Телеграфные уравнения длинной линии с потерями

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 9Следующая ⇒

Как сказано выше, решение задачи о распространении электромагнитной волны вдоль длинной лини, с учетом потерь, становится достаточно сложной для точного описания. Однако, если потери небольшие, то можно получить приближенные телеграфные уравнения.

Приближение будет состоять в следующем. В пространстве между проводами продольная составляющая электрического поля много меньше поперечной составляющей . Учитывать эту составляющую будем только внутри проводников. Поэтому будем предполагать, что поле между проводниками такое, как и для идеальной длинной линии. Отличия коснулись только поля внутри проводников.

Поэтому внутри проводников ротор нормированного электрического поля теперь не будет равен нулю.

(6.132)

Здесь – поперечные сечения проводников. С учетом условия (6.132) вместо уравнений (6.129) получаем следующую систему уравнений.

(6.133)

Используя соотношения (6.124), (6.130), а, также переходя от нормированных полей к обычному электрическому и магнитному полю, получаем следующие уравнения.

(6.134)

Здесь выражение с ротором в плоскости xy распишем по известной формуле.

(6.135)

Интегрирование дивергенции по сечения проводов сводится к интегрированию по контурам, охватывающим провода по следующей формуле.

(6.136)

Но на контурах равняется нулю в рассматриваемом приближении. Поэтому интеграл в уравнениях (6.134) принимает следующий вид.

(6.137)

Для расчета токов и поля в проводниках обычно рассматривают электромагнитное поле в квазистационарном приближении. В этом приближении уравнения Максвелла имеет следующий вид.

(6.138)

Здесь s – проводимость металла, из которого сделаны провода. Подставляем соотношения (6.138) в выражение для интеграла (6.137), и получаем следующую формулу.

(6.139)

Здесь через Q обозначена тепловая мощность, выделяемая на единице длины в проводах длинной линии. Далее используем из электротехники формулу для тепловой мощности.

(6.140)

Здесь – погонное сопротивление длинной линии, сопротивление единицы длины длинной линии. Таки образом, погонное сопротивление длинной линии вычисляется по следующей формуле.

(6.141)

Объединяя формулы (6.134), (6.139), (6.140) получаем телеграфные уравнения длинной линии с учетом потерь.

(6.142)

Иногда в телеграфные уравнения (6.142) добавляют еще один член. Дело в том, что если изоляция между проводами длинной линии не достаточно надежна, то могут существовать токи утечки. Получение это добавочно члена исходя из уравнений Максвелла достаточно сложно. Поэтому был придуман другой способ получения телеграфных уравнений.

Суть этого метода состоит в следующем. Если расстояние между проводами много меньше длины излучения, то потерями на излучение длинной линией можно пренебречь. Если же излучение не рассматривается, то уравнения Максвелла можно решать в квазистационарном приближении. Далее известно, что в квазистационарном приближении электрические схемы можно описывать с помощью уравнений Кирхгофа. Однако для применения квазистационарного приближения требуется, чтобы характерный размер электрической системы был много меньше длины волны излучения. Поэтому длинная линия в целом не удовлетворяет условиям квазистационарного приближения.

И все же выход был найден. Если рассматривать отрезок длинной линии много меньшей чем длина волны излучения , то для такого отрезка условия квазистационарного приближения будут выполняться. Значит, для этого отрезка можно применять уравнения Кирхгофа как для участка электрической цепи. Далее нужно выбрать правильную эквивалентную схему длинной линии. Обычно выбирается схема, показанная на Рис.76.

Рис.76.

Здесь – сопротивление, - индуктивность, - емкость и –проводимость утечки участка кабеля . Далее для каждого элемента цепи записываются уравнения Кирхгофа. Затем устремляют длину элемента цепи к нулю . В результате получается следующая система телеграфных уравнений.

Здесь – погонная проводимость утечки длинной линии.

33. Запаздывающие потенциалы Рассмотрим излучающую систему, ограниченную объемом V. Это значит, что электрические заряды и токи отличны от нуля только в объеме V.

(5.1)

Сформулируем следующую задачу излучения. До включения генератора излучающей системы в моменты времени t < 0 плотности электрических зарядов и токов равны нулю. Электромагнитное поле для моментов времени t < 0 во всем пространстве тоже равно нулю. В момент времени t = 0 включаются генератор излучающей системы и возникают отличные от нуля заряды и токи, и следом за ними возникает электромагнитное поле излучения. Эти начальные условия запишем в следующем виде.

(5.2)

Граничными условиями задачи излучения являются следующие условия. На больших расстояниях от излучающей системы вектора электрического и магнитного поля должны стремиться к нулю. Эти граничные условия запишем в следующем виде.

(5.3)

Для решения поставленной задачи излучения удобно использовать дифференциальные уравнения для электромагнитных потенциалов с калибровкой Лоренца.

(5.4)

Электрическое и магнитное поле выражаются через электромагнитные потенциалы с помощью следующих формул.

(5.5)

Используя связь (5.5) между электромагнитными потенциалами и векторами электрического и магнитного поля, можно написать следующие начальные и граничные условия для электромагнитных потенциалов. Так начальные условия для электромагнитных потенциалов будут иметь следующий вид.

(5.6)

Граничные условия для электромагнитных потенциалов записываются в следующем виде.

(5.7)

В математической физике доказывается, что решение системы уравнений (5.4) с начальными условиями (5.6) и граничными условиями (5.7) дается следующими интегральными соотношениями. (5.8)

В формулах (5.8) обратим внимание на следующие моменты. Величина R равна расстоянию от точки, с координатами , в которой ищется электромагнитное поле до элемента объема с координатами . Под интегралом стоят плотность электрического заряда, и плотность тока излучающей системы в момент времени t. Этот момент времени меньше момента времени t на величину R/c. Эта величина называется временем запаздывания.

(5.9)

Благодаря этому электромагнитные потенциалы, определяемые формулами (5.8) называются запаздывающими потенциалами. Физическая природа запаздывающих потенциалов связана с принципом причинности. Возмущение электромагнитного поля, зародившееся в точке , двигаясь со скорость c, достигнет точки спустя время запаздывания (5.9).

На Рис.38 это положение отражено в надписях на рисунке. Так электрическое и магнитное поля рассматриваются в момент времени t, а плотность заряда и плотность тока рассматриваются в более ранний момент времени t.

Волновая зона или дальняя зона излучения определятся условиями (5.22) и (5.23), когда расстояния от излучающей системы много больше длины волны

(5.22)

(5.23)

34. Дипольное излучение. Диаграмма направленности излучения антенны.Обратимся к формулам (7.174) для поля линейной антенны в виде прямолинейного отрезка, показанной на Рис.47. Пусть размеры антенны будут много меньше длины волны излучения. (5.188)Антенна, для которой выполняются условия (5.188) называется элементарным диполем или элементарным вибратором. Условия (5.188) означают, что электрический ток в формулах (7.174) не зависит от координаты, и может быть вынесен из-под интегралов. Кроме того, будем рассматривать поле элементарного диполя на расстояниях много больших размеров диполя. (5.189).Заметим, что условие (5.189) не означает, что поле рассматривается в дальней зоне излучения. Напомним, что для дальней зоны должно выполняться в первую очередь условие . Таким образом, если выполняются условия (5.188), (5.189) то из формул (5.174) получаем выражения для поля элементарного диполя в следующем виде.

(5.190)

Укажем три области излучения, которые описываются формулами (5.190).

коэффициент направленного действия антенны для элементарного диполя определяется следующей формулой.

Диаграмма направленности излучения антенны строится по коэффициенту направленного действия антенны КНД. Диаграмма направленности – это поверхность, уравнение которой определяется КНД. В сферической системе координат это уравнение имеет следующий вид. (5.204)В декартовой системе координат уравнение поверхности диаграммы направленности определяется следующими уравнениями.

(5.205)

На Рис.52 показан элемент поверхности диаграммы направленности излучения.

Рис.52.

Физический смысл КНД состоит в том, что величина КНД g(q,y), или радиус r на диаграмме направленности, определяют относительную мощность излучения антенны в направлении, заданном углами q,y.

35 Электромагнитное поле произвольной системы источников.Найдем решение симметричной системы уравнений Максвелла (5.87) в объеме V ограниченном набором замкнутых поверхностей S1, S2, ¼ SN Рис.41. Используем формулу Грина (5.101) для областей указанных на Рис.41. В результате получим следующую формулу. (5.102) В формуле (5.102) интеграл по сумме поверхностей означает сумму интегралов по каждой поверхности. (5.103) Используем формулу Грина (5.101) для областей указанных на Рис.41. В результате получим следующую формулу. (5.102) В формуле (5.102) интеграл по сумме поверхностей означает сумму интегралов по каждой поверхности. (5.103) 41

Отметим еще одну особенность формулы (5.102). При выводе формулы Грина (5101) предполагалось, что вектор нормали к поверхности направлен из объема во внешнюю область Рис.8. На Рис.41 все векторы нормалей направлены внутрь объема. Это привело к тому, что поверхностные интегралы в формуле (5.102) и в формуле (5.101) имеют разные знаки. В формуле (5.102) заменим векторы и следующими выражениями. (5.104)Здесь вектор – вектор электрического поля, - произвольный постоянный вектор. Вектор вводится для удобства расчетов, и в конце расчетов убирается. В качестве функции Y выбрана сферическая волна. Эта функция в начале координат имеет особенность. Поэтому в этой точке формула Грина (5.102) не применима. Поэтому изменим область V, исключив точку P Рис.41. Для этого окружим начало координат сферической поверхностью радиуса Рис.42. В конце расчетов этот радиус устремим к нулю . 42

На Рис.42 видно, что область V Рис.41 теперь превратилась в область V0. Появилась также дополнительная сферическая поверхность S0 радиуса r0. В конце расчетов радиус r0 устремим к нулю, и область V0 совпадет с областью V.

Подставим соотношения (5.104) в формулу Грина (102) с измененными областями интегрирования. В результате получим следующее уравнение.

(5.105)

Преобразуем уравнение (5.105) воспользовавшись уравнениями Максвелла (5.87). Для удобства обозначим левый интеграл в уравнении (5.105) как J1, правый интеграл обозначим как J2. Рассмотрим подынтегральное выражение в интеграле J1.

Из уравнений Максвелла (5.87) получаем следующее выражение.

(5.106)

Выполнив операции векторного анализа, получаем еще одно выражение.

(5.107)

Подставив (5.106) и (5.107) в интеграл J1, получаем интеграл J1 в следующем виде.

(5.108)

Преобразуем третий член в подынтегральном выражении (5.108). В результате получим следующую формулу.

(5.109)

Используем уравнение Максвелла.

(5.110)

В результате формула (5.109) принимает следующий вид.

(5.111)

Преобразуем второй член в подынтегральном выражении (5.108). В результате получим следующую формулу.

(5.112)

Подставляем выражения (5.111), (5.112) в интеграл (108), и преобразуем его к следующему виду.

(5.113)

Третий интеграл (5.113) преобразуем к поверхностному интегралу по теореме Гаусса-Остроградского (5.88).

(5.114)

Второй интеграл (5.113) преобразуем к поверхностному интегралу по следующей теореме векторного анализа.

(5.115)

Формулу (5.115) называют формулой Стокса. В результате второй интеграл (5.113) принимает следующий вид.

(5.116)

Объединяя формулы (5.113), (5.114), (5.116) получаем окончательное выражение для интеграла J1.

(5.117)

Рассмотрим второй член в подынтегральном выражении в интеграле J2. Выполним следующие преобразования, используя правила векторного анализа.

(5.118)

Далее используем уравнение Максвелла.

(5.119)

Рассмотрим первый член в подынтегральном выражении в интеграле J2. Выполним следующие преобразования, используя правила векторного анализа.

(5.120)

Подставив формулы (5.118), (5.120) в (5.105) получаем окончательное выражение для интеграла J2.

(5.121)

Приравниваем интеграл J1 (5.117) к интегралу J2 (5.121) и в результате уравнение (5.105) принимает следующий вид

(5.122)

В уравнении (5.122) вектор – произвольный постоянный вектор. Уравнение (5.122) имеет следующую структуру.

(5.123)

Учитывая (5.123) из уравнения (5.122) получаем следующее уравнение.

(5.124)

Далее в уравнении (5.124) рассмотрим отдельно поверхностный интеграл по сферической поверхности S0. Обозначим этот интеграл как J0.

(5.125)

Найдем на поверхности S0.

(5.126)

С учетом формулы (5.126) сумма двух последних членов в подынтегральном выражении (5.125) будет равна.

(5.127)

При подстановке (5.127) в поверхностный интеграл надо положить . Интегрирование по сферической поверхности S0 удобно проводить в сферических координатах. В этом случае элемент поверхности dS будет связан с элементом телесного угла dW следующим соотношением.

(5.128)

В результате интеграл (5.125) примет следующий вид.

(5.129)

Второй интеграл в формуле (5.129) вычисляем по теореме о среднем.

(5.130)

Здесь – сферические координаты некоторой точки на сферической поверхности S0. В пределе поверхность S0 сжимается в точку в начале координат. Поэтому интеграл (5.130) стремиться к следующему выражению.

(5.131)

Переходим к пределу в интеграле (5.125) и в результате получаем следующее соотношение.

(5.132)

Теперь переходим к пределу в уравнении (5.124) и в результате получаем следующее интегральное уравнение.

(5.133)

Обратим внимание на то, что теперь первый интеграл (5.133) снова вычисляется по всему объему V. Формула (5.133) позволяет вычислять вектор электрического поля в произвольной точке P внутри объема V.

Подведем итог. Исходным пунктом являлась формула Грина (5.102). Далее использовались подстановки (5.104). Затем, проведя ряд вычислений с учетом уравнений Максвелла, была получена формула (5.133) для вектора напряженности электрического поля .

Проведя аналогичные выкладки можно получить формулу для напряженности магнитного поля . Однако проще воспользоваться симметрией электрических и магнитных характеристик электромагнитного поля в симметричной системе уравнений Максвелла (5.87). Легко видеть, что система уравнений Максвелла (5.87) не меняется при следующих заменах.

(5.134)

Проведя замену (5.134) в формуле (5.133) получаем уравнение для нахождения напряженности магнитного поля.

(5.135)

36. Излучение системы линейных антенн.Рассмотрим систему N линейных антенн. Каждая m - я антенна будет характеризоваться длиной , распределением тока , расположением в пространстве и ориентацией в пространстве ., как это показано на Рис.59.

Рис.59.

Будем искать поле излучения в дальней зоне. Используя принцип суперпозиции, найдем электрическое и магнитное поле в точке как векторную сумму полей, создаваемых отдельной линейной m -ой антенной.

(5.228)

Используем формулы (5.175) для электрического и магнитного поля линейной антенны в дальней зоне, получаем следующую формулу для поля создаваемого m -ой антенной.

(5.229)

Теперь в принципе можно рассчитать по формулам (5.228) и (5.229) поле излучения в дальней зоне для любой самой сложной системы линейных антенн. Однако на практике стараются конструировать сложную антенну из одинаковых линейных антенн, расположенных по определенному закону в пространстве.

Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 569; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 678 9 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!