возникновения резонанса. Из этого условия вытекает уравнение для определения резонансной частоты. откуда .Следует помнить, что при резонансе токов общая проводимость схемы чисто активная и равна g. Схема работает при минимальной проводимости и, следовательно, ток потребляемый из источника – минимален. Потребляемая мощность в режиме резонанса носит чисто активный характер .

Резонанс в цепях с реальными элементами

Если в общем виде представить проводимость цепи в виде , тогда резонанс в схеме будет когда b=0. Определим эту проводимость.

Условия резонанса в данной цепи можно определить как: . Запишем величины реактивных сопротивлений через угловую частоту . . Выразим из этого уравнения резонансную частоту :

. Можно выделить три случая, когда в цепи возможен резонанс.

1. и ;

2. и ;

3. . В последнем случае резонанс в цепи протекает при любой частоте, то есть всегда.

22. Частотные характеристики последовательного колебательного контура. При определенных частотах в таких цепях может наблюдаться полная компенсация реактивного сопротивления (X = 0), входное сопротивление принимает чисто активный характерZ = R и , напряжение и ток на входе цепи совпадают по фазе (ф = 0) — в цепи наблюдается резонанс. Для определения резонансных частот используется равенство нулю ее эквивалентного реактивного сопротивления X = 0. Равенство сопротивлений x_L и x_C наступает в режиме резонанса при частоте ω₀ . Частотная зависимость z(w) имеет минимум при условии X = wL – 1/wC = 0 на резонансной частоте ω₀ = 1/ LC. При w ®0 полное сопротивление цепи неограниченно возрастает за счет роста емкостного сопротивления 1/wC, при w ® ∞ неограниченно возрастает индуктивное сопротивление, и z ® ∞.

23. Частотные характеристики параллельного колебательного контура. При определенных частотах в таких цепях может наблюдаться полная компенсация реактивного сопротивления (X = 0), входное сопротивление принимает чисто активный характер, напряжение и ток на входе цепи совпадают по фазе (ф = 0) — в цепи наблюдается резонанс. Для определения резонансных частот используется равенство нулю ее проводимости B = 0.

24. Разложение периодических несинусоидальных функций в гармонический ряд Фурье.Любая периодическая функция времени f(t), удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть представлена гармоническим рядом Фурье:

Здесь А0 – постоянная составляющая, Ak*sin(kωt+ α_k) k-я гармоническая составляющая или сокращенно k-я гармоника. 1-я гармоника называется основной, а все последующие - высшими. Амплитуды отдельных гармоник Ак не зависят от способа разложения функции f(t) в ряд Фурье, в то же время начальные фазы отдельных гармоник α_k зависят от выбора начала отсчета времени (начала координат). Отдельные гармоники ряда Фурье можно представить в виде суммы синусной и косинусной составляющих:

Тогда весь ряд Фурье получит вид: Соотношения между коэффициентами двух форм ряда Фурье имеют вид:

Если k-ю гармонику и ее синусную и косинусную составляющие заменить комплексными числами, то соотношение между коэффициентами ряда Фурье можно представить в комплексной форме:

Если периодическая несинусоидальная функция времени задана аналитически в виде математического уравнения, то коэффициенты ряда Фурье определяются по формулам:

25. Виды симметрии периодических функций.Различают следующие виды симметрии периодических несинусоидальных функций. 1) Нечетная симметрия: функция симметрична относительно начала координат и удовлетворяет условию f(t)=-f(-t) (рис. 47.1).

Функции, обладающие нечетной симметрией, получили название нечетных. В разложении таких функций содержатся только синусные составляющие отдельных гармоник Bk и отсутствуют постоянная составляющая A0 и косинусные составляющие отдельных гармоник Сk:

2) Четная симметрия: функция симметрична относительно оси ординат и удовлетворяет условию f(t)=f(-t) (рис. 47.2).

Функции, обладающие четной симметрией, получили название четных. В разложении таких функций содержатся только постоянная составляющая А₀ и косинусные составляющие отдельных гармоник C_k и отсутствуют синусные составляющие отдельных гармоник В_к:

3) Косая симметрия: функция симметрична относительно оси абсцисс при смещении ее положительной части [f(t)>0] или отрицательной части [f(t)<0] на отрезок времени +-T/2 и удовлетворяет условию f(t)=-f(t+-T/2) (рис. 47.3):

Функции, обладающие косой симметрией, получили название кососимметричных. В разложении таких функций содержатся только нечетные гармоники (синусные и косинусные составляющие):

26. Действующие значения несинусоидальных токов и напряжений.Математически действующее значение любого периодически изменяющегося тока (напряжения) определяется как среднеквадратичное значение функции за период:

Пусть функция тока содержит в своем составе все компоненты ряда Фурье:

 Действующее значение несинусоидального тока (напряжения) равно квадратному корню из действующих значений отдельных гармоник:

27. Мощности в цепях несинусоидального тока.Под активной мощностью P понимают количество энергии, потребляемое (генерируемое) объектом за единицу времени. Математически активную мощность определяют как среднее значение мгновенной мощности за полный период.Пусть некоторый элемент цепи потребляет ток i(t) при несинусоидальном напряжении u(t):

Мгновенная мощность p(t)=u(t)*i(t), тогда активная мощность будет равна:

Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармоник: P=P0+P1+P2+P3...

Реактивная мощность Q определяется алгебраическая сумма реактивных мощностей отдельных гармоник:

Полная мощность, определяется как произведение действующих значений напряжения и тока:

Если в цепи содержатся реактивные элементы L и С, то: S²≥P²+Q². Для баланса этого уравнения в его правую часть вносят добавление: S²≥P²+Q²+T², откуда , где Т - мощность искажения – характеризует степень различия в формах кривых напряжение u(t) и тока i(t).

28. Четырехполюсник.Под четырехполюсником понимают электрическую цепь (или ее часть) любой сложности, имеющую две пары зажимов для подключения к источнику и приемнику электрической энергии. Зажимы, к которым присоединяется приемник (нагрузка), - выходными зажимами (полюсами). В качестве примеров четырехполюсников можно привести трансформатор и усилитель. Четырехполюсниками являются электрические фильтры, линия междугородной телефонной связи и т. д.

Пассивные ч. схемы не содержат источников электрической энергии, активные - содержат. Последние могут содержать зависимые и независимые источники. Примером активного четырехполюсника с зависимыми источниками может служить любой усилитель; примером пассивного - LC-фильтр. Четырехполюсник является линейным, если напряжение и ток наего

выходных зажимах линейно зависят от напряжения и тока на входных зажимах. Примерами линейных четырехполюсников являются электрический фильтр, линия связи, трансформатор без сердечника; примерами нелинейных - выпрямитель переменного тока, трансформатор со стальным сердечником (при работе с насыщением стали). Четырехполюсник симметричен, если перемена местами входных и выходных зажимов не изменяет токов и напряжений в цепи, с которой четырехполюсник соединен(несимметричен).Уравновешенные четырехполюсники имеют горизонтальную ось симметрии и используются, когда необходимо сделать зажимы симметричными относительно какой-либо точки (например, земли). Можно сделать уравновешенной любую из лестничных схем четырехполюсников.(Есть неуравновешенные)Обратимые четырехполюсники позволяют передавать энергию в обоих направлениях; для них справедлива теорема обратимости или взаимности, в соответствии с которой отношение напряжения на входе к току на выходе не меняется при перемене местами зажимов.(есть необратимые)Четырехполюсники бывают автономнымии неавтономными. На зажимах автономного четырехполюсника остается напряжение, обусловленное наличием внутренних источников, т. е. такой четырехполюсник обязательно является активным. Основной задачей теории четырехполюсников является установление соотношений между напряжениями на входе и выходе и токами, протекающими через входные и выходные зажимы.

---

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 419; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!