Электр. и магн. векторные потенц.Герца



Основные понятия и математ анализ.. Э\Месть совокупн 2-х физич. величин – напр-сти э. поля  и м. индукции 1). Первый источник – это э.заряды Если в обл. находятся э заряды q, то вокруг зарядов существует э поле , уменьшащ. при удалении от зарядов  В правой части находится ист. поля – плотность э. заряда r. В левой создаваемое э.поле 2). Второй источник – это э.ток. При протекании по проводникам, вокруг них возникает м.поле , которое убывает при удалении от проводников с током   .Если известен вектор плотности э тока  на поверхности S, то э ток I, протекающий через эту поверхн. находится путем интегрир. по этой поверхн.. Здесь , где - единичный вектор к поверхности.3). Третий источник – это переменное м.поле. Если в обл пространства существует переменное м.поле, то в этой обл пространства появляется э.поле вихревого хар-тера   В правой– производная м. поля . В левой– э.поле . Это векторное поле входит в выражение для ротора поля, что говорит о вихр. Хар-ре э.поля.4). Четвертый источник – это переем.э.поле. Если в обл. пространства существует переменное э.поле, то в этой обл. появляется вихревое м.поле.    В правой части– производная э поля по времени . В левой– электр поле . Это векторное поле входит в выражение для ротора поля, что говорит о вихр хар-ре м.поля. М.объединил все ур в одно В правой 2ист.вихревого м.поля-плотность э.тока и производн.В левой-суммарное м.поле 2.Уравнения Максвелла в дифференциальной форме.Экспериментальные и теоре  по теор Гаусса: Наличие div или rot говорит о разной природе векторного поля. Если rot поля отличен от нуля, то такое поле вихревое, в противном случае это безвихревое. Вихревое поле имеет замкнутые линии поля, похожие на вихри. Если , то линии поля  образуют вихрь с направлением вращения по часовой стрелке, если смотреть вдоль вектора . Если div поля=0, то такое поле соленоидальное иначе несоленоид Линии несоленоид поля  начинаются в истоках там где , и кончаются в стоках ,  Физ смысл ур М, вх-х в сист: 1-е ур: источником несоленоид э.поля  явл-ся э. заряды с плотностью r.”+”(истоки), а ”-” явл-ся стоками. 2-е ур:источником вихревого э.поля  является переменное м.поле . 3-е ур:м.поле  является соленоид.полемТ.к. в правой стороне этого ур 0, то у м.поля отсутствуют истоки и стоки. Т.е отсутствуют + и -. М. заряды.4-е ур:ист. вихревого м.поля  является как э.ток с плотностью , так и переменное э.поле . Так как 2-ойчлен в правой стороне этого ур имеет размерность плотности э.тока, то М. назвал этот член плотностью тока смещения.     В ур учтена: Т.о., линии м.поля всегда замкнуты, а линии э.поля могут быть как замкнутыми линиями, так и незамкнутыми. Если э.поле создается э.зарядами, то линии поля незамкнуты, они начинаются и кончаются на э.зарядах. Если же э. поле создается переменным м.полем, то линии э.поля это замкнутые вихр. линии. 3.Уравнения Максвелла,интегральная форма уравнений.Сист ур М.имеет вид сист.диф.ур. в частных производных. Используя т. Гаусса – Остроградского и Стокса, сист.ур. М в виде интегральных ур. 1-е ур  левая сторона равняется по теореме Г.– О. потоку напряженности э.поля  через замкнутую поверхн S, охватывающую объем V. Правая = э.заряду q в объеме V. Получим ур.  означающее:Поток напряженности э.поля  через замкнутую поверх. S равняется э.заряду q внутри этой поверхности, / на  2-е ур, Интегрируем по незамкнутой поверхнS.  преобразовывая Первый интеграл в по т.Стокса= циркуляции вектора напряженности э.поля , по контуру L, на который натянута поверхность S.В результате означающее:Циркуляция вектора напряженности э.поля , по контуру L, на который натянута поверхность S, равна производной по времени от потока вектора м.индукции  через пов. S, со знаком минус. Замечая, первый интеграл , являясь циркуляцией вектора в контуре L, равен электродвижущей силой (ЭДС) e, действующей в этом контуре. .Правая сторона ур. является потоком вектора м.индукции через пов.S, может быть обозначен как . В результате ур  Изменение потока вектора м.индукции  через поверхность S натянутую на контур L вызывает появление ЭДС e в контуре L.3-е ур . Проинтегрируем левую по объему V и применим теор Г.-О. Получим означающее:поток вектора м.индукции  через произвольную замкнутую пов.S равен 0. Т.е., сколько линий магнитного поля входит в замкнутую поверхность S, столько же линий выходит из этой поверхностиТ.е. м.поле – это соленоид.поле 4-ое ур .Интегрируем по поверхн S.  2-ой интеграл является э.током I, текущим через поверх. S. В рез.. означает: Циркуляция вектора м.индукции  по произвольному контуру L отлична от нуля в двух случаях. Во-первых, течет э.ток I, который охватывается контуром L. Во-вторых, если поток напряженности э.поля  через поверхность S, натянутую на контур L, меняется со временем. 4,5 Потенциалы электромагнитного поля. Калибровочная инвариантность. Калибровка Лоренца.Вместо векторов э.и магнитно поля , вводят вспомогательные поля . Векторное поле  называется векторным потенциалом, а скалярное поле  скалярным потенциалом. Вектор  и , выражаются через векторный потенциал  и скалярный потенциал  так.  В сист. Ур. М . Подставим это во 2-е ур. Сист..Получим Раскроем скобки Т.к. rot*grad скалярного поля всегда равен 0, то ур.превращается в тождество 0 = 0 Подставим преобразов. в третье ур. Сист.В результате.  Т.к.для векторного поля див. Рот. равна нулю, ур. превращается в тождество 0 = 0. Поэт 3-е ур. выполняется подстановкой и его не нужно рассматривать дальше.Т.о.,получаем сист.   Учли связь . Вспомним, , где D оператор Лапласа.Выражение  .Учитывая соотношения: .                     является системой 4-х диф.ур.. Для 4-х неизвестных функций Рассмотрим два набора э/м потенциалов  и . связаны друг с другом где f - произвольная функция координат и времени. Покажем, что поля  найденные с помощью потенциалов  и поля найденные с пом. Пот.  совпадают. Т.е, измен. э/м. потенц.  не приводит к изменению векторов  э/м поля. Такое поведение полей называется градиентной или калибровочной инвариантностью.Эта неоднозначность в выборе электромагнитных потенциалов позволяет накладывать на потенциалы дополнительные условия. Такие дополнительные условия называются калибровками. Калибровка Лоренца задается:  Подставляя это получ Калибровка Кулона задается:  подставляя в сист получаем .

Электр. и магн. векторные потенц.Герца

Считая, что сист ист. э/м поля эл-ки нейтральна, т.е.    , где V–объем занимаемый сист ист. поля. За-н сохр. Э.заряда  Эти усл-я будут вып-ся, если вв в-р э.пол-ции  и в-р намаг-и : . В-ры опр-ся неодн-но  где – произвольный вектор и скаляр, не изм.т физ-х вел-н  в соотн-ии Будем считать, что – э.дип-й момент ед-ы  объема, а – м. дип-й м-т ед. объема. Обозн-м - э. дип. м-т эл-та объема dV, а через - м.дип-й м-т эл-та объема dV, то: Эдля сист.   т.е Рассмотрим сист, которая характеризуется вектором э.поляризации , а . Тогда Используя ур. для э/м потенциалов с калибровкой Лоренца т.е Для выполнения колибровки, вв  Подстановка этого в 1-е и 2-е ур сист, приводит к Получаем формулы,  через э.вектор Герца . Рассмотрим сист, характеризуется вектором намагниченности , а вектор э.поляризации этой системы равен нулю . Тогда соотношения: Здесь за-н сохранения заряда выполняется: Используем ур для э/м потенциалов с калибровкой К.. Вводим :  Подстановка для  в 1-е и 2-е ур сист, приводит к    получаем . .Рассмотрим поле вне источников т.е . . Тогда ур. принимают вид волнового ур.  НО э.  и м.  векторы Герца имеют разную геометрическую природу:1)ист. для э. вектора Герца  служит вектор э.поляризации ,являющийся полярным вектором, поэтому э. вектор Герца тоже является полярным. Ист для м.вектора Герца  служит вектор намаг-ти являющийся аксиальным, поэтому м.в-р Герца тоже является акс-м.2) Э.поле представимо в виде:  поле Е1-векторное, – соленоидальное.Если то - гармоническое.Если то -вихревое.Т.о. э.поле состоит из потенциальных поле и вихревых. определяет только вихревые поля определяет потенциальные, так и вихревые поля.


8.9Уравнение баланса энецргии электромагнитного поля.Возьмем сист. Ур. М. Далее в сист. (4)-(2), вычислим Рассмотрим   тогда. Вв обозначения.  здесь w – плотность энергии э/мполя.Если известна w вобъеме V, то энергия э/м поля W в этом объеме  Вв.обозначение  где имеет размерность Дж/м2/с, и называется вектором Пойн.его физич. смысл:это есть вектор плотности потока энергии. показывает какая энергия переноситься через единицу поверхности в единицу времени.В результате  это уравнение баланса энергии э/м поля.после интегриров.  Физич смысл:левая сторона, обозначает уменьшение энергии электромагнитного поля W в объеме V в единицу времени. Справа описываются процессы, за счет которых уменьшается энергия э/мполя. Т.к, часть энергии идет на работу э.поля над движущимися зарядами в объеме V. Мощность P, выделяемая при этом в объеме V будет равна. Во-вторых, часть энергии уносится через поверхность S, окружающую этот объем в виде э/м излучения. Поток энергии  через эту поверхность будет равен. Теперь ур.баланса


10,Среднее значение плотности энергии и вектора Пойтинга для монохроматического ЭМ поля – это вектор плотности потока энергии э/м поля где  и  – это действительные векторные поляРассмотр.монохроматические поля. В комплек.. Рассмотрим усреднение  В результате получаем    Подставляем в формулу и Взяв компл. сопряжение от обеих частей Теперь производим усреднение В результате для монохромат волны

 


Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 392; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!